切线的证明

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切线的证明技巧

知识点
二.切线的证明方法： 1.作垂直，证半径
条件：圆与直线的公共点没有标明字母方法：① 则过圆心作直线的垂线段为辅助线
② 再证垂线段的长等于半径的长
知识点
二.切线的证明方法： 2.连半径，证垂直条件：圆与直线的公共点标明字母方法：① 则连这个点和圆心得到辅助半径
② 再证所作半径与这条直线垂直
变式练习
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2， AE= ．3 求证：BC是⊙O的切线；
证明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE= 3，
∴AM=ME2+AE2， AM ME2 AE2
∴△AME是直角三角形，∴∠AEM=90°，又∵MN∥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，而AB为直径， ∴BC是⊙O的切线；
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA，又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
典例精讲
类型一：有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一：有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°，而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．

切线的证明方法

切线的证明方法如下：
1、用判定定理，这是证明切线最多见的方法，也就是如果直线和圆之间有交点，连接交点和圆心，得出半径，只要证明这条半径和这条直线是垂直的就行了。

2、当不确定直线和圆的交点个数或是交点所处的位置的时候，能够通过圆心作出直线的垂线，然后证明从圆心到直线的距离和圆的半径相等就行了。

在几何中，切线是指一条刚好碰触到曲线上某个点的直线。

当切线经过曲线上的某个点，也就是切点的时候，切线的方向和曲线上这个点的方向一样。

在平面几何里面，把和圆只有一个公共交点的直线称作圆的切线。

在高等数学中，对一个函数而言，假设函数的某个地方有导数，那么这里的导数就是经过这里的切线的斜率，这个点和斜率所构成的直线就是这个函数的一个切线。

切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过这个切点的圆的半径，经过圆的半径的不是圆心的一端，而且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线的判定定理是：一条直线如果和一个圆有交点，而且连接交点和圆心的直线和这条直线是垂直的关系，那么这条直线就是圆的切线。

切线的证明

中考切线分析证明切线的方法：1.（已知一条切线证明另一条也是切线）通用的方法是三角形全等如果这两条切线相等可以运用两个等腰三角形进行证明，此种方法为等量代换法。

2.（已知中弦长和半径相等或者根据条件可以找到特殊角）通用的方法就是将要证明的角分为两部分去寻找特殊角的度数，然后证明相加为90°3.（已知角之间的相等关系）通用的方法就是在已知条件中寻找直角三角形，将角之间的相等关系转移到要证明的位置，进而得出90°这是切线证明中的三种类型，具体哪种要根据已知条件具体分析。

