Chapter2-1数列极限(1)
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数学分析讲解---数列极限ppt课件
无穷小，无穷大和无界的关系
定理 若xn
0,
则
lim
n
xn
lim
n
1 xn
0.
无穷大 无界，反之不成立
例8 当n
时，xn
n2
cos
n 是（
）.
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.
15
Stolz定理
设{yn}严格增加，且
lim
n
yn
.
若
12
定理5 若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B, 则有
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim
n
xn
)
lim
xn
A
lim
n
xn
n yn
B
lim
n
yn
(B 0);
1 3
Ex. 求极限 lim1 2 L n
n
nn
2 3
五、数列收敛准则
1单调有界定理 设数列{xn}单调增加. 则当{xn}有上界时, {xn}收敛，当{xn} 上无界时, {xn}为正无穷大，且均成立
lim
n
《数列极限》课件
数列极限的求法和定理
夹逼定理
当数列中的部分项趋近于某值 时，可以用夹逼定理计算数列 极限。
单调有界性原理
针对单调有界数列极限计算， 有效避免无关项的干扰。
等比数列求和公式
等比数列常用求和公式是根据 数列的公比、项数和首项等参 数来计算其总和。
数Байду номын сангаас极限的应用
1
概率论
数列极限可以用于计算连续抛硬币等随机事件的概率。
2
微积分
通过数列极限的积分运算，在空间形体的计算上取得模型化精确结果。
3
金融学
通过数列极限的公式及定理，对于计息的时间长度和贷款利率有精确的计算方法。
数列极限和函数极限的关系
概念解释
数列极限和函数极限都是极 限概念，数列极限为数列中 每一项趋向于某个常数值， 函数极限为自变量无限接近 某一值时因变量所趋向的极 限值。
《数列极限》PPT课件
欢迎大家来学习本课程，我们将深入了解数列极限的概念及应用，同时带您 领略数学的神奇之处。
数列极限概述
1 数列
数列就是按照一定次序排 列的一列数。
2 收敛与发散
数列收敛是指数列的值无 限地靠近某个数，发散表 示数列的值趋于正无穷或 负无穷。
3 应用
数列极限有诸如杨辉三角、 黄金分割数等数学问题的 解决方法。
针对实际问题，通过数列极限相 应的公式和求值技巧得出定量结 果。
数列的定义及分类
等差数列
其数列中每一项与前一项之差相 等。
等比数列
其数列中每一项与前一项之比相 等。
斐波那契数列
其数列中每一项都等于前两项之 和。
数列极限的定义和性质
1 数列极限的定义
数列极限是 指随着数列项数的增加，数列中 的每一项趋近于某个确定的常数。
2-1 数列的极限
定理5(单调有界数列收敛准则 定理 单调有界数列收敛准则) 单调有界数列收敛准则
单调递增且有上界的
数列必有极限； 数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极 限．即单调有界数列必有极限． 单调有界数列必有极限．
1 1 1 + 2 +L + n ，证明 lim x n 存在. 例3 设 x n = n→ ∞ 3+1 3 +1 3 +1 1 ≥ 0，故x 单调递增 又 证 Q x n +1 − x n = n +1 n单调递增.又 3 +1
数列举例:
1 2 3 n , , , ⋅⋅⋅, ⋅ ⋅ ⋅; 2 3 4 n+1 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅ ;
1 1 1 1 , , , ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅; 2 4 8 2 1, −1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (−1)n+1, ⋅ ⋅ ⋅ .
