高中数学：浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷(含参考答案)

浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试
数学试卷
一､选择题（每小题5分，共50分）
1.计算等于（）
C. D.2.设2t a b =+，21s a b =++，则s 与t 的大小关系是（
）A.t s > B.t s ≥ C.t s < D.t s
≤3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，7BC =，点M ，N 分别是对角线BD ，AC 的中点，则MN =（ ）
A.2
B.5
C.7
2 D.3
2
4.某几何体的三视图如图所示，则其体积是（
）
A.(45π+
B.36π
C.63π
D.2169π
+5.已知两直线1120a x b y ++=
和2220a x b y ++=的交点是()3,4，则过两点()()1122,,A a b B a b ､的直线方程是（）
A.340x y +=
B.430x y +=
C.3420x y ++=
D.4320x y ++=
6.设x ，y ，0z >，14a x y =
+，14b y z =+，14c z x =+，则a ，b ，c 三个数（ ）
A.都小于4
B.至少有一个不大于4
C.都大于4
D.至少有一个不小于4
7.将正整数排成下表
则在表中数字2020出现在（ ）
A.第44行第85列
B.第45行第85列
C.第44行第84列
D.第45行第84列
8.若存在正实数y ，使得154xy y x x y
=−+，则实数x 的最大值为（ ） A.15 B.54
C.1
D.4 9.如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG CF ､.下列结论：（1）ABG AFG ≅ ；（2）BG GC =；（3）AG ∥CF ；（4）3FGC S = .其中正确结论的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1 10.()()()()()()()()33333333213141202012
1314120201−−−−++++ 的值最接近（ ） A.12 B.23 C.34 D.45
二､填空题（每小题5分，共25分）
11.tan45cos60−= __________.
12.方程()
()22120x a x a +−+−=
的一个根比1大，一个根比1小，则实数a 的取值范围是__________. 13.函数15()2
2y x =+<<的最大值是__________.
14.在等腰ABC 中，A B =，点D 在线段AC 上，且2CD DA =，若2tan 5ABD ∠=
，则tan A =__________.
15.设a ，b 为正实数，现有下列命题：
①若221a b −=，则1a b −<；②若
111b a −=，则1a b −<；
1−，则1a b −<；④若331a b −=，则1a b −<. 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）
三､解答题（每小题10分，共40分）
16.解方程：4326736760x x x x +−−+=
17.对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()()f
f x x =，则称x 为()f x 的
“稳定点”.
（1）求证；若x 为()f x 的“不动点”，则x 为()f x 的“稳定点”；
（2）若()()21,f x ax a x =−∈∈R R ，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即
(){}()(){},A x f x x B x
f f x x ====∣∣，且A B =，求实数a 的取值范围. 18.如图，圆1O 和圆2O 相交于点A B ､，半径1O B ､半径2O B 所在直线分别与圆2O ､圆1O 相交于点E F ､，过点B 作EF 的平行线分别与圆1O ､圆2O 相交于点M N ､.证明：MN AE AF =+.
19.现有重量为1，2，4，8，16的砝码各一个，有一个天平，在每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入砝码的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，问这样的放法共有多少种？
参考答案
一､选择题
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n .因为
2441936=，2452025=，所以2017出现在第45行上.又由2020193684−=
，故2017出现在第84列，故选D
8.【答案】A 【解析】转化154xy y x x y =−+为()
224510xy x y x +−+=，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可.
9.【答案】B
【解析】（1）AB AD AF == ，AG AG =，90B AFG ∠∠== ，
()Rt Rt ABG AFG HL ∴≅ ；故（1）正确
（2）123
EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =−. 在Rt ECG 中，根据勾股定理，得()()222642x x −+=+，解得3x =，363BG GC ∴==−=.故
（2）正确
（3）CG BG = ，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴ 是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=. 又Rt Rt ABG AFG ≅ ；AGB AGF ∠∠∴=，2AGB AGF AGB ∠∠∠+=
18022FGC GFC GCF GFC GCF ∠∠∠∠∠=−=+==
AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG ∴∥CF ；故（3）正确.