学会运用上面几种方法，切忌随便乱找关系导致题的分析思路不到位。

步骤方面需注意：经过半径的外端并且垂直与半径的直线是圆的切线。

因此写过程的时候最终要说明谁是半径，要证明的线与半径垂直。

切线中求长度的方法：（1）勾股定理。

直接由线段长度运用勾股定理和间接设未知数的方式运用勾股定理。

在圆中经常体现在垂径定理的运用中。

（2）相似三角形。

可以已知两条线段或三条线段就能求长度。

已知两条线段是在两个三角形有公共的一条边（不是对应边）的情况下，或者类似摄影定理的模型下就用到相似三角形。

（3）锐角三角函数。

已知中有角之间的相等关系，并且此角能够转移到直角三角形中才能运用。

备注：锐角三角函数和相似可以通用的情况是在直角三角形中，锐角三角函数更不容易出错，建议用三角函数去解决问题。

有时候在解决切线的题时，以上方法综合运用才能将问题解决。

切线的证明(09石景山一模)1．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =，OB AC 21=．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若︒=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．(09西城一摸)2．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O 的半径等于4，4tan 3ACB ∠=，求CD 的长.（09昌平一摸） 3．如图，点A B F 、、在O 上，30AFB ∠=︒，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC AD ⊥于C ，60CBD ∠=︒，连接AB . （1）求证：AD 是O 的切线；（2）若6AB =，求阴影部分的面积.A第19题AA4．（本小题满分5分）如图，以等腰ABC∆中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE AC⊥，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60BAC∠=，求DE的长．（09房山一摸）5、（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，90ACB∠=，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．（1）求证:AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12.求EFAC的值.（09门头沟一摸）6．（本小题满分5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD 平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径ABO·ADC B7．（本小题满分5分）如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝32，求EF 的长．（09顺义一摸）8、已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若120ACP ∠=︒，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．（09东城一摸）9．已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ．（1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长．（09怀柔一摸） 10．（本小题满分5分）如图，ΔABC 中，AC=BC ，以BC 上一点O 为圆心、OB 为半径作⊙O 交AB 于点D ，已知经过点D 的⊙O 切线恰好经过点C ．（1）试判断CD 与AC 的位置关系，并证明；（2）若ΔACB ∽ΔCDB ，且AC=3，求圆心O 到直线AB 的距离．AAB CD PE ．O （第21题）DCE CB11．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是AB 边的中点，且∠BAC +∠DCB=90°. 试判断△ABC 的形状并证明.（09延庆一摸）12.（本题满分5分）在Rt △ABC 中，∠C=90， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;（2）联结EF ，求EFAC的值.（09密云一摸）13．（本小题满分5分）如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于E ，DA 平分∠BDE .（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若30,1,DBC DE cm ∠=︒=求BD 的长.（09平谷一摸）14. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥，E 是垂足. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果AB=5,tan ∠B=21,求CE 的长.A （第19题）A15．如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若AE =5，BE =6，求DC 的长.（09通州二模）16. 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ，使得2ACD DAB ∠=∠．(1)求证：CD 是⊙O的切线； (2)若AB =，求BC 的长．（09房山二模）17．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A . （1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.（09大兴二模）18．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于P ，设AP a PB b ==，．（1）求弦CD 的长；（2）如果10a b +=，求ab 的最大值，并求出此时a b ，的值．（09东城二模）19. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．A BADA20．如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．（1）若︒=∠30CPA ，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小．（09昌平二模） 21．如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值；（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.（09门头沟二模）22. （本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．（09延庆二模）23. 点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． ⑴求证：BD 是⊙O 的切线．⑵若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝32，求△ACF 的面积．第19题（第19题）24. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.（09崇文二模）25．如图， AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ．（1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE AM 的长．（09西城二模）26．如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为BC 上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．A27．如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径．(08丰台一摸)28．已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE平分边BC ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）当ABC △满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？请说明理由．（08大兴二模） 29．（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线；（2）若2=OA ，求AC 的长.（08朝阳一摸）30．（本小题满分5分）已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4，CD=E 在AB 的延长线上，且tan 3E =. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为△O D E '''．求当点E '与点C 重合时，△O D E '''与⊙O 重合部分的面积．30．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 为弦，点P 为上一点，AB=10，AC ∶BC=3∶4．（1）当点P 与点C 关于直线AB 对称时（如图①），求PC 的长；（2）当点P 为的中点时（如图②），求PC 的长．解：（1）（2）（08石景山一摸） 31．（本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAE =60°,⊙O 的半径为5，求DE 的长．（08顺义一摸）32．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE =3,⊙O 的半径为5，求BF 的长.（第19题）ACBACA（08延庆二模）33. （本题满分6分）已知:如图6，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD 的一腰BC 为直径做⊙O ，交底AB 于E ，且恰与另一腰AD 相切于Ｍ；（1）求证：△EOM 为等腰直角三角形；（2）求AEBE 的值.（08昌平二模） 34. 如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．（08崇文一摸）35．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =动点O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结CD ．（1）若点D 为AB 边的中点（如图2），请你判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长.BA(08大兴一摸)36．（本小题满分5分）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BECE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由.第18题图（08东城二模）37. 如图，已知等边△ABC ，以边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E 。