定义1 定义 设xn=f(n)是一个以正整数集为定义域的函 是一个以正整数集为定义域的函 将其函数值x 按自变量n的大小顺序排成一列 数，将其函数值 n按自变量 的大小顺序排成一列 x1,x2,x3,…，xn,… … … 称为一个数列．数列中的每一个数叫做数列的项 数列的项， 称为一个数列．数列中的每一个数叫做数列的项， 数列 一般项或 第 n项xn 叫做数列的 一般项 或 通项 ． 数列也可表示 项 叫做数列的一般项 通项． 为{xn}或xn=f(n)． 或 ．
lim x n ≤ lim y． n
n→ ∞ n→ ∞
特别地,若 特别地 若xn≥0(或xn≤0),则 或 则
lim x n ≥
n→ ∞
定理4(夹逼定理 设数列{x 满足x 定理 夹逼定理) 设数列 n},{yn},{zn}满足 n≤yn≤zn(当n 夹逼定理 满足 当 lim ,则 = lim z n = a ． xn ＞N时)，且 时， 则
2-1数列的极限
定义 1 若 lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
tan 例如：当x 0 时，sin x 和 x 是无穷小量；
当 x x 时，x- x 是无穷小量；
当 x - 时， a (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 是无穷小量。 2 x 1
x
2.无穷小量的性质
推论 2 若 lim f ( x) A ， lim g ( x) B ，且 0 ，
x x
x N ( x , ) 时，恒有 f ( x) g ( x) ，则 A B 。
x x
1.3.5 函数极限的运算
仅讲lim x(的情形。 lim g ( x) B ，则 设 x f x) A ，
1 观察函数 ff((x)在(当 x 时的变化趋势。 定义：设 x) x a, ) 内有定义， A 为 一定数。
1 f ( x) x
1 0, X 0, x X , 恒有 f ( x) - A . lim f ( x) A. 解：当 x 时， f ( x) 无限趋向于零。 x x
o
x
2． x - 时函数 f (x) 的极限定义
定义：设 f (x) 在 (-, a) 内有定义，A 为一定数。
x -
lim f ( x) A o, X 0, x - X , 恒有 f ( x ) - A .
3． x 时函数 f (x) 的极限定义
x x
则 0 ， x N ( x , ) 时， f ( x) g ( x) 。
x x
推论 1（局部保号性） 若 lim f ( x) 0 （或 0 ） 0 ， x N ( x ,) 时， ，则
无穷小量，简称无穷小。
tan 例如：当x 0 时，sin x 和 x 是无穷小量；
当 x x 时，x- x 是无穷小量；
当 x - 时， a (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 是无穷小量。 2 x 1
x
2.无穷小量的性质
推论 2 若 lim f ( x) A ， lim g ( x) B ，且 0 ，
x x
x N ( x , ) 时，恒有 f ( x) g ( x) ，则 A B 。
x x
1.3.5 函数极限的运算
仅讲lim x(的情形。 lim g ( x) B ，则 设 x f x) A ，
1 观察函数 ff((x)在(当 x 时的变化趋势。 定义：设 x) x a, ) 内有定义， A 为 一定数。
1 f ( x) x
1 0, X 0, x X , 恒有 f ( x) - A . lim f ( x) A. 解：当 x 时， f ( x) 无限趋向于零。 x x
o
x
2． x - 时函数 f (x) 的极限定义
定义：设 f (x) 在 (-, a) 内有定义，A 为一定数。
x -
lim f ( x) A o, X 0, x - X , 恒有 f ( x ) - A .
3． x 时函数 f (x) 的极限定义
x x
则 0 ， x N ( x , ) 时， f ( x) g ( x) 。
x x
推论 1（局部保号性） 若 lim f ( x) 0 （或 0 ） 0 ， x N ( x ,) 时， ，则
2-1数列的极限(ppt文档)
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1
x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
刘徽割圆术
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1 形的面积 An
2019/11/25
R
A1 , A2 , A3 ,, An , 圆的面积 S
n
xn
存在，就称数列{xn}收敛.
如果
lim
n
xn
a
，就称数列{xn}收敛于 a.
如果数列{xn}的极限不存在，就称数列{xn}发散.
21-16
2019/11/25
注3： 的任意性. 是变量,以小为佳.由它的任意性知
2 , , 2 等也是任意正数,也可以作为定义中的
,还可限制 1, 1 等。 2
（2）当 0 q 1时， qn 0 q n ，
注 4：N 的相应性. 一般说，N 是随着 的变小而变大的，
可写成 N= N( ). 但是这种写法并不意味着 N 是由 唯一
确定的. 其实在许多场合下，最重要的是 N 的存在性，
而不在于它的值是多少. 因此我们确定 N 时，经常将 xn a 作适当的放大处
理，使问题简单化.
21-17
例 2.1.1
定义 2.1.2 设有数列{xn}和常数 a，如果对于任意给定
的正数ε ，总存在正整数 N，使得当n N 时，恒有
xn a
成立，就称常数 a 为数列{xn}当 n 时的极限，记为
lim
n
xn
a
或xn
a (n ).
