证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.

求证：EF 与⊙O 相切.

证明：连结OE ，AD.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AD ⊥BC.

又∵AB=BC ，

∴∠3=∠4.

∴BD=DE

，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ，

∴△BOF ≌△EOF （SAS ）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF 与⊙O 相切，

∴OB ⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF 与⊙O 相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

⌒ ⌒

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA 与⊙O 相切.

证明一：作直径AE ，连结EC.

∵AD 是∠BAC 的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD ，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB ，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E ，

∴∠1=∠E

∵AE 是⊙O 的直径，

∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA ⊥PA.

∴PA 与⊙O 相切.

证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE.

∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，

∴OE ⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE ，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD ，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠

BDE,

⌒ ⌒

∴∠1+∠PAD=900

即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC ，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD ，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD ∥AC.

∵DM ⊥AC ， ∴DM ⊥OD.

∴DM 与⊙O 相切

证明二：连结OD ，AD.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AD ⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2.

∵DM ⊥AC ，

∴∠2+∠4=900

∵OA=OD ， ∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900

.

即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.

求证：DC 是⊙O 的切线

证明：连结OC 、BC.

∵OA=OC ，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB ，

∴△OBC 是等边三角形.

∴OB=BC.

∵OB=BD ，

∴OB=BC=BD.

∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.

例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.

求证：PC 是⊙O 的切线.

证明：连结OC

∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，

∴OC 2=OD ·OP ，

OC

OP OD OC . 又∵∠1=∠1，

∴△OCP ∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD ⊥AB ，

∴∠OCP=900.

∴PC 是⊙O 的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.

求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.

证明：取FG 中点O ，连结OC.

∵ABCD 是正方形，

∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △

∵O 是FG 的中点，

∴O 是Rt △CFG 的外心.

∵OC=OG ，

∴∠3=∠G ，

∵AD ∥BC ，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD ，DE=DE ，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE ≌△CDE （SAS ）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.