圆的切线证明方法归纳

圆的切线证明方法归纳切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。

在几何学中，圆的切线是一个重要的概念。

证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介绍一些常见的证明方法。

1.垂直切线法：这是最常见的证明方法之一。

具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。

（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。

（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。

（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。

（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。

（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。

（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -r^2。

（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。

因此，OA^2 - r^2 > 0。

（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。

（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非同一点。

（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。

2.切线垂直与半径的证明：这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。

具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。

（2）连接OA和OT。

（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。

（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切线垂直。

（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。

（6）根据定义，切线上的每一个点与圆心都构成一个向量，这个向量与向量OA垂直。

（7）所以，根据步骤6，切线与所有圆心上的向量都垂直，即切线垂直于半径。

3.外切圆的切线证明：这种证明方法适用于外切圆。

具体步骤如下：（1）假设有一个三角形ABC，其中AB和BC是两条直线段，角ABC是直角。

切线证明(共5篇)

切线证明〔共5篇〕第1篇：证明切线的方法证明切线的方法证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进展分析^p 。

〔1〕圆和直线的唯一公共点，方法是：连半径，证垂直〔比拟常用〕。

〔2〕圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。

DE是圆O的切线吗？分析^p ：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB第2篇：证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒ ⌒∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF〔SAS〕. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒ ⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE，∴∠E=∠1. ∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD，∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C.∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切D 证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,C ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用及图上.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD，∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP， OCOP.ODOC 又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB，∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析^p ：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC. ∴CE与△CFG的外接圆相切二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC 与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO ∵OA=OB，∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD 于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD〔AAS〕∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CD CF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.第3篇：圆的切线方程公式证明:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 =a) / (y0y0 = k2 (xy0 = [- (x0b)] (xx0)(x0y0)(y0ax +ax0 + y0yx0²a)² + (y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a²+ b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：yx0)yx0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2 -x0²x0²Dx0/2a)² + (yMC²)(根据勾股定理)= √ [(x0b)²MC²)(根据勾股定理)= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)第4篇：切线的两种证明方法浅谈切线的两种证明方法在中学学习圆的时候，我们学过切线的断定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。

切线的证明方法。-概述说明以及解释

切线的证明方法。

-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：引言部分旨在介绍本文将要探讨的主题——切线的证明方法。

切线作为数学中重要的概念，在几何、微积分等领域中都起着至关重要的作用。

切线的证明方法是指在给定一个曲线时，如何确定该曲线上某点的切线。

本文将会介绍三种常见的切线的证明方法，并对其进行详细的讲解和演示。

这些证明方法包括第一个证明方法、第二个证明方法和第三个证明方法。

第一个证明方法将从基础的几何知识出发，通过利用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方程。

我们将详细介绍这个方法的步骤和计算过程，并通过实例来加深理解。

第二个证明方法将引入导数的概念，利用导数来求解切线的斜率。

我们将介绍导数的定义和性质，以及如何利用导数求解切线的斜率，并通过例子来说明这个方法的应用。

第三个证明方法与微积分中的极限概念相关，通过极限的定义来求解切线的斜率。

我们将探讨极限的概念和性质，以及如何运用极限来确定切线的斜率，并通过实例进行演示。

本文的目的是帮助读者更加深入地理解切线的概念和证明方法。

通过学习这些方法，读者将能够独立地解决切线相关的问题，并将这些方法应用到其他数学领域中。

在结论部分，我们将对这三种证明方法进行总结，并探讨它们在实际问题中的应用。

同时，我们也将展望未来，探讨可能的改进和拓展方向，以进一步提升切线的证明方法的应用价值。

接下来，我们将详细介绍第一个证明方法，以便读者能够更好地理解和掌握这个技巧。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。

