函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)
时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2
函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，Csin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q {}n x 收敛时，数列n x 有界（即n x M ≤），反之不成立，（如(){}11n --有界，但不收敛，选A6．当n →∞时，21sin n 与1k n为等价无穷小，则k = （ ）A 12B 1C 2D -2解：Q 2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++ 112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是 解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或 ∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解：22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1） 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+- 16．判别()fx (ln x =的奇偶性。
高一数学函数与极限分析练习题及答案
高一数学函数与极限分析练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，其定义域为$[-1,1]$，关于该函数，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递增B. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递减C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处取得最大值D. $f(x)$在$x=0$处取得最大值答案：D2. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：D3. 设函数$f(x)=e^x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C4. 设函数$f(x)=\sin x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处连续B. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处可导C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限存在D. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限不存在答案：B、C5. 设函数$f(x)=x^3$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C二、填空题1. 函数$f(x)=\sin x$在$x=\frac{\pi}{2}$处的导数为______。
答案：12. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为______。
答案：无穷大或$+\infty$3. 函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的连续性、可导性、极限存在性均为______。
高三数学函数极限试题答案及解析
高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.计算：= .【答案】【解析】这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（的最高次幂），化为一般可求极限型，即．【考点】“”型极限3.计算：=_________．【答案】3【解析】这种极限可先把待求极限式变形，然后观察是哪种展开式的极限再选用相应的方法，．【考点】“”型极限．4.若，则．【答案】【解析】由已知可得，所以，解得．【考点】极限的计算5.函数在处的极限是（）A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
6.等差数列，的前n项和分别为，则【答案】【解析】解：7.已知，则_______【答案】-2【解析】得，所以-2.8.若展开式的第项为，则________【答案】 2【解析】略9.设，求的最大值【答案】【解析】略10.___________【答案】【解析】略11.函数在点处可导，则，b=【答案】【解析】略12.极限存在是函数在点处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】略13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2）C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A【解析】略14.（）A．B．0C．D．不存在【答案】A【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知，则的值为（）A．a B．2a C．3a D．9a【答案】D【解析】则17. .【答案】【解析】略18.=A．—1B．—C．D．1【答案】B【解析】=19.已知，则的值为 .【答案】-8【解析】略20. ( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算，故原式，故选C。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，记原点为,面积为,则_______【答案】1【解析】记，，因为，即的极限点为，过且方向向量为的直线方程为，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点，而，因此.【考点】数列的极限.2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．4.若的展开式中的系数为，则=____________．【答案】2【解析】由二项式定理知的系数是，，所以.【考点】二项式定理，裂项相消求和，数列极限.5.数列的通项公式，前项和为，则=_____________.【答案】【解析】当时，，所以=.【考点】本小题主要考查裂项法求数列的前n项的和以及极限的求解，考查学生的运算求解能力.点评：裂项相消法和错位相减法是数列求和的常用方法，也是高考中经常考查的内容，要给予充分的重视.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.、已知正项数列满足：，且，是数列的第项，则.【答案】1【解析】解：由得即，8.设常数，展开式中的系数为，则______【答案】1【解析】解：用二项式定理展开，则通项公式为则因此极限值为19.计算．【答案】【解析】略10.计算： .【答案】【】【解析】本题考查极限、等差数列求和及组合数公式由等差数列的求和公式有又所以即11.若() =9，则实数= .【答案】【解析】略12.已知函数在处连续，则( )A．0B．1C．D．【答案】D【解析】略13.．【答案】2【解析】略14.…）的值为．【答案】【解析】略15.A．B．C．D．不存在【答案】B【解析】略16.的值为（）A．－2B．C．D．【答案】B【解析】略17.【答案】【解析】略18.计算：。
