函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

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高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)

高等数学 第1章 函数与极限  练习册 解答(10月19修改)

时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
,当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答:
1、当 0 x x0 时; 2、 x X 时;
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
;b

2. y cos 2x 1 的周期为

3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
; 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2

函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档

函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档

第一讲:函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1.下面函数与y x=为同一函数的是()2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解:ln lnxy e x e x===Q,且定义域(),-∞+∞,∴选D2.已知ϕ是f的反函数,则()2f x的反函数是()()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x:()1,2x y=ϕ互换x,y位置得反函数()12y x=ϕ,选A3.设()f x在(),-∞+∞有定义,则下列函数为奇函数的是()()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解:()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4.下列函数在(),-∞+∞内无界的是()21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法:A21122xxx x≤=+有界,B arctan2xπ<有界,Csin cosx x+≤故选D5.数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的()A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解:Q {}n x 收敛时,数列n x 有界(即n x M ≤),反之不成立,(如(){}11n --有界,但不收敛,选A6.当n →∞时,21sin n 与1k n为等价无穷小,则k = ( )A 12B 1C 2D -2解:Q 2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==,2k = 选C二、填空题(每小题4分,共24分)7.设()11f x x=+,则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解: ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++ 112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8.设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解:(1)令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+(2)()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9.函数44log log 2y =的反函数是 解:(1)4log y =,反解出x :214y x -=(2)互换,x y 位置,得反函数214x y -= 10.n =解:原式32n =有理化11.若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解:左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =12.2352limsin 53n n n n→∞++= 解:Q 当n →∞时,2sinn ~2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题(每小题8分,共64分)13.求函数21arcsinx y -=解:{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或 ∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14.设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解:22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15.设()f x ln x =,()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-,求()()f g x 解: (1) 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x :22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+- 16.判别()fx (ln x =的奇偶性。

高一数学函数与极限分析练习题及答案

高一数学函数与极限分析练习题及答案

高一数学函数与极限分析练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$,其定义域为$[-1,1]$,关于该函数,下列说法正确的是:A. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递增B. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递减C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处取得最大值D. $f(x)$在$x=0$处取得最大值答案:D2. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$,下列说法正确的是:A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案:D3. 设函数$f(x)=e^x$,下列说法正确的是:A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案:A、B、C4. 设函数$f(x)=\sin x$,下列说法正确的是:A. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处连续B. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处可导C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限存在D. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限不存在答案:B、C5. 设函数$f(x)=x^3$,下列说法正确的是:A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案:A、B、C二、填空题1. 函数$f(x)=\sin x$在$x=\frac{\pi}{2}$处的导数为______。

答案:12. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为______。

答案:无穷大或$+\infty$3. 函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的连续性、可导性、极限存在性均为______。

高三数学函数极限试题答案及解析

高三数学函数极限试题答案及解析

高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为,且数列的前项和为,则 . (其中)【答案】【解析】依题意可得函数.所以,,,…,.所以数列是一个首项为1,公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.计算:= .【答案】【解析】这属于“”型极限问题,求极限的方法是分子分母同时除以(的最高次幂),化为一般可求极限型,即.【考点】“”型极限3.计算:=_________.【答案】3【解析】这种极限可先把待求极限式变形,然后观察是哪种展开式的极限再选用相应的方法,.【考点】“”型极限.4.若,则.【答案】【解析】由已知可得,所以,解得.【考点】极限的计算5.函数在处的极限是()A.不存在B.等于C.等于D.等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值,故不存在极限.[点评]对于分段函数,掌握好定义域的范围是关键。

6.等差数列,的前n项和分别为,则【答案】【解析】解:7.已知,则_______【答案】-2【解析】得,所以-2.8.若展开式的第项为,则________【答案】 2【解析】略9.设,求的最大值【答案】【解析】略10.___________【答案】【解析】略11.函数在点处可导,则,b=【答案】【解析】略12.极限存在是函数在点处连续的()A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】略13.函数f (x)=在点x=1和x=2处的极限值都为0,而在点x=-2处不连续,则x·f(x)<0的解集是()A.(-2,0)∪(1,2)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(1,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】A【解析】略14.()A.B.0C.D.不存在【答案】A【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知,则的值为()A.a B.2a C.3a D.9a【答案】D【解析】则17. .【答案】【解析】略18.=A.—1B.—C.D.1【答案】B【解析】=19.已知,则的值为 .【答案】-8【解析】略20. ( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算,故原式,故选C。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一:函数极限1. 计算以下极限:a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答:a) 将x代入函数,得到:lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数,得到:lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时,[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数,得到:lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二:连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续:a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答:a) 函数f(x)是一个二次函数,对于任意实数x,f(x)都是连续的。