N
定义的简洁描述：lim n
x3 x1
x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
刘徽割圆术
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1 形的面积 An
2019/11/25
R
A1 , A2 , A3 ,, An , 圆的面积 S
n
xn
存在，就称数列{xn}收敛.
如果
lim
n
xn
a
，就称数列{xn}收敛于 a.
如果数列{xn}的极限不存在，就称数列{xn}发散.
21-16
2019/11/25
注3： 的任意性. 是变量,以小为佳.由它的任意性知
2 , , 2 等也是任意正数,也可以作为定义中的
,还可限制 1, 1 等。 2
（2）当 0 q 1时， qn 0 q n ，
注 4：N 的相应性. 一般说，N 是随着 的变小而变大的，
可写成 N= N( ). 但是这种写法并不意味着 N 是由 唯一
确定的. 其实在许多场合下，最重要的是 N 的存在性，
而不在于它的值是多少. 因此我们确定 N 时，经常将 xn a 作适当的放大处
理，使问题简单化.
21-17
例 2.1.1
定义 2.1.2 设有数列{xn}和常数 a，如果对于任意给定
的正数ε ，总存在正整数 N，使得当n N 时，恒有
xn a
成立，就称常数 a 为数列{xn}当 n 时的极限，记为
lim
n
xn
a
或xn
a (n ).
N
定义的简洁描述：lim n
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
1-2数列极限-1-文档资料42页
证: 用反证法. 假设
及
且 ab.
取
因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而
xn
ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满b唯a22a足b一的. 不等式
分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
高等数学的特点
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念。
极限理论是高等数学的基础理论， 是高等数学的精华所在， 是高等数学的灵魂。
因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键， 也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
例3.
设
xn0,且 lni m xna0,证明
lim
n
xn
a.
证:
0,
因为
lim
n
xn
a,
所以
当 n > N 时, 总有
从而
xn a
2-1数列的极限
n n→∞ →∞
5.数列以无穷大为极限 5.数列以无穷大为极限 定义1 定义1 设给定数列 xn 如果对任意 M > 0, 都 成立, ∃ N > 0, 当 n > N 时, 对一切 xn 都有 xn > M 成立, 以无穷大为极限. 则称数列 xn 以无穷大为极限.记为lim xn = ∞ n→ ∞ 例如, 例如, lim n = ∞. 同理可以定义 lim xn = +∞, lim xn = −∞. n→∞ n→∞ (1)无穷大是一种变化趋势 不是确切的极限. 无穷大是一种变化趋势, 注: (1)无穷大是一种变化趋势,不是确切的极限. 无穷大一定无界, (2) 无穷大与无界的区别: 无穷大一定无界, 但无界不一定是无穷大. 例如, 例如, xn = n + ( −1)n n 是无界的, 但不是 无穷大; 无穷大; 是无界的, 而 xn = n 是无穷大. 是无穷大.
n n n
lim x n = a , lim y n = b , 且 a > b
例3 (030203) 设 {a } , {b } , {c } 均为非负数列, 均为非负数列, 且 lim a
n→∞ n
= 0, lim b = 1, lim c = ∞,
n→∞ n n→∞ n
则下列结论是否
成立? 成立?
(1)定理中的条件 可以从某项以后成立. 注: (1)定理中的条件xn ≥ yn可以从某项以后成立. (2) 若 xn > yn ,
2 1 推不出 a > b 例如, xn = n , yn = n . 例如,
定理4 定理4 设 n → ∞ n→ ∞ 则一定存在一个 N , 当 n > N 时有 xn > yn .
5.数列以无穷大为极限 5.数列以无穷大为极限 定义1 定义1 设给定数列 xn 如果对任意 M > 0, 都 成立, ∃ N > 0, 当 n > N 时, 对一切 xn 都有 xn > M 成立, 以无穷大为极限. 则称数列 xn 以无穷大为极限.记为lim xn = ∞ n→ ∞ 例如, 例如, lim n = ∞. 同理可以定义 lim xn = +∞, lim xn = −∞. n→∞ n→∞ (1)无穷大是一种变化趋势 不是确切的极限. 无穷大是一种变化趋势, 注: (1)无穷大是一种变化趋势,不是确切的极限. 无穷大一定无界, (2) 无穷大与无界的区别: 无穷大一定无界, 但无界不一定是无穷大. 例如, 例如, xn = n + ( −1)n n 是无界的, 但不是 无穷大; 无穷大; 是无界的, 而 xn = n 是无穷大. 是无穷大.
n n n
lim x n = a , lim y n = b , 且 a > b
例3 (030203) 设 {a } , {b } , {c } 均为非负数列, 均为非负数列, 且 lim a
n→∞ n
= 0, lim b = 1, lim c = ∞,
n→∞ n n→∞ n
则下列结论是否
成立? 成立?