【答案】.【解析】.【考点】极限的计算.19.已知，则______________．【答案】28【解析】由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值．【考点】极限及其运算．20.．【答案】【解析】．【考点】极限的求法．。
(完整)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、 函数f xx 2x 1与函数错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，x 31g x相同．x1 则这两个函数是相同的。
x 31函数关系相同， 但定义域不同， x1所以 f x 与 g x 是不同的函数。
M （M 为一个常数） ，则 f fx 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界， 错误 如：数列 2、如果 错误 4、 lim an错误 如：数列5、如果 x 为无穷大． 则极限存在． n1 n 是有界数列，但极限不存在 x na n lim ann n 1 ， lim ( 1) nA ， 1，但 lim （ 1）n 不存在。
n 当x 时， lim f x x正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果为无穷小）． 正确 7、当 正确8、 错误 9、 错误 ，则 ∵ lim 1 ，是 ∴ lim lim 10 ，即 的高阶无穷小量。
20时， 1 cosx 与 x 2是同阶无穷小． 1 cosx ∵lim x0 2sin2 x l x im 0 x 2 2 l x im 02 x sin 2 x lim xsin 1 x 0 x 1 ∵ lim sin 不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
x l x im 0 lim sin 1 x 0 x 0． lim 1 0 10、点 错误 e ． ∵ lim 1 x x 0 是函数 ylimx 0 0x∴点 11、函数 f xlimx 0 0x的无穷间断点．x 0 是函数1必在闭区间x1 ， limx 0 0xx lim1x 0 0x的第一类间断点．xa,b 内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质， 1f x 在 x 0 处不连续x1 ∴函数 f x 在闭区间 a,b x内不一定取得最大值、最小值二、填空题： 1、设 y （１） fx xfe 的定义域是 0,1 ，则 的定义域是（ （ ,0） ）；２） 2 sin 2 x 的定义域是（ xx,x (k Z)）；（３） f lg x 答案：（ 1）∵ 0 0 0 2)∵ 3)∵ 的定义域是( x e12 1 sin lg x 2、函数 f x 3、设 f x 2 sin x (1,10) ）．1， 的定义域是2,4）．2sin x）．4、 lim nsin x ＝(n n ）．∵ lim nsin x nlim nx sin n 1 lim nx sin nx xx5、设 fcos2 x1，则 lim fx 1 0）， lim f10 ）．∵ lim x 1 0lim (1 x 1 0 x) lim x 1 0 fx lim x 1 0 x1 1 cosx 6、设 f x 0， 0 如果 f x 在 x 0处连续， ）．∵ lim 1 cosx x0 1， 2 7、设 x 0 是初等函数 f x 定义区间内的点，则 lim f x x x 0 lim f x x x 0 如果 f x 在 x 0 处连续，则 lim x0 ∵初等函数 f x 在定义区间内连续， 8、函数 y 2当x1时为无穷大，当 1 cosx xf0）．f x 0 ）时为无穷小．2m12mlim x2 x 1 ax limx22x2 x 1 ax b x2 x 1 ax bx2 x 1 ax b10、11、12、lim xlimxx2xx21 ax b2欲使上式成立，令上式化简为limx1，函数f xfx若limxax blimx2 2 21 a2 x2 1 2ab x 1 b22xx 1 ax1 2aba20 ，1 b2x2x 1 ax2ab 0 ，1的间断点是（2x2x24x 3 ax2sinxx2的连续区间是2 ，则aax 2sinxlimx2sinx13、lim sin x），limx1x∴alimx0,xlimx1，1 2ab1 b21xsinx11mlix∵ lim sin x lim 1 sin x 0 x x x x1x1 l x im0 1 ( x) x( 1)）．,1,1,3, 3,）．），）．∴ae k ）．lim xsin 1xlimx1sinx1limxkxlimx(1limx1x)x x1 2ab1a14、limsin （arctan x）（x三、选择填空：1、如果lim x n a ，则数列x n是（na.单调递增数列b．有界数列不存在 )，lim sin(arccot x) xb）c．发散数列1 32、函数 f x a ．奇函数 log a x x 21 b ．偶函数是（ a ）c ．非奇非偶函数 log a x( x)21 log axx 2 13、当 x 0 时， log a xxe1 是 x 的（2cfxa ．高阶无穷小b ．低阶无穷小 4、如果函数 f x 在 x 0 点的某个邻域内恒有 a ．极限存在 b ．连续 5、 函数 f 1在 xc ） 6、 7、 8、 9、 a ． x 设函数 a ．１ sinx ∵ lim x 0 0 xsin x sin x lim x0 lim x 0 0 x 根据极限存在定理知： 如果函数 f a ．有定义 f x 当 x 数列１，１， b ． x ，则 l x im 0 f b ．－１ sin x 0x lim sin x1 x 0 0 c ．等价无穷小 fx 条件下趋于 sin x limx 0 0 xM （M 是正数） c ．有界 c ． x 1 0c ．不存在 ，则函数 f x 在该邻域内 （ c ） x lim f x0x 0时极限存在，则函数 无定义 不存在。