在本篇文章中，我们将讨论切线的证明方法，并按照如下结构进行阐述：第一部分是引言。

在引言中，我们将对切线的概念进行概述，介绍其在数学中的重要性以及与其他几何概念的关系。

同时，我们还会简要介绍本文的结构和目的。

第二部分是正文。

在正文中，我们将详细介绍三种不同的证明方法。

首先，我们将讨论第一个证明方法，详细描述其步骤和推导过程。

然后，我们将进一步介绍第二个证明方法，指出其与第一个证明方法的异同之处。

九年级圆的切线知识点

九年级圆的切线知识点圆是几何学中的一种基本图形，它具有很多重要的性质和知识点。

其中，圆的切线是一个非常重要的概念。

下面，我将为大家介绍九年级圆的切线的相关知识点。

一、什么是切线在圆的几何中，切线是指与圆相切且只有一个交点的直线。

切线的特点是与圆的切点处的切线段垂直于半径。

根据切线与半径的关系可以推导出切线的性质。

二、切线的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的切点处的切线段垂直。

2. 切线与半径的夹角：切线与从切点到圆心的半径之间的夹角为90度。

3. 切线的斜率：切线的斜率等于切线与圆心连线的斜率的负倒数。

4. 切线的长度：切线的长度等于与圆心连线的长度的平方减去半径的平方再开根号。

三、切线的证明1. 证明切线与半径的关系：我们可以通过作图来证明切线与半径的切点处的切线段垂直。

首先，以圆心为原点建立坐标系，假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。

则圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。

假设切线过切点的斜率为k，则切线的方程为y - y0 = k(x -x0)。

由于切点处的切线段垂直于半径，所以切线的斜率等于半径与切线的夹角的正切值。

即k = -x0 / y0。

将k带入切线的方程得到y - y0 = (-x0 / y0)(x - x0)。

将切线与圆的方程联立解得切点坐标(x0, y0)。

由此可证明切线与半径的切点处的切线段垂直。

2. 证明切线与半径的夹角为90度：我们可以通过证明切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1来证明切线与半径的夹角为90度。

假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。

则切线的斜率为- x0 / y0，半径的斜率为y0 / x0。

由于切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1，所以切线与半径的夹角为90度。

四、切线的应用圆的切线在很多问题中都有重要的应用。

比如，切线的长度可以用来计算切点到圆心的距离，这对于解决与切线和半径有关的问题非常有用。

切线还可以用来解决与切线和直线的交点有关的问题，如切线与直线的夹角等。

切线的证明

平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。

那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。

⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。

例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

例4.如图，已知AB是⊙O 的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：CD与⊙O相切。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？并证明。

⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？并证明。

如何证明圆的切线垂直于圆的半径用反证法。

设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。

九年级切线的证明知识点

九年级切线的证明知识点切线是初中数学中的一个重要概念，它在几何图形中的应用非常广泛。

本文将为大家详细介绍九年级切线的证明知识点，帮助大家更好地理解和掌握相关内容。

1. 切线的定义和性质在几何中，切线是指与曲线相切且与曲线在切点处有且仅有一个公共点的直线。

切线与曲线相切的点叫做切点。

性质一：切线与曲线相切的切点是曲线的特殊点，切线通过该点的斜率等于曲线在该点处的导数。

性质二：过曲线上任一点可以作切线，但切线的斜率等于曲线在该点处的导数。

2. 切线的证明方法在证明题中，常常需要证明切线的存在或者切线的某些性质。

以下是九年级常用的几种切线的证明方法。

方法一：使用导数的定义证明对于一条曲线上的一点P(x0, y0)，如果该点的导数存在，则可以通过导数的定义证明切线的存在。

具体步骤如下：（1）求出曲线在该点的导数，得到导数的表达式。

（2）计算该点的斜率，将斜率与切线的斜率进行比较，如果相等则证明切线存在。

方法二：使用距离的性质证明在某些情况下，我们可以利用距离的性质来证明切线的存在。

具体步骤如下：（1）求出曲线上任意一点P(x, y)到固定点A的距离函数。

（2）求出距离函数的极值点，即求出使得距离函数最小或最大的点。

（3）证明极值点与曲线的切点重合，从而证明切线的存在。

方法三：使用解析几何的方法证明对于一些特殊的曲线，我们可以利用解析几何的方法证明切线的存在。

具体步骤如下：（1）将曲线方程表示成y=f(x)的形式。

（2）设曲线上一点P(x0, y0)，求出点P处的导数。

（3）由点斜式或两点式求出切线的方程。

3. 切线的典型题型九年级的数学题目中常常涉及到切线的证明，以下是一些典型的切线题型。

题型一：证明曲线和直线的相切性对于给定的曲线方程和直线方程，要证明这两个图形相切，可以分别进行以下步骤：（1）求出曲线方程和直线方程分别的导数。

（2）解方程组，求出相切点的坐标。

（3）证明相切点同时满足曲线和直线的方程。

切线的证明方法和技巧

切线的证明方法和技巧切线的证明方法和技巧主要有以下几种:1. 基本几何证明方法:利用平行、同位角、内外角、角度相等、线段长度相等等基本几何定理,证明切线与被切圆弧的公共角为60度,进而证明切线与被切圆弧切于点。

2. 利用余弦定理证明切线:利用余弦定理,将圆周角转化为角度,进而证明切线与被切圆弧切于点。

具体步骤为:设切点为A,被切圆弧为AB,切线为CD,则有:CD · AB = CA · AB + CS · CA,其中 CS 为切点到圆弧中心的连线与圆弧的夹角。

将圆周角转化为角度,则有:CD · AB = |CA| · (180° / 2) - CS · CA = 180° / 2 - CS · (CA / |CA|)化简得:CD · AB = CS |AB| - CS · AB = CS (AB / |AB|) - CS = CS / |AB| = (CD / |CD|) · AB因此,CD · AB · ||CD| = CS · ||CD| · AB = CS · AB = (CD / |CD|) · AB,即切线与被切圆弧切于点。

3. 利用相似三角形证明切线:利用相似三角形的性质,证明切线与被切圆弧的公共弦长为半径,进而证明切线与被切圆弧切于点。

4. 利用圆的性质证明切线:利用圆的性质,证明切线与被切圆弧切于点的方法主要依赖于圆的性质,如半径、直径、对称性、同位角、内角和等。

具体步骤为:(1)设切点为O,被切圆弧为AB,已知弦CO与圆弧AB的公共弦心角为θ。

(2)根据圆的性质,可得弦CO与圆弧AB同弧,即CO = AB / 2,进而可得半径CO = (AB / 2)。

(3)根据圆周角定理,可得角度θ = 60°。

切线定理知识点总结

切线定理知识点总结一、切线定理的概念1. 定义切线定理是研究曲线的切线和切线方程的一个重要定理。

它是微积分学中的一个重要结论，也是求曲线的切线方程的一个基本工具。

在讨论切线定理前，我们首先要了解曲线的切线的概念。

对于曲线上的一点P，它的切线可以定义为沿着曲线上的一点P处的切线方向的直线。

也就是说，如果一条直线L与曲线C在点P处相切，那么称直线L为曲线C在点P处的切线。

2. 切线定理的内容切线定理的内容主要有两个方面：一是求解曲线在某一点处的切线的斜率，二是求解曲线在某一点处的切线方程。

对于第一个方面，切线定理告诉我们，曲线在某一点处的切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。

也就是说，如果曲线C在点P处的导数存在，那么曲线在点P处的切线的斜率即为曲线在点P处的导数值，这是切线定理的一大要点。

对于第二个方面，切线定理告诉我们，曲线在某一点处的切线方程可由该点的横坐标和曲线在该点处的导数值来确定。

也就是说，如果曲线C在点P处的导数存在，那么曲线在点P处的切线方程可由如下的方式来确定:y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)其中(x_0, y_0)为曲线C上的一点，f'(x_0)为曲线C在点P处的导数值，这是切线定理的另一大要点。

二、切线定理的证明切线定理的证明是微积分学中的一个重要内容。

下面我们将对切线定理的证明进行详细介绍。

1. 切线斜率的证明切线定理告诉我们，曲线在某一点处的切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。