(1)定理中的条件 可以从某项以后成立. 注: (1)定理中的条件xn ≥ yn可以从某项以后成立. (2) 若 xn > yn ,
2 1 推不出 a > b 例如, xn = n , yn = n . 例如,
定理4 定理4 设 n → ∞ n→ ∞ 则一定存在一个 N , 当 n > N 时有 xn > yn .
§2.1 数列的极限-13页PPT精选文档
A , A 内 ， 而 在 开 区 间 以 外 ， 至 多 只 有 有 限 个 点
x1,x2,,xN
目录 上一页 下一页 退 出
介绍几个常用的符号： 符 号 “ ” 表 示 ： “ 对 于 任 意 的 ” 、 “ 对 于 所 有 的 ” ；
符 号 “ ” 表 示 ： “ 存 在 ” 、 “ 有 一 个 ” ；
目录 上一页 下一页 退 出
下面给出数列极限的定义
定义2 对 于 数 列 x n ， 如 果 当 n 无 限 增 大 时 ， 一 般 项 x n
的 值 无 限 接 近 于 一 个 确 定 的 常 数 A ， 则 称 A 为 数 列 x n 当 n 趋 向 于 无穷大时的极限，记为 l n i m x n A ， 或 者 x n A n
x n . 数 列 中 的 每 个 数 称 为 数 列 的 项，其中xn称为数列源自的一般项或通项...
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下 面 考 察 当 n 无 限 增 大 时 ( 记 为 n ， 符 号 读 作
趋 向 于 ） 一 般 项 x n 的 变 化 趋 势 : 11n1
定义3 设 有 数 列 x n ， 若 M 0 ， 使 对 一 切 n 1 , 2 , , 有 x n M ， 则 称 数 列 x n 是 有 界 的 ， 否 则 称 它 为 无 界 的 。
例 如 数 列 n 2 1 1 、 (-1 )n有 界 ， 数 列 n 2无 界 。
符 号 “ m a x X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 大 数 ；
符 号 “ m i n X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 小 数 .
x1,x2,,xN
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介绍几个常用的符号： 符 号 “ ” 表 示 ： “ 对 于 任 意 的 ” 、 “ 对 于 所 有 的 ” ；
符 号 “ ” 表 示 ： “ 存 在 ” 、 “ 有 一 个 ” ；
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下面给出数列极限的定义
定义2 对 于 数 列 x n ， 如 果 当 n 无 限 增 大 时 ， 一 般 项 x n
的 值 无 限 接 近 于 一 个 确 定 的 常 数 A ， 则 称 A 为 数 列 x n 当 n 趋 向 于 无穷大时的极限，记为 l n i m x n A ， 或 者 x n A n
x n . 数 列 中 的 每 个 数 称 为 数 列 的 项，其中xn称为数列源自的一般项或通项...
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下 面 考 察 当 n 无 限 增 大 时 ( 记 为 n ， 符 号 读 作
趋 向 于 ） 一 般 项 x n 的 变 化 趋 势 : 11n1
定义3 设 有 数 列 x n ， 若 M 0 ， 使 对 一 切 n 1 , 2 , , 有 x n M ， 则 称 数 列 x n 是 有 界 的 ， 否 则 称 它 为 无 界 的 。
例 如 数 列 n 2 1 1 、 (-1 )n有 界 ， 数 列 n 2无 界 。
符 号 “ m a x X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 大 数 ；
符 号 “ m i n X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 小 数 .