考点01 数列强化练习1(解析版)
考点01 数列强化训练11.（2020•漳州一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝n+3，则a n＝（）A．1+2n B．C．1+2n﹣1D．【解答】解：由a n+S n＝n+3可得当n＝1时，a1+S1＝4，∴a1＝2；当n≥2时，a n﹣1+S n﹣1＝n+2，两式相减可得，∴，则数列{a n﹣1}是首项为1，公比为的等比数列，即，当n＝1时，，满足a1＝2，∴，故选：B．【知识点】数列递推式2.（2020•马鞍山一模）已知等差数列{a n}，a n+m＝a m+n（n≠m，n，m∈N*），数列{b n}满足b n＝a2n+1+a2n﹣1，则b2020﹣b2019＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a n+m＝a m+n，得a m+（n﹣m）d+m＝a m+n，即d＝1．又b n＝a2n+1+a2n﹣1，∴b2020﹣b2019＝（a4041+a4039）﹣（a4039+a4037）＝a4041﹣a4037＝4d＝4．故选：C．【知识点】数列递推式3.（2020•茂名一模）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5＝a3+16，a1＝1，则a2+a6＝（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝a3+16，a1＝1，∴5+d＝1+2d+16，解得d＝．则a2+a6＝2+6×＝11．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和4.（2020•江西一模）数列{a n}，{b n}为等差数列，前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为{a n}，{b n}为等差数列，且，所以＝＝＝＝＝，故选：A．【知识点】等差数列的性质5.（2020•沈阳一模）已知正项等比数列{a n}，满足a2•a72•a2020＝16，则a1•a2…•a1017＝（）A．41017B．21017C．41018D．21018【解答】解：根据题意，正项等比数列{a n}中，若，则有，所以a7a1011＝4，则有a509＝2，所以．故选：B．【知识点】等比数列的性质、等比数列的通项公式6.（2020•奉贤区一模）一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个【解答】解：当一个等比数列是单调数列时，值为3的项最多有一个，或者没有；当一个等比数列是摆动数列时，值为3的项可能有无数个，举例如下：﹣3，3，﹣3，3，…这个等比数列是个摆动数列，公比是﹣1，值为3的项有无穷多个；1，3，9，…这个数列是等比数列，值为3的项仅有一个；1，4，16，…这个数列是等比数列，值为3的项有0个．综上知，一个不是常数列的等比数列中，值为3的项的项数最多有无穷多个．故选：D．【知识点】等比数列的性质7.（2020•黄山一模）已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列的前n 项和为S n，则S2019＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2a1+22a2+…+2n a n＝n，∴n＝1时，2a1＝1，解得，n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1a n﹣1＝n﹣1，两式相减，得：2n a n＝1，∴，∴＝＝＝，∴数列的前n项和：S n＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝，∴S2019＝．故选：A．【知识点】数列的求和8.（2020•岳阳一模）已知{a n}为等差数列，a3＝52，S7＝343，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19B．20C．39D．40【解答】解：由S7＝7a4＝343，得a4＝49，所以d＝a4﹣a3＝49﹣52＝﹣3，a1＝a3﹣2d＝52﹣2×（﹣3）＝58，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣3n+61．由，得n＝20．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和9.（2020•许昌一模）在各项均为正数的等比数列{a n}中，S n是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4+2a7＝，则S5＝（）A．29B．30C．31D．32【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，若a1a7＝4，则（a4）2＝4，则有a4＝2，又由a4+2a7＝，则a7＝，则有q3＝＝，解可得q＝，则有a1＝＝16，则有S5＝＝＝31；故选：C．【知识点】等比数列的通项公式10.（2020•宁德一模）已知等比数列{a n}满足a1＝，4a2a4＝4a3﹣1，则a2＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，＝4×﹣1，整理可得，（q2﹣4）2＝0，∴q＝±2，∴a2＝a1q＝．故选：A．【知识点】等比数列的通项公式11.（2020•武侯区校级模拟）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+ln（1+），则a5等于．【解答】解：在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+ln（1+），所以a2＝a1+ln（1+1）＝2+ln2，a3＝a2+ln（1+）＝2+ln2+ln3﹣ln2＝2+ln3，a4＝a3+ln（1+）＝2+ln3+ln4﹣ln3＝2+ln4，a5＝a4+ln（1+）＝2+ln4+ln5﹣ln3＝2+ln5，故答案为：2+ln5．【知识点】数列递推式12.（2020•普陀区一模）各项都不为零的等差数列{a n}（n∈N*）满足a2﹣2a82+3a10＝0，数列{b n}是等比数列，且a8＝b8，则b4b9b11＝．【解答】解：各项均不为0的等差数列{a n}满足a2﹣2a82+3a10＝0，∴+3（a1+9d）＝0，化为：a1+7d＝2＝a8，∵数列{b n}是等比数列，且b8＝a8＝2，∴b4b9b11＝．故答案为：8．【知识点】等差数列与等比数列的综合13.（2020•内江模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝3，a7a8a9＝27，则a4a5a6＝．