（4）2EF = ，3GF =，故331185525
FGC GCE GCE GF S S S GC EC GE ===×⋅= .故（4）错误.∴正确的个数有3个.故选：B .
10.【答案】B
【解析】由立方和､立方差公式得：
()()32111n n n n −−++，
()()()()()()322111111121n n n n n n n ++=+++−++=+++ . 所以()()()()()23321111112
21n n n n n n n n n n −++−−==++++++. ()()()()()()()()()33333333333333332
1314120201121312019120201213141202012
1314120201−−−−−−−=×××××−++++++++ ()()
3311220181123202012020194520219201920202021××=×××××−=××−×× ()()222201920202020122202020201220202020132019202020213202020213202020201×++++++=×=×=×××××+ 222220202020121213202020203202020203
++ =×=×+≈ ++ 故选：B . 二､填空题 11.【答案】
12
12.【答案】21a −<< 13.
【答案】14.【答案】2
15.【答案】①④
三､解答题 16.（221167360x x x x
++−−= ，1t x x =−，32t =，83−；2x =，12
−，3−） 17.（1）解：若A =∅，则A B ⊆显然成立；
若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()()f f t f t t ==，t B ∴∈，故A B ⊆.
（2）A ≠∅ ，21ax x ∴−=有实根，14
a ∴≥− 又A B ⊆，所以()22
11a ax x −−=，即3422210a x a x x a −−+−=的左边有因式21ax x −−，从而有()()
222110ax x a x ax a −−+−+= A B = ，2210a x ax a ∴+−+=
要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根.若2210a x ax a +−+=没有实根，则34
a <；
若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得
22a x ax a =+，代入2210a x ax a +−+=，有210ax +=.由此解得12x a
=−，再代入得111042a a +−=，由此34
a = 故a 的取值范围是13,44 −
. 18.【解析】试题分析：根据平角得R A S ､､三点共线，根据同弦所对角相等得F R S E ､､､四点共圆.根据四点共圆性质得MRB FRA ∠∠=，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+. 试题解析：解：延长12BO BO ､分别与圆1O ､圆2O 相交于点R S ､，连结
RM RF RB SA SE SN AB ､､､､､､.则90BAR BAS ∠∠== ，所以R A S ､､
三点共线 又90RFS SER ∠∠== ，于是F R S E ､､､
四点共圆. 故MRF MBF EFB ERS ∠∠∠∠===，从而MRB FRA ∠∠=，因此MB FA =，同理NB AE =.所以MN AE AF =+.
证法二：
连接1FO ，2EO ，那么我们易得等腰12O BF O EB ∼ .
故我们有21BF BO BO BE ⋅=⋅，那么由相交弦定理的逆定理，
我们有1O ，2O ，E ，F 四点共圆.从而我们有
2221190O BN O FE O O E O BA ∠∠∠∠===
− ， 故我们有22AO E BO N ∠∠=.从而AE BN =，同理AF BM =，
即证明了MN AE AF =+.
19.答案：是9*7*5*3*1945=，这算个组合计数题.分类讨论是比较困难的.最好的方法是分步原理，但不是很好想，但我觉得也有学生可能可以猜到这个答案.
做法如下：将所有的位置分为：1左，1右；2左，2右；3左，3右；4左，4右；5左，5右.k左表示第k次放在天平左边，k右同理.那么我们先来看1这个砝码，你会发现对它的要求是不放在1右都可以.从而右9种选择.再看2这个砝码，若1这个砝码是第k次放，那么2这个砝码不能是第k次放，去掉一个位置，然后不能在去掉1这个砝码后放在右边，故还要去掉一个位置，故有7种可能……类似的考虑4，8，16……关键想法是考虑总共有10个位置，要将5个砝码放到这10个位置满足一定条件，然后砝码的顺序很重要.必须先考虑1.事实上也可以想象成归纳.。