这一结论可以通过曲线的定义和导数的定义进行证明。

首先，我们知道，曲线在点P处的切线的斜率就是通过点P处的切线方向的直线的斜率。

而曲线在点P处的切线的斜率的极限值等于曲线在点P处的斜率的极限值。

因此，我们可以通过曲线的定义和导数的定义来证明切线定理中的切线斜率的结论。

2. 切线方程的证明切线定理告诉我们，曲线在某一点处的切线方程可由该点的横坐标和曲线在该点处的导数值来确定。

中考专题解析—切线证明

专题解析——切线证明切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ．∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．图1O ABCD【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o ．∴∠ODC ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．O ABCD 图22 341 图3O ABCD2 31思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线．理由：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∵∠COD是△BOC的外角，∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D，∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,O B=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，DC∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ，OCOPODOC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于 F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。

切线证明技巧

切线证明技巧
1. 嘿，你知道不，找切点可是切线证明的关键哦！就好像你要找到宝藏的入口一样。

比如说圆吧，在圆上确定一个点，那就是开启证明切线大门的钥匙呀。

2. 哇塞，观察角度也超重要好不好！这就好比你从不同的视角看一幅画，会有不一样的发现呢。

像给一条直线和一个圆，你得从不同角度去寻找它们之间的联系呀。

3. 嘿呀，证明垂直关系简直是必杀技啊！这就像是给敌人致命一击。

比如已知的半径和要证明的切线，让它们垂直不就搞定啦！
4. 哎呀，利用三角形的知识也很棒呀！想象一下三角形就像一个坚固的堡垒，能帮咱们解决切线问题呢。

像通过三角形来证明角相等，进而推出切线。

5. 哇哦，方程有时候也能派上大用场呢！这就如同给我们配备了一件厉害的武器。

例如通过设未知数，建立方程关系来找到切线的线索。

6. 嘿嘿，别忘了相似图形这个秘密武器呀！这就跟双胞胎一样有相似之处呢。

比如两个相似的图形中找到对应边，从而证明切线。

7. 哟哟，等量代换也是很妙的一招哦！就跟变魔术似的。

像是把一个条件换成另一个等价的，就能让切线浮出水面啦。

8. 哈哈，辅助线可不能小瞧呀！它就像我们的好帮手。

比如画一条恰到好处的辅助线，让切线证明变得轻而易举。

9. 总之呢，切线证明技巧可多啦！就看你会不会灵活运用啦。

只要掌握了这些，什么切线问题都难不倒我们！。

切线的证明方法

切线的证明方法引言在微积分中，切线是一条与曲线相切的直线。

切线的研究在数学和物理学中具有重要的意义。

本文将探讨切线的证明方法，包括切线的定义、切线的性质以及证明切线存在的方法。

切线的定义切线是一条与曲线仅有一个公共点且在该点处与曲线的切点相同的直线。

在数学中，切线的定义可以通过极限的概念来描述。

切线的性质切线具有以下性质：1.切线与曲线相切于一个点。

2.切线与曲线在切点处有相同的斜率。

切线的证明方法方法一：斜率法证明切线存在的一种常用方法是使用斜率。

下面以一元函数为例进行说明。

1.确定切点：首先需要确定曲线上的一个点，该点即为切点。

2.计算斜率：在切点处，计算曲线的斜率。

3.构造切线：以切点为起点，斜率为斜率的直线即为切线。

方法二：导数法导数是切线存在的必要条件。

下面以一元函数为例进行说明。

1.求导数：对给定的函数求导数。

2.确定切点：找到函数的一个极值点，该点即为切点。

3.判断斜率：计算极值点处的导数，若导数存在且不为零，则切线存在。

方法三：极限法极限是切线存在的另一种常用方法。

下面以一元函数为例进行说明。

1.确定切点：首先需要确定曲线上的一个点，该点即为切点。

2.构造割线：以切点为起点，选择一个趋近切点的点作为终点，构造割线。

3.极限计算：计算割线的斜率随着终点趋近切点时的极限值，若存在有限极限，则切线存在。

切线的应用切线的研究不仅在数学中有重要意义，还在物理学、工程学等学科中有广泛的应用。

以下是一些切线的应用实例：1.物体运动的切线速度：在物理学中，切线速度是描述物体运动的一个重要概念，它表示物体在某一时刻的瞬时速度。

2.曲线绘制：在计算机图形学中，利用切线可以绘制平滑的曲线，如贝塞尔曲线、样条曲线等。

3.最优化问题：在优化理论中，切线可以帮助求解最优化问题，如寻找函数的最大值、最小值等。

结论切线是与曲线相切的直线，具有特定的性质。

证明切线存在的方法包括斜率法、导数法和极限法。

切线的研究在数学和其他学科中具有广泛的应用。

证切线记住口诀

记住口诀证切线学习了直线与圆的位置关系，经常遇到判断一条直线是圆的切线的题目,那么如何判断一条直线是圆的切线呢？记住下列口诀，问题便迎刃而解了。