【解答】解：依题意，a1a2a3＝＝3，得a2＝，a7a8a9＝＝27，得a8＝3，∴a4a5a6＝＝＝＝＝32＝9．故答案为：9．【知识点】等比数列的性质14.（2020•宝山区一模）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n＝a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10＝﹣．【解答】解：设c n＝a n•b n＝an2+bn+c，则，解得∴c10＝﹣1×102+5×10+3＝﹣47，故答案为：﹣47．【知识点】等差数列的前n项和15.（2020•宜宾模拟）在等差数列{a n}中，若a1＝2，a2+a3＝10，则a7＝．【解答】解：依题意，a2+a3＝10＝2a1+3d＝2×2+3d，∴d＝2，∴a7＝a1+6d＝2+12＝14，故答案为：14．【知识点】等差数列的通项公式16.（2020•景德镇一模）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，若，c＝1，则△ABC的面积为．【解答】解：依题意，A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°，由正弦定理即，∴sin C＝，又b＞c，∴C＜B，∴C＝30°，∴A＝90°，所以△ABC的面积为＝，故答案为：．【知识点】等差数列的通项公式17.（2020•攀枝花一模）正项等比数列{a n}满足，且2a2，，a3成等差数列，则（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）取得最小值时的n值为．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比设为q，，且2a2，，a3成等差数列，可得a1+a1q2＝，a4＝2a2+a3，即q2＝2+q，解得q＝2，a1＝，则a n＝•2n﹣1＝2n﹣3，a n a n+1＝2n﹣3•2n﹣2＝22n﹣5，则（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）＝2﹣3•2﹣1…22n﹣5＝2﹣3﹣2+…+2n﹣5＝2＝2＝2，当n＝2时，（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）取得最小值，故答案为：2．【知识点】等差数列与等比数列的综合18.（2020•天河区一模）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，a n＝﹣．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则a1＝1＝20，a2＝2＝21，a3＝4＝22，，…由此可得当n≥1时，．故答案为：2n﹣1．【知识点】数列递推式19.（2020•南平一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则S n＝＝﹣•q n+＝a•2n﹣1．故q＝2，＝﹣1，解得a1＝1．a＝﹣＝﹣1．∴数列{a n}的通项公式为a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，a n+1＝2n，S n＝2n﹣1．＝＝﹣．∴T n＝b1+b2+…+b n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝1﹣．【知识点】等比数列的性质、数列的求和20.（2020•吕梁一模）已知数列{a n}满足a1＝1，（n+1）a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列的前n项和，求证：．【解答】解：（1）由（n+1）a n+1＝na n+n+1得，（n+1）a n+1﹣na n＝n+1，取n＝1，2，3，…，n﹣1得，2a2﹣a1＝23a3﹣2a2＝34a4﹣3a3＝4，……na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝n，相加得，所以．证明：（2）由（1）得，，所以S n＝＝，因S n随n的增大而增大，所以，又S n＜2，所以．【知识点】数列递推式、数列的求和21.（2020•西安一模）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，由S n＝a n+1，可得当n≥2时，S n﹣1＝a n，两式相减，得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即＝2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n﹣1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）由（1）知，b n＝n•2n，n∈N*．∴S n＝1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2S n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，可得﹣S n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n＝（n﹣1）•2n+1+2．【知识点】数列递推式、数列的求和22.（2020•茂名一模）已知数列{a n}满足，a1+．（1）求a1，a2的值（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：∀n∈N*，＜1．【解答】解：（1）数列{a n}满足，a1+①．当n＝1时，a1＝1．当n＝2时，，解得a2＝4．解：（2）当n≥2时，②，①﹣②得：＝n，所以（首项符合通项）．故：．证明：（3）根据题意＝，所以＝1﹣＜1，当n＝1时，．且函数为增函数，故：∀n∈N*，＜1．【知识点】数列递推式、数列的求和23.（2020•咸阳一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【解答】解：（I）证明：令n＝1，则a1＝3．∵S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）①∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1，（n≥2，n∈N+）②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2，a n＝2a n﹣1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2＝5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③﹣④得：＝，∴．【知识点】数列递推式、数列的求和24.