2_1数列的极限(一)与连续41页PPT
ln q
因此 , 取
N1llnnq
, 则当 n > N
时,
就有
qn10
故
limqn1 0
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注明：
1 0 . 取值的任意性与相对( 寻求 N 时) 的确定性； 2 0 . N 与 的关联性以及 N 选取的多样性；
3 0 . 改变数列 xn 有限项之值，其敛散性不受影响，
的一切 x n 都有：
xn a 或 xn N(a,)
则称数列 x n 是收敛（于 a ）的 ； 常数 a 称为数列 x n
( 当 n 趋于无穷时 ) 的极限 。记作： nl im xn a 或 xn a(n )或 xn n a.
如果数列 x n 不收敛，就称之是发散的。
例1.
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,
有
a12xna12
a
1 2
a
a
1 2
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间(a12,a12)内, 因此该数列发散 .
解：l n , An 分别表示圆内接正 n 边形的周长与面积,
如图所示 , 可得 ：
ln 2rnsin n ;
r cos n
n
A nnr2sin ncos nn 2 r2sin2 n
r
(n3,4,5,L)
试问：当 n 无限增大时, l n , An 的变化特征如何？
r sin n
刘徽 ： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
,
验证：nl im xn 0.
证:
xn0
因此 , 取
N1llnnq
, 则当 n > N
时,
就有
qn10
故
limqn1 0
n
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注明：
1 0 . 取值的任意性与相对( 寻求 N 时) 的确定性； 2 0 . N 与 的关联性以及 N 选取的多样性；
3 0 . 改变数列 xn 有限项之值，其敛散性不受影响，
的一切 x n 都有：
xn a 或 xn N(a,)
则称数列 x n 是收敛（于 a ）的 ； 常数 a 称为数列 x n
( 当 n 趋于无穷时 ) 的极限 。记作： nl im xn a 或 xn a(n )或 xn n a.
如果数列 x n 不收敛，就称之是发散的。
例1.
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,
有
a12xna12
a
1 2
a
a
1 2
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间(a12,a12)内, 因此该数列发散 .
解：l n , An 分别表示圆内接正 n 边形的周长与面积,
如图所示 , 可得 ：
ln 2rnsin n ;
r cos n
n
A nnr2sin ncos nn 2 r2sin2 n
r
(n3,4,5,L)
试问：当 n 无限增大时, l n , An 的变化特征如何？
r sin n
刘徽 ： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
,
验证：nl im xn 0.
证:
xn0
2-1数列极限的概念
分析 任给 0, 由
n 1 n7 , 2 2 3n n 7 3 3 （3n n 7 ）
2
当 n 7 时, n 7 2n, 3n2 n 7 3n2 2n 2n 2 ,
故要使
n7 2n 1 2 成立, 2 3n （ 3 3n n 7） 6n
n
a 1 , 当 n N 时, 故对于任意正数 , 取 N
n
a 1 . 因此证得 lim n a 1 .
n
这里放大时用到了伯努利不等式. 前页 后页 返回
1 (3)当 0 < a < 1, 令b 1, 由(2)知 lim n b 1. n a
a1 , a2 ,
, an ,
,
a2
..
. .
a1
2
an
an1
.
或简记为 {an}. 这里 an
称为数列 {an} 的通项.
O
1
n 1
n
前页 后页 返回
例如：
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
an ( 1) n1
1 4 n ( 1) 2, , ,, 2 3 n
是通过的相对固定性来实现的， 一旦给出, 在接下 来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的. 此外，又因 是任意正数, 所以 2 , ,
2
2
,
等
前页 后页 返回
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式 | an a |
可以用 | an a | K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
前页 后页 返回
1 1 , 2, 2 2
1 , n, 2
高等数学1.2_1数列的极限1
第一章
第一节 （一）数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
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2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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内容小结
1. 数列极限的 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 3. 极限存在准则:
夹逼准则 ; 单调有界准则
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思考与练习
1.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,),
求
lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对!
此处
lim
n
xn
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(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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1
第一节 （一）数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
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2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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内容小结
1. 数列极限的 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 3. 极限存在准则:
夹逼准则 ; 单调有界准则
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思考与练习
1.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,),
求
lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对!