因此,f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数,对于非负实数x,g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上,g(x)的定义域为[-2, ∞),因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷,因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点,h(x)为一个连续函数。

题目三:函数极限的性质3. 判断以下命题的真假,并简要说明理由:a) 若lim(x→a) f(x) = L,且L≠0,则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L,且f(x) > 0,那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L,且lim(x→a) g(x) = M,则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

高三数学数列极限试题答案及解析

高三数学数列极限试题答案及解析

高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列,是的前n项和,则= .【答案】【解析】由题意得:,因此【考点】数列极限2..【答案】【解析】.【考点】数列的极限.3.计算:.【答案】1【解析】这是“”型极限问题,求极限的方法是转化,分子分母同时除以化为一般的极限问题,.【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上,P1为直线轴的交点,等差数列的公差为1 。

(1)求、的通项公式;;(2)若,试证数列为等比数列,并求的通项公式。

(3).【答案】(1)(2)是以2为公比,4为首项的等比数列.(3)1【解析】(1)在直线∵P1为直线l与y轴的交点,∴P1(0,1),又数列的公差为1(2)是以2为公比,4为首项的等比数列.(3)【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评:等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容,数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求,在数列中突出考查学生的理性思维,这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点,也是一种趋势.随着新课标实施的深入,高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式,错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A.B.C.或D.不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中,则数列的极限值()A.等于B.等于C.等于或D.不存在【答案】B【解析】解:因为数列中,,可知数列有规律,那么利用极限概念可知其项的值趋近于1,选B.8.计算.【答案】【解析】略9.数列{an}中,a1=,an+an+1=,则(a1+a2+…+an) = ()A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。

由an+an+1=(a1+a2+…+an) =10.数列的通项公式为,则A.1B.C.1或D.不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知,数列的极限与该数列的前有限项的值无关,所以故选择B11.设正数满足,则【答案】【解析】略12.。

高三数学数列极限试题答案及解析

高三数学数列极限试题答案及解析

高三数学数列极限试题答案及解析1.过点且方向向量为的直线交椭圆于两点,记原点为,面积为,则_______【答案】1【解析】记,,因为,即的极限点为,过且方向向量为的直线方程为,代入椭圆方程,解得直线与椭圆的两交点,而,因此.【考点】数列的极限.2..【答案】【解析】.【考点】数列的极限.3..【答案】【解析】.【考点】数列的极限.4.若的展开式中的系数为,则=____________.【答案】2【解析】由二项式定理知的系数是,,所以.【考点】二项式定理,裂项相消求和,数列极限.5.数列的通项公式,前项和为,则=_____________.【答案】【解析】当时,,所以=.【考点】本小题主要考查裂项法求数列的前n项的和以及极限的求解,考查学生的运算求解能力.点评:裂项相消法和错位相减法是数列求和的常用方法,也是高考中经常考查的内容,要给予充分的重视.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.、已知正项数列满足:,且,是数列的第项,则.【答案】1【解析】解:由得即,8.设常数,展开式中的系数为,则______【答案】1【解析】解:用二项式定理展开,则通项公式为则因此极限值为19.计算.【答案】【解析】略10.计算: .【答案】【】【解析】本题考查极限、等差数列求和及组合数公式由等差数列的求和公式有又所以即11.若() =9,则实数= .【答案】【解析】略12.已知函数在处连续,则( )A.0B.1C.D.【答案】D【解析】略13..【答案】2【解析】略14.…)的值为.【答案】【解析】略15.A.B.C.D.不存在【答案】B【解析】略16.的值为()A.-2B.C.D.【答案】B【解析】略17.【答案】【解析】略18.计算:。

【答案】.【解析】.【考点】极限的计算.19.已知,则______________.【答案】28【解析】由等差数列的前n项和公式,把等价转化为所以,然后求得a值.【考点】极限及其运算.20..【答案】【解析】.【考点】极限的求法.。