（2020•绵阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b l+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+（1+b1）+（1+b l+b2）+…+（1+b l+b2+…+b n﹣1）．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由题意，得，解得．∴a n＝2n﹣3，n∈N*．∵等比数列{b n}的各项均为正数，由，解得或（舍去）．∴b n＝2n，n∈N*．（2）由（1），得1+b1+b2+…+b n﹣1＝1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．则T n＝1+（1+b1）+（1+b l+b2）+…+（1+b l+b2+…+b n﹣1）．＝1+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2．【知识点】等差数列与等比数列的综合、数列的求和25.（2020•闵行区一模）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝a（a＞1），|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+d，（d＞0），n∈N*．（1）当d＝a＝2时，写出a4所有可能的值；（2）当d＝1时，若a2n＞a2n﹣1且a2n＞a2n+1对任意n∈N*恒成立，求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，若{a2n}、{a2n﹣1}分别构成等差数列，求S2n．【解答】解：（1）当d＝a＝2时，|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+2，即{|a n+1﹣a n|}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴|a n+1﹣a n|＝2n﹣1，∴a3﹣a2＝±3，a4﹣a3＝±5，∴a3＝5，﹣1，a4＝a3±5，∴a4＝10或a4＝0或a4＝4或a4＝﹣6；（2）当d＝1时，|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+1，即{|a n+1﹣a n|}是以a﹣1为首项，1为公差的等差数列，∴|a n+1﹣a n|＝a﹣1+n﹣1＝a﹣2+n，∴|a2n+1﹣a2n|＝a﹣2+2n，|a2n﹣a2n﹣1|＝a﹣3+2n，∵a2n＞a2n﹣1，a2n＞a2n+1，∴a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣1，∴a2n﹣1＝2﹣n，a2n＝a﹣3+2n+a2n﹣4＝a﹣1+n，∴；（3）由已知得，|a n+1﹣a n|＝a﹣1+（n﹣1）d①，若{a2n}，{a2n﹣1}分别构成等差数列，则a2n﹣a2n﹣1＝±[a﹣1+（2n﹣2）d]（n≥2）②，a2n+1﹣a2n＝±[a﹣1+（2n﹣1）d]（n≥1）③，a2n+2﹣a2n+1＝±（a﹣1+2nd）（n≥1）④，由②+③得，a2n+1﹣a2n﹣1＝±[a﹣1+（2n﹣1）d]±[a﹣1+（2n﹣2）d]（n≥2），∵{a2n﹣1}是等差数列，a2n+1﹣a2n﹣1必为定值，∴a2n+1﹣a2n﹣1＝[a﹣1+（2n﹣1）d]﹣[a﹣1+（2n﹣2）d]或a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣[a﹣1+（2n﹣1）d]+[a﹣1+（2n﹣2）d]，即a2n+1﹣a2n﹣1＝d（n≥2）或a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣d（n≥2），而由①知，|a3﹣a2|＝a﹣1+d，即a3﹣a2＝±（a﹣1+d），∴a3﹣a1＝a﹣1±（a﹣1+d），即a3﹣a1＝﹣d或a3﹣a1＝2（a﹣1）+d（舍），故，∴a2n﹣1＝1﹣（n﹣1）d，同理③+④得：a2n+2﹣a2n＝±（a﹣1+2nd）±[a﹣1+（2n﹣1）d]（n≥1），∴a2n+2﹣a2n＝d或a2n+2﹣a2n＝﹣d，由上面的分析可知，a3﹣a2＝﹣a+1﹣d，而a4﹣a3＝±（a﹣1+2d），故a4﹣a2＝﹣a+1﹣d±（a﹣1+2d），即a4﹣a2＝d或a4﹣a2＝﹣2a+2﹣2d（舍），∴a2n+2﹣a2n＝d，∴a2n＝a+（n﹣1）d，从而，∴．【知识点】数列递推式。
高三数学数列极限与函数极限例题解析试题
高三数学数列极限与函数极限例题解析一. 本周教学内容数列极限与函数极限 二. 重点、难点1. 数列极限的几个重要公式 假设a a n n =∞→lim b b n n =∞→lim那么〔1〕)()(lim b a b a n n n ±=±∞→〔2〕b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim〔3〕)0(lim≠=∞→b b ab a nn n2. 数列极限的几个重要极限 〔1〕c c n =∞→lim〔2〕n n a c a c n n ∞→∞→⋅=⋅lim lim〔3〕01lim=∞→kn n )0(>k〔4〕0lim =∞→kq n )1(<q3. 函数极限〔1〕a x f x f a x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim〔2〕a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 000〔3〕)(x f 为型需约分，再求极限。
4. 连续)(x f y =在0x x =处连续)()(lim 00x f x f x n =⇔→〔在0x 左右有定义〕【典型例题】[例1] 求证0lim =∞→nq n )10(<<q证：任意小正数0>ε 解不等式ε<-0n q ε<nq εlg lg <q n∴ qn lg lg ε>令]lg lg [qN ε=〔[…]为取整函数〕 故当1+>N N 时总有ε<-0n q ∴ 1lim =∞→nq n 〔ε、N 证明〕[例2] 以下数列极限n a n ∞→lim〔1〕2210043++=n nn a n 〔2〕13124+⋅+⋅=n n n n n a〔3〕113)2(3)2(+++-+-=n n nn n a 〔4〕)3(2n n n a n --= 〔5〕]1[n n n a n -+⋅=〔6〕33321)1(3221n n n a n ++++++⋅+⋅=〔7〕1)23(412+-+++=n n a n〔8〕)211()411)(311(+-⋅--=n n a n 解：〔1〕0lim =∞→n a n〔2〕0)31(11)31(41)32(4limlim =⋅+⋅+⋅=∞→∞→nn n n n n a n n 〔3〕311)32(31)32(31lim lim 1=+-+-⋅=+∞→∞→n n n n n a 〔4〕231313lim33limlim 2-=+--=+--=∞→∞→∞→nnn n n a n n n n〔5〕211limlim =++=∞→∞→nn n a n n n 〔6〕0)1(412)1()12)(1(61lim limlim 2232111=+++++=+=∞→===∞→∞→∑∑∑n n n n n n n kkka n nk nk nk n n n〔7〕231)13(21lim lim 2=+⋅-=∞→∞→n nn a n n n 〔8〕222lim 214332lim lim =+=++⋅⋅=∞→∞→∞→n n n n n a n n n n[例3] 填空〔1〕2724)2(lim22=++-∞→n nn a n ，=a 。