此处
lim
n
xn
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(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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1
2_1数列的极限
n2
定 理（四则运算法则）设数列 ⅰ） ⅱ） ⅲ） 推 论: 设 ⅰ） ⅱ） ⅲ） ⅳ）
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定理 2 （保序性） 设
ⅰ）若
ⅱ）若
均收敛，
lim xn lim yn , N , n N : n n
xn yn ;
N , n N : xn yn , lim xn lim yn . n n 证: 设 lim xn a, lim yn b , n n ⅰ） a b , 取 0 ba ,由极限的唯一性证明知， 2 存在着 N ，当 n > N 时，有 xn a b yn ; 2
因此 , 取
xn C, n 1, 2, 其中：C为常数， 试证数列
0
N 1, 则当 n N 时, 就有
xn C xn N C, 综上分析： 0 , N ( 1) , 当 n N 时, 都有： xn C
即
lim C C .
如图所示 , 可得 ：
n
r
试问： n 无限增大时, 当
的变化特征如何？
刘徽 ： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣。”
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2. 1. 2 数 列
按自然数的顺序排列的一串实数 :
称为（实）数列。 记作： 由函数的概念，知数列
or
可视为自变量取自然数的
11111?11nnn??????????n1项相乘????????????1111nn?????????????????121nnn?????是单调不减增的
D2_1 数列极限
表达式中能推断出该数列的其他项，则
称 an 为数列的通项, 简记为数列{an }. 数列是自变量取正整数的函数
an f (n) (n N ).
上列数列的通项依次为.
an 1;
an (1)n1; an n;
an
1; n
an
1 2n1 .
如果 n 在正整数集 N 中变化, 且无限增大时, 数列{an} 的通项an 无限趋于一个确定的数a, 则称 数列{an } 收敛于 a, 或称 a 为数列{an } 的极限, 记为
1
1 n
n1
满足
2 1 1 n 1 1 n1 4, n 1, 2, n n
综上所述,
1
1 n
n
是单增有界数列,
1
1 n
n1
是单减有界数列.
由定理2.2 知道它们都收敛，且
lim 1 n
lim 1 n
1 n
n
lim 1 n
0.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
n
n 1)2
n n
2 1
n3
3n2 3n 2 (n 1)3
1
yn yn1
1
1 n(n
n1 2)
n n
1 2
[(n 1)2 ]n1 [n(n 2)]n1
n n
称 an 为数列的通项, 简记为数列{an }. 数列是自变量取正整数的函数
an f (n) (n N ).
上列数列的通项依次为.
an 1;
an (1)n1; an n;
an
1; n
an
1 2n1 .
如果 n 在正整数集 N 中变化, 且无限增大时, 数列{an} 的通项an 无限趋于一个确定的数a, 则称 数列{an } 收敛于 a, 或称 a 为数列{an } 的极限, 记为
1
1 n
n1
满足
2 1 1 n 1 1 n1 4, n 1, 2, n n
综上所述,
1
1 n
n
是单增有界数列,
1
1 n
n1
是单减有界数列.
由定理2.2 知道它们都收敛，且
lim 1 n
lim 1 n
1 n
n
lim 1 n
0.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
n
n 1)2
n n
2 1
n3
3n2 3n 2 (n 1)3
1
yn yn1
1
1 n(n
n1 2)
n n
1 2
[(n 1)2 ]n1 [n(n 2)]n1
n n
微积分2.1 数列极限
第二章
极限与连续
本章是微积分的基础, 本章是微积分的基础,主要讨论函数的极限 与函数的连续性. 与函数的连续性.
§2.1 数列极限
Def:无穷多个按自然数编号 无穷多个按自然数编号1,2, 排列的一列数: 无穷多个按自然数编号 排列的一列数: a1,a2 ,a3, an , , 称为数列的通项或一般项; 称为数列, 称为数列,记为{an} 其中 an称为数列的通项或一般项;
分析:由于项数随n的增大而不断增加,故不是有限项, 分析:由于项数随 的增大而不断增加,故不是有限项, 的增大而不断增加 不能直接应用四则运算法则. 不能直接应用四则运算法则. 解
1 2 n n(n+1) ∵ 2 + 2 ++ 2 = n n n 2n 2n2 1 2 n n(n+1) ∞ ∴lim 2 + 2 ++ 2 ) = lim ( 型 2 n→ ∞ n→ ∞ ∞ n n n 2n 1 1 1 = lim 1+ )= ( n→ ∞ 2 n 2
一个记号, 一个记号,不可称极限存在
1 (5) lim =0 n→ ∞ ln n
(6) lim arctan n =
n→ ∞
π
2
数列的极限: 例.写出下列数列的一般项 ,并通过观察指出收敛 数列的极限:
n+1 1 n+1 1 + 1 1 1 1 } lim 1) ( =0 (1)1, , , , {(1) n→ ∞ n n 2 3 4 5 1 1 1 1 1 n ( 2)0, ,0, ,0, { [1+(1) ]} lim [1+(1)n] = 0 n→ 2 ∞ n 2 4 6 2n 1 1 1 1 1 1 } lim =0 ( 3 ) , , , , { n→ n n+1 ∞ ( n(n+1) ) 2 6 12 20 2 2 5 10 17 26 1+ n (4)2, , , , , {1+ n } 散 发 . 2 3 4 5 n n
极限与连续
本章是微积分的基础, 本章是微积分的基础,主要讨论函数的极限 与函数的连续性. 与函数的连续性.