(完整)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

(完整)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、 函数f xx 2x 1与函数错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,x 31g x相同.x1 则这两个函数是相同的。

x 31函数关系相同, 但定义域不同, x1所以 f x 与 g x 是不同的函数。

M (M 为一个常数) ,则 f fx 根据无穷大的定义,此题是错误的。

3、如果数列有界, 错误 如:数列 2、如果 错误 4、 lim an错误 如:数列5、如果 x 为无穷大. 则极限存在. n1 n 是有界数列,但极限不存在 x na n lim ann n 1 , lim ( 1) nA , 1,但 lim ( 1)n 不存在。

n 当x 时, lim f x x正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。

6、如果为无穷小). 正确 7、当 正确8、 错误 9、 错误 ,则 ∵ lim 1 ,是 ∴ lim lim 10 ,即 的高阶无穷小量。

20时, 1 cosx 与 x 2是同阶无穷小. 1 cosx ∵lim x0 2sin2 x l x im 0 x 2 2 l x im 02 x sin 2 x lim xsin 1 x 0 x 1 ∵ lim sin 不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

x l x im 0 lim sin 1 x 0 x 0. lim 1 0 10、点 错误 e . ∵ lim 1 x x 0 是函数 ylimx 0 0x∴点 11、函数 f xlimx 0 0x的无穷间断点.x 0 是函数1必在闭区间x1 , limx 0 0xx lim1x 0 0x的第一类间断点.xa,b 内取得最大值、最小值.错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质, 1f x 在 x 0 处不连续x1 ∴函数 f x 在闭区间 a,b x内不一定取得最大值、最小值二、填空题: 1、设 y (1) fx xfe 的定义域是 0,1 ,则 的定义域是( ( ,0) );2) 2 sin 2 x 的定义域是( xx,x (k Z));(3) f lg x 答案:( 1)∵ 0 0 0 2)∵ 3)∵ 的定义域是( x e12 1 sin lg x 2、函数 f x 3、设 f x 2 sin x (1,10) ).1, 的定义域是2,4).2sin x).4、 lim nsin x =(n n ).∵ lim nsin x nlim nx sin n 1 lim nx sin nx xx5、设 fcos2 x1,则 lim fx 1 0), lim f10 ).∵ lim x 1 0lim (1 x 1 0 x) lim x 1 0 fx lim x 1 0 x1 1 cosx 6、设 f x 0, 0 如果 f x 在 x 0处连续, ).∵ lim 1 cosx x0 1, 2 7、设 x 0 是初等函数 f x 定义区间内的点,则 lim f x x x 0 lim f x x x 0 如果 f x 在 x 0 处连续,则 lim x0 ∵初等函数 f x 在定义区间内连续, 8、函数 y 2当x1时为无穷大,当 1 cosx xf0).f x 0 )时为无穷小.2m12mlim x2 x 1 ax limx22x2 x 1 ax b x2 x 1 ax bx2 x 1 ax b10、11、12、lim xlimxx2xx21 ax b2欲使上式成立,令上式化简为limx1,函数f xfx若limxax blimx2 2 21 a2 x2 1 2ab x 1 b22xx 1 ax1 2aba20 ,1 b2x2x 1 ax2ab 0 ,1的间断点是(2x2x24x 3 ax2sinxx2的连续区间是2 ,则aax 2sinxlimx2sinx13、lim sin x),limx1x∴alimx0,xlimx1,1 2ab1 b21xsinx11mlix∵ lim sin x lim 1 sin x 0 x x x x1x1 l x im0 1 ( x) x( 1)).,1,1,3, 3,).),).∴ae k ).lim xsin 1xlimx1sinx1limxkxlimx(1limx1x)x x1 2ab1a14、limsin (arctan x)(x三、选择填空:1、如果lim x n a ,则数列x n是(na.单调递增数列b.有界数列不存在 ),lim sin(arccot x) xb)c.发散数列1 32、函数 f x a .奇函数 log a x x 21 b .偶函数是( a )c .非奇非偶函数 log a x( x)21 log axx 2 13、当 x 0 时, log a xxe1 是 x 的(2cfxa .高阶无穷小b .低阶无穷小 4、如果函数 f x 在 x 0 点的某个邻域内恒有 a .极限存在 b .连续 5、 函数 f 1在 xc ) 6、 7、 8、 9、 a . x 设函数 a .1 sinx ∵ lim x 0 0 xsin x sin x lim x0 lim x 0 0 x 根据极限存在定理知: 如果函数 f a .有定义 f x 当 x 数列1,1, b . x ,则 l x im 0 f b .-1 sin x 0x lim sin x1 x 0 0 c .等价无穷小 fx 条件下趋于 sin x limx 0 0 xM (M 是正数) c .有界 c . x 1 0c .不存在 ,则函数 f x 在该邻域内 ( c ) x lim f x0x 0时极限存在,则函数 无定义 不存在。