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案⼀、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价⽆穷⼩。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶⽆穷⼩的是（） A.3x B.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.34.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+?-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满⾜的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
函数极限题库及答案详解
函数极限题库及答案详解1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当 \(x \to 0\) 时，分子分母同时趋向于0，可以应用洛必达法则。
对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 +5}\)。
答案：当 \(x \to \infty\) 时，分子和分母的高次项将主导极限的值。
因此，\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3\)。
3. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：这是一个0/0的不定式，可以进行因式分解，分子可以分解为\((x - 2)(x + 2)\)，因此原式变为 \(\lim_{x \to 2} (x + 2)\)，结果为4。
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据e的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x \to 0\) 时，高阶项可以忽略，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：根据泰勒展开，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 -\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2!} +\text{高阶项}}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。
数列极限习题及答案
数列极限习题及答案数列极限习题及答案数列是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
数列的极限是数学分析中的基本概念之一，它描述了数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
在这篇文章中，我们将讨论一些关于数列极限的习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：考虑数列{an}，其中an = 1/n。
求该数列的极限。
解答：要求该数列的极限，我们需要计算当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于的值。
对于这个数列，当n趋向于无穷大时，an的值趋向于0。
因此，该数列的极限为0。
2. 习题二：考虑数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。
当n趋向于无穷大时，奇数项和偶数项的绝对值都趋向于无穷大。
但是，由于数列中的负号交替出现，所以数列的极限不存在。
3. 习题三：考虑数列{cn}，其中cn = (n+1)/n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，cn的值趋向于1。
因此，该数列的极限为1。
4. 习题四：考虑数列{dn}，其中dn = 2^n/n!。
求该数列的极限。
解答：要求该数列的极限，可以尝试计算数列的前几项并观察规律。
当n取1时，d1 = 2/1 = 2；当n取2时，d2 = 4/2 = 2；当n取3时，d3 = 8/6 = 4/3；当n取4时，d4 = 16/24 = 2/3。
观察可以发现，当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于0。
因此，该数列的极限为0。
5. 习题五：考虑数列{en}，其中en = (1+1/n)^n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的值趋向于自然对数e 的值。
因此，该数列的极限为e。
通过以上习题的讨论，我们可以看到数列的极限与数列的定义和表达式有着密切的关系。
在计算数列的极限时，我们需要观察数列的规律，并利用数学知识进行推导和计算。
数列极限的概念在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分、实分析等领域中都会涉及到。
（完整版）函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。
1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。
1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的 间断点。
1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是 。