§2.1 数列极限
Def:无穷多个按自然数编号 无穷多个按自然数编号1,2, 排列的一列数: 无穷多个按自然数编号 排列的一列数: a1,a2 ,a3, an , , 称为数列的通项或一般项; 称为数列, 称为数列,记为{an} 其中 an称为数列的通项或一般项;
分析:由于项数随n的增大而不断增加,故不是有限项, 分析:由于项数随 的增大而不断增加,故不是有限项, 的增大而不断增加 不能直接应用四则运算法则. 不能直接应用四则运算法则. 解
1 2 n n(n+1) ∵ 2 + 2 ++ 2 = n n n 2n 2n2 1 2 n n(n+1) ∞ ∴lim 2 + 2 ++ 2 ) = lim ( 型 2 n→ ∞ n→ ∞ ∞ n n n 2n 1 1 1 = lim 1+ )= ( n→ ∞ 2 n 2
一个记号, 一个记号,不可称极限存在
1 (5) lim =0 n→ ∞ ln n
(6) lim arctan n =
n→ ∞
π
2
数列的极限: 例.写出下列数列的一般项 ,并通过观察指出收敛 数列的极限:
n+1 1 n+1 1 + 1 1 1 1 } lim 1) ( =0 (1)1, , , , {(1) n→ ∞ n n 2 3 4 5 1 1 1 1 1 n ( 2)0, ,0, ,0, { [1+(1) ]} lim [1+(1)n] = 0 n→ 2 ∞ n 2 4 6 2n 1 1 1 1 1 1 } lim =0 ( 3 ) , , , , { n→ n n+1 ∞ ( n(n+1) ) 2 6 12 20 2 2 5 10 17 26 1+ n (4)2, , , , , {1+ n } 散 发 . 2 3 4 5 n n
ch2-1数列极限 共19页
(1
2
n2
)2
n
(1
5 n(5) )5
n
n
n
nHale Waihona Puke e 2e5
作业： P68：13(1)(2)(3)(4)
2.当极限运算条件 时不 ，满 适足 当进行变 。形
例: n个
0
lni m (n1n1
1) n
1
例 求下列数列极限：
2 n 1 (1 )lim ;
n n 3
3 n 2 2 n 1 (2 )l n i m n 3 n 2 ;
解
(1)
lim2n1 n n3
lim 例 ： n (n 21 1n 22 2 n 2n n)1 2
解： In
1
n2
(12 1
n)
n2 n 2(n2 1)
lim 且： n
n2 n 1
2(n2
1)
; 2
In
1
n2
(12 n
n)
n2 n 2(n2 n)
1 2
2.单调有界数列必收敛.
3 4
n
1 2
(8) 求 ln i (m n 12n 22 n n 2). n时,是无限多个无穷． 小之和
l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 ) l n i1 m 2 n 2 n
1
n(n 1)
lim 2 n
1. Zeno’s paradox (Plato, Socrates)
T
t4 t3 t2 t1
t0
a4 a3 a2
a1
A
a0
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例1 讨论下列数列的单调性和有界性
xn 2 2 2 2 （n重根号）
解 xn 2 2 2 2 2 2 2 0 xn1,
故{xn}严格单调增加。
由于x1 2, xn 2 xn1 (n 1), 假设 xn1
2 就可以得到 xn 2
根据数学归纳法即得 xn 2 故{xn}有界。
三、数列极限定义
(1)n1 例2 观察数列 1 当n ＋时的变化趋势. n
定义3 设有数列{xn}. 若存在常数A，使得>0, NN+, 当n>N时，|xnA|<，则称{xn}的极限为A，或称数列收敛 于A，记为 lim xn A 或xn A (n )
无穷大 无界，反之不成立，如 n 例7 证明n 时，xn n 2 cos 为无界量，但不是无穷大.