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第一讲:函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1.下面函数与y x=为同一函数的是()2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解:ln lnxy e x e x===Q,且定义域(),-∞+∞,∴选D2.已知ϕ是f的反函数,则()2f x的反函数是()()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x:()1,2x y=ϕ互换x,y位置得反函数()12y x=ϕ,选A3.设()f x在(),-∞+∞有定义,则下列函数为奇函数的是()()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解:()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4.下列函数在(),-∞+∞内无界的是()21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法:A21122xxx x≤=+有界,B arctan2xπ<有界,C sin cosx x+≤故选D5.数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的()A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解:Q{}n x收敛时,数列n x有界(即nx M≤),反之不成立,(如(){}11n--有界,但不收敛,选A6.当n→∞时,21sinn与1kn为等价无穷小,则k= ()A12B 1C 2D -2解:Q2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==,2k=选C二、填空题(每小题4分,共24分)7.设()11f xx=+,则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解: ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8.设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解:(1)令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+(2)()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9.函数44log log 2y x =+的反函数是解:(1)4log (2)y x =,反解出x :214y x -=(2)互换,x y 位置,得反函数214x y -=10.()lim 12n nn n →∞+--=解:原式33lim212n n n n →∞=++-有理化11.若105lim 1,knn en --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k = 解:左式=5lim ()510n kn k nee e →∞---== 故2k =12.2352limsin 53n n n n→∞++= 解:Q 当n →∞时,2sinn ~2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题(每小题8分,共64分)13.求函数21arcsin71x y x -=-的定义域 解:{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14.设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解:22sin 2cos21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x=-15.设()f x ln x =,()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-,求()()f g x解: (1) 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x :22xy y x -=+22x y y =+-互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16.判别()fx (ln x =的奇偶性。

解法(1):()f x 的定义域(),-∞+∞,关于原点对称()(ln x x f -=-+Qln=(1ln ln(x x -=+=-+()f x =-()ln(f x x ∴=为奇函数解法(2):()()f x f x +-Q(ln(ln x x =++-)ln (ln10x x ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数17.已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且()()11f xg x x +=-,求()f x 及()g x 解: 已知()()f x g x +()11x =⋯1- 1()()1f xg x x -+-=--Q 即有 1()()1f xg x x --=+()2⋯ ()()2∴1+得()11211f x x x =--+ 故 21()1f x x =-()()21-得()11211g x x x =+-+ 故2()1xg x x =-18.设32lim 8n n n a n a →∞+⎛⎫=⎪-⎝⎭,求a 的值。

解: 3323lim lim 1n nn n n a a n a n a →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭Qlim,n naa n aee →∞-==8a e ∴=故ln83ln 2a ==19.求()111lim 12231nn n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭解:(1)拆项,11(1)(1)k kk k k k+-=++111,2,,1k n k k =-=⋯+ ()11112231n n ++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+(2)原式=lim 11111lim n nn n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20.设()()0,1,x f x a a a =>≠ 求()()()21limln 12n f f f n n →∞⋅⋯⎡⎤⎣⎦ 解: 原式=()122ln 1lim nn a a a n →∞⋅⋯[]2ln 2ln ln 1lim n a a n a n→∞=++⋯+ 2ln 12limn a nn→∞⋯+=⋅++ 2(1)ln 2lim n n n a n →∞+=⋅⋅()ln 0,112a a a =>≠ 四、综合题(每小题10分,共20分) 21.设()f x()3f x =(){}f f f x ⎡⎤⎣⎦并讨论()3f x 的奇偶性与有界性。

解:(1)求()3f x()()2f x f x ==Q()()32f x f x f f x ===⎡⎤⎣⎦(2)讨论()3fx 的奇偶性()()33f x f x -==-Q()3f x ∴为奇函数(3)讨论()3f x 的有界性()3f x =<=Q()3f x ∴有界22.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为ϕ的扇形做成一个漏斗(如图),试将漏斗的容积V 表示成中心角ϕ的函数。

解:(1)列出函数关系式,设漏斗高为h ,底半径为r ,依题意:漏斗容积V=213r h πh r R π==ϕQ 2224R r h π2ϕ∴==故2234R V ππ2ϕ=⋅ =(2)函数的定义域()222240,2ππ-ϕ>ϕ<Q()0π∴<ϕ<2故)0V π=<ϕ<2 五、证明题(每小题9分,共18分)23.设()f x 为定义在(),-∞+∞的任意函数,证明()f x 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