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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：Q2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y x =+的反函数是解：（1）4log (2)y x =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -=10．()lim 12n nn n →∞+--=解：原式33lim212n n n n →∞=++-有理化11．若105lim 1,knn en --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k = 解：左式=5lim ()510n kn k nee e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsin71x y x -=-的定义域 解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x=-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x解: （1） 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+-互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()fx (ln x =的奇偶性。
解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称()(ln x x f -=-+Qln=(1ln ln(x x -=+=-+()f x =-()ln(f x x ∴=为奇函数解法（2）：()()f x f x +-Q(ln(ln x x =++-)ln (ln10x x ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()11f xg x x +=-，求()f x 及()g x 解： 已知()()f x g x +()11x =⋯1- 1()()1f xg x x -+-=--Q 即有 1()()1f xg x x --=+()2⋯ ()()2∴1+得()11211f x x x =--+ 故 21()1f x x =-()()21-得()11211g x x x =+-+ 故2()1xg x x =-18．设32lim 8n n n a n a →∞+⎛⎫=⎪-⎝⎭，求a 的值。
解： 3323lim lim 1n nn n n a a n a n a →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭Qlim,n naa n aee →∞-==8a e ∴=故ln83ln 2a ==19．求()111lim 12231nn n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭解：（1）拆项，11(1)(1)k kk k k k+-=++111,2,,1k n k k =-=⋯+ ()11112231n n ++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+（2）原式=lim 11111lim n nn n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．设()()0,1,x f x a a a =>≠ 求()()()21limln 12n f f f n n →∞⋅⋯⎡⎤⎣⎦ 解： 原式=()122ln 1lim nn a a a n →∞⋅⋯[]2ln 2ln ln 1lim n a a n a n→∞=++⋯+ 2ln 12limn a nn→∞⋯+=⋅++ 2(1)ln 2lim n n n a n →∞+=⋅⋅()ln 0,112a a a =>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设()f x()3f x =(){}f f f x ⎡⎤⎣⎦并讨论()3f x 的奇偶性与有界性。
解：（1）求()3f x()()2f x f x ==Q()()32f x f x f f x ===⎡⎤⎣⎦（2）讨论()3fx 的奇偶性()()33f x f x -==-Q()3f x ∴为奇函数（3）讨论()3f x 的有界性()3f x =<=Q()3f x ∴有界22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为ϕ的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角ϕ的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=213r h πh r R π==ϕQ 2224R r h π2ϕ∴==故2234R V ππ2ϕ=⋅ =（2）函数的定义域()222240,2ππ-ϕ>ϕ<Q()0π∴<ϕ<2故)0V π=<ϕ<2 五、证明题（每小题9分，共18分）23．设()f x 为定义在(),-∞+∞的任意函数，证明()f x 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
证：(1) ()()()2f x f x f x +-=()()2f x f x --+(2)令()()()()2f x f xg x x +-=-∞<<+∞()()()()2f x f xg x g x -+-==Q()g x ∴为偶函数(3)令()()()()2f x f x x x --ϕ=-∞<<+∞()()()()2f x f x x x --ϕ-==-ϕQ()x ∴ϕ为奇函数（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ϕ奇函数24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=1x，证明()f x 为奇函数。
证：（1）()()1121f x f x x ⎛⎫+=⋯⋯ ⎪⎝⎭Q令()11,2t f f t t xt ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 函数与自变量的记号无关()()122f f x x x ⎛⎫∴+=⋯⋯ ⎪⎝⎭（2）消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出()f x ()()()()2221:4f x f x x x-⨯-=-()()22223,3x x f x f x x x---==（3）()f x Q 的定义域()(),00,-∞⋃+∞又()()223x f x f x x--==--Q ()f x ∴为奇函数＊选做题1已知222(1)(21)126n n n n ++++⋯+=，求22233312lim 12n n n n n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪+++⎝⎭解: 222312n n n++⋯++Q2222233311211n n n n n n ++⋯+≤+⋯+≤+++且222312lim n n n n→∞++⋯++ ()()31(21)1lim36n n n n n n →∞++==+ 222312lim 1n n n →∞++⋯++3(1)(21)1lim 6(1)3n n n n n →∞++==+ ∴由夹逼定理知，原式13=2 若对于任意的,x y ，函数满足：()()()f x y f x f y +=+，证明()f y 为奇函数。