口诀一、见半径，证垂直已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.例1、如图1，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ，且BAC D ∠=∠.求证：AD 是半圆O 的切线.分析：要证明AD 是⊙O 的切线，因为AB 是⊙O 的直径，所以只要证明AB ⊥AD 即可.证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵OD ∥BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒,∴90DOA BAC ∠+∠=︒，∵BAC D ∠=∠,∴90DOA D ∠+∠=︒，∴AD OA ⊥，∴AD 是半圆O 的切线.口诀二、连半径，证垂直条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，例2、如图2，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．求证：直线DE 是⊙O 的切线．分析：由已知条件可知点D 在⊙O 上，因此要证DE 是⊙O 的切线，只需连结OD ，看OD 与DE 是否垂直即可.证明：如图，连结OD 、BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°, ∴BD ⊥AC,∵AB=BC ，∴AD=DC ，∵OA=OB ，∴OD ∥BC,∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ，∴直线DE 是⊙O 的切线.口诀三、作垂直，证半径已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，例3、如图3，两个同心圆，弦AB 、CD 相等，AB 切小圆于点E ，那么CD 是小圆的切线图1 E D A O C F D C B A O 图2吗？为什么？分析：已知条件中没有告诉直线CD与小圆O有公共点，由圆心O 向直线CD作垂直OF，若能证明OF与半径OE相等，则可说明CD是小圆的切线.解：CD是小圆的切线.理由如下：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为点F，因为AB切小圆于点E，所以OE⊥AB，在大圆中，因为AB=CD，所以OF=OE，所以CD是小圆的切线.FEDCBAO图3。

切线的证明方法

切线的证明方法:证垂直
第一步,连半径,
第二步,挖掘题中的垂直关系:
1.直径所对的所有圆周角都是90° .
2.垂径定理。

3.切线的性质.
4.等腰三角形三线合一.
5.已知的垂直.
第三步:利用两角互余,等角的余角相等，两线平行,等边对等角，同弧所对的圆周角相等，两三角形全等三角形等手段把角进行转移。

.二,求线段长的方法:设未知数，构建方程
利用：
1, 相似三角形.（圆中相似有：平行，双垂直，圆内接四边形）
2.勾股定理
3.三角函数（当题中已知30.45.60特殊角度时或有√2.√3反用三角函数）。

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一、知识点回顾
1、圆的切线的判定方法有三种：
①．定义法：直线 l 与圆只有唯一的公共点 ②．距离法：圆心 0 与直线 l 的距离d=r
③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的证明方法：
①．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。

简记为：作垂直，证半径。

②．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。

简记为：连半径，证垂直。

二、看图，如何添加辅助线
三、思考，如何转化
已知：如图，在Rt △ABC 中∠ABC=900，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E 点，D 为BC 的
中点。

求证：DE 与⊙O 相切。

已知：以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，，过D 作DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。

B
C
D
A
O
E O
E
A
B
D
C
O
B A
C
E
D
O
B
A
C E
D
B
C
D
A
O
E
1．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在圆上，∠CAB=30°，
求证：DC 是⊙O 的切线．
2、已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。

求证：EC 与⊙O 相切。

3．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．
4、已知如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且，过D
作DE ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.
O
B A
C
D
E
F。

切线的证明

切线的证明技巧

切线的证明方法

切线的证明

圆的切线证明方法归纳

切线证明(共5篇)

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