2 2 证 M 0, 取N0 2[M ] 2, 则| xN0 | N0 | cos((1 [M ]) ＝N0 M ,
故该数列无界，但由于n＝2k＋1时，x2k＋1＝0，所以它不是 无穷大.
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
2、截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 X 2 2 ; 为 2 2
例3 证明当 | q | 1时， q n 0. lim
n
证 0, 要使得 | qn 0 | ， 只要 | q |n ， 即
n log|q| , 故取N [log|q| ]。 于是当n N时,有
| qn 0 | .
例4 证明 lim 3n 2 3 . n 2n 1 2
n
若这样的常数A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散 （不收敛）。 ① 是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。 ② N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xnA|<，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。 ③ 通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。 ④ 几何意义：
3n 2 3 . 2n 1 2
n! 例5 证明 lim n 0. n n n! 1 1 证由 n , 0, 取N ＋ 则n N时，有 1, n n n! n! 1 －0 ＝ n . n n n n 适当放大法：| xn A | G(n) (n N1 )
n
四、无穷小与无穷大
定义4 若 lim xn 0 ，则称数列 {xn } 为无穷小（量）。
n
① 无穷小量并非绝对值很小很小的数，而是随n变化的变量。 ② 有限个无穷小量之和仍为无穷小；无穷小乘有界量仍为 无穷小（有限个无穷小之积仍为无穷小）； 定义5 对数列 {xn } ，若M 0, N N＋，当n N时 | xn | M , 则称数列 {xn }为无穷大（量），记为
3n 2 1 1 3 ， 6n 2n n
1 0, 取N max 3, , 则n N时，
n2 n 9 1 －0 . 7 n3 9 n
两个结果：(1) lim n a 1 ( a 0);
n
(2) lim n n 1.
lim xn
类似有正无穷大，记为 lim xn 和负无穷大，记为 lim xn －.
n n
n
③ 上述极限符号并不表明{xn}收敛，事实上, (正，负)无穷大量 均发散。
④ 无穷小，无穷大和无界的关系 1 定理 若xn 0, 则 lim xn lim 0. n n x n
n
注：给定来找N似乎是解不等式 | xn A | ，由于N虽然 依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n >N成为 | xn A | 的充分条件即可. 这就是所谓的“适当放大法”.
其中G (n)适合 (1) lim G (n) 0; (2) 形式简单，即由
G(n) 容易解出n N2 .
x3
x1
x 2 x4
xn
③ 数列也称为整标函数 x n f (n).
定义2 数列{xn}中依次取出下标为n1<n2<…<nk<…的项组成 的新数列 x , x ,, x ,
n1 n2 nk
称为{xn}的一个子列，记为 {xnk } ① 子列 {xnk } 是k的函数，而不是n的函数。且 nk k ② 奇子列 {x2k 1}即x1 , x3 ,, x2k 1 ,
第二章 极限与连续
古希腊Archimede—“穷竭法”； 中国魏晋时代刘徽—“割圆术”； Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano， Weierstrass等“发展完善”。
§2.1数列极限
一、概念引入
1、割圆术： “割之弥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列
定义1 函数 f : N+R称为数列，记为{xn}. 即{xn＝f (n)}, nN+,或x1, x2,…xn,… ① xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。 ② 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取 x1, x2 ,, xn ,
最后取N max{N1 , N2}, 则n N时，xn A | . |
n2 n 9 例6 证明 lim 0. 3 n 7 n 9
n2 n 9 n2 n 9 3n2 证当n 3时，由 －0 ＝ 3 3 3 7n 9 7n 9 7n 9
3n 2 3 7 证 0, 由 ＝ , 2n 1 2 （2n 1) 2
3n 2 3 7 7 1 要使得 , 只要 , 即n . 2n 1 2 2(2n 1) 4 2
7 1 于是取N , 则当n N时， 有 4 2