解 (1)求()0f ：令()()()0,0,02000x y f f f ===→=(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-()f y ∴为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=解：011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→=Q ∴选C注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 101x x x x x A B x x x→∞→∞--===++2． 下列极限正确的是（ ）A ． 1lim 0x x e -→= B ． 10lim 0xx e +→= C ． sec 0lim(1cos )xx x e →+=D ． 1lim(1)xx x e →∞+=解：101lim 0xx e e e --∞∞→===Q ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C ． ()()1lim0x x f x g x →=+D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解：()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞Q∴选D4．若()2lim2x f x x→=， 则()lim3x xf x →= （ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323limlim 32x t tx x tf x f t →→=()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5．设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：0sin lim 1,x xx→==Q 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴= 选C6．当0x +→时，()1f x =是比x高阶无穷小，则 （ ）A ．1a >B ．0a >C ．a 为任意实数D ．1a <解：00112lim lim 01ax x xa a x ++→→>=∴> 故选A二 、填空题（每小题4分，共24分）7．lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解：原式lim 1111lim 11x xxxx e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8．2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim11x x x x →∞-∞+--+111lim12x x →==+9．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ 解：原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫== ⎪⎝⎭10．已知216lim 1x x ax x→++-存在，则a = 解：()1lim 10x x →-=Q()21lim 60x x ax →∴++=160,7a a ++==-11．1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0xx x x e e x x-→→≤=∴=Q 又00arcsin limlim 1x x x xxx →→==Q 故 原式=112．若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n =解：()2222ln 1limlimsin n nx x x x x xxx→→+⋅=Q 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）13．求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-解： 原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+- sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭Qsin 21lim 0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭ ∴原式022033+==-- 14．求()1cos x x x →-解：原式有理化x →0tan (1cos )1lim (1cos )2x x x x x →-=⋅- 0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15．求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：令1t x=，当x →∞时，0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+ []10lim 1cos 1sin 2tt t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t t tee →∞-+=16．求0ln cos 2limln cos3x xx→解：原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价 注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17．求02lim sin x x x e e xx x-→---解： 原式0020lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000lim lim 2sin cos x xx xx x e e e e x x--→→++=18．设()fx 1,0x e a x x -⎧+>⎪=<且()0lim x f x →存在，求a 的值。