证:(1) ()()()2f x f x f x +-=()()2f x f x --+(2)令()()()()2f x f xg x x +-=-∞<<+∞()()()()2f x f xg x g x -+-==Q()g x ∴为偶函数(3)令()()()()2f x f x x x --ϕ=-∞<<+∞()()()()2f x f x x x --ϕ-==-ϕQ()x ∴ϕ为奇函数(4)综上所述:()f x ()g x =偶函数+()x ϕ奇函数24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=1x,证明()f x 为奇函数。

证:(1)()()1121f x f x x ⎛⎫+=⋯⋯ ⎪⎝⎭Q令()11,2t f f t t xt ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 函数与自变量的记号无关()()122f f x x x ⎛⎫∴+=⋯⋯ ⎪⎝⎭(2)消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,求出()f x ()()()()2221:4f x f x x x-⨯-=-()()22223,3x x f x f x x x---==(3)()f x Q 的定义域()(),00,-∞⋃+∞又()()223x f x f x x--==--Q ()f x ∴为奇函数*选做题1已知222(1)(21)126n n n n ++++⋯+=,求22233312lim 12n n n n n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪+++⎝⎭解: 222312n n n++⋯++Q2222233311211n n n n n n ++⋯+≤+⋯+≤+++且222312lim n n n n→∞++⋯++ ()()31(21)1lim36n n n n n n →∞++==+ 222312lim 1n n n →∞++⋯++3(1)(21)1lim 6(1)3n n n n n →∞++==+ ∴由夹逼定理知,原式13=2 若对于任意的,x y ,函数满足:()()()f x y f x f y +=+,证明()f y 为奇函数。

解 (1)求()0f :令()()()0,0,02000x y f f f ===→=(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-()f y ∴为奇函数第二讲:函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题(每小题4分,共24分)1. 下列极限正确的( )A . sin lim1x x x →∞= B . sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C . 1lim sin 1x x x →∞= D . limarctan 2x x π→∞=解:011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→=Q ∴选C注:sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 101x x x x x A B x x x→∞→∞--===++2. 下列极限正确的是( )A . 1lim 0x x e -→= B . 10lim 0xx e +→= C . sec 0lim(1cos )xx x e →+=D . 1lim(1)xx x e →∞+=解:101lim 0xx e e e --∞∞→===Q ∴选A 注::,:2,:1B C D +∞3. 若()0lim x x f x →=∞,()0lim x x g x →=∞,则下列正确的是 ( ) A . ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B . ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C . ()()1lim0x x f x g x →=+D . ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解:()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞Q∴选D4.若()2lim2x f x x→=, 则()lim3x xf x →= ( )A .3B .13 C .2 D .12解:()()002323limlim 32x t tx x tf x f t →→=()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5.设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在,则a = ( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 解:0sin lim 1,x xx→==Q 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴= 选C6.当0x +→时,()1f x =是比x高阶无穷小,则 ( )A .1a >B .0a >C .a 为任意实数D .1a <解:00112lim lim 01ax x xa a x ++→→>=∴> 故选A二 、填空题(每小题4分,共24分)7.lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解:原式lim 1111lim 11x xxxx e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8.2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭ 解:原式()()()112lim11x x x x →∞-∞+--+111lim12x x →==+9.()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ 解:原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫== ⎪⎝⎭10.已知216lim 1x x ax x→++-存在,则a = 解:()1lim 10x x →-=Q()21lim 60x x ax →∴++=160,7a a ++==-11.1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解:11220011sin 1,lim 0lim sin 0xx x x e e x x-→→≤=∴=Q 又00arcsin limlim 1x x x xxx →→==Q 故 原式=112.若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n =解:()2222ln 1limlimsin n nx x x x x xxx→→+⋅=Q 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题(每小题8分,共64分)13.求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-解: 原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+- sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭Qsin 21lim 0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭ ∴原式022033+==-- 14.求()1cos x x x →-解:原式有理化x →0tan (1cos )1lim (1cos )2x x x x x →-=⋅- 0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15.求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解:令1t x=,当x →∞时,0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+ []10lim 1cos 1sin 2tt t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t t tee →∞-+=16.求0ln cos 2limln cos3x xx→解:原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价 注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17.求02lim sin x x x e e xx x-→---解: 原式0020lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000lim lim 2sin cos x xx xx x e e e e x x--→→++=18.设()fx 1,0x e a x x -⎧+>⎪=<且()0lim x f x →存在,求a 的值。

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