函数与极限习题与答案

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函数与极限习题与答案计算题(供参考)

高等数学二、计算题（共 200 小题，）1、设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。

2、设x xx f -+=11)(，确定)(x f 的定义域及值域。

3、设)ln(2)(22x x xx x f -+-=，求)(x f 的定义域。

4、的定义域，求设)(sin 512arcsin )(x f x x x f π+-=。

5、的定义域，求设⎪⎭⎫⎝⎛++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。

6、的定义域求函数22112arccos)(x x xxx f --++=。

7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(<m ，求)(x F 的定义域。

8、的定义域，求设 )(16sin )(2x f x x x f -+=。

9、的定义域，求设)(12)(2x f xx x f --=。

10、设，求的定义域f x x xf x ()lg ()=+256。

11、设，求的定义域f x x xf x ()arctan ()=-+2512。

12、13、,55lg )(-+=x x x f 设的定义域；确定)()1(x f []的值，求若)2(lg )()2(g x x g f =。

14、),00()(≠≠++=abc x c bx xa x f ，设成立，对一切，使求数0)()(≠=x x f x m f m 。

15、1)()1(3)2(3)3()(2+-+++-+++=x f x f x f x f c bx ax x f ，计算设的值，其中c b a ，，是给定的常数。

16、)1()11(1)(2-≠+-+=x x xf xx x f ，求设。

17、)()0(13)1(243x f x x x x x x x f ，求　设≠+++=+。

18、)()0( )11()1(2x f x x x xf ，求　设>++=。

第一章函数与极限的练习解答

一、P21：1；51.设），（），（∞+∞=55--A，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。

解：),5()3,(+∞-∞= BA)5,10[-=B A),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1）x x g x x f lg 2)(,lg )(2==解：不同。

定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D),0(+∞=g D 。

（2）2)(,)(x x g x x f ==解：不同。

对应法则不同，即：值域不同。

),0[,+∞==g f R R R 。

（3）334)(xx x f -=，31)(-•=x x x g解：相同。

因为定义域和对应法（或值域）则相同。

（4）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==解：不同。

定义域不同，R D f =},1,0,2{ ±=+≠=k k x x D g ππ。

二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.4.求下列函数的自然定义域：（1）23+=x y ；解：32023-≥⇒≥+x x 。

即：),32[+∞-=D 。

（3）211x x y --=；解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1100102x x x x 。

即：]1,0()0,1[ -=D 。

（5）x y sin =；解：0≥x 。

即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤⇒≤-≤-x x 。

即：]4,2[=D 。

（9）)1ln(+=x y解：101->⇒>+x x 。

即：),1(+∞-=D6.设,3,3,0,sin )(ππϕ≥<⎩⎨⎧=x x x x 求)2(),4(),4(),6(--ϕπϕπϕπϕ，并作出函数的)(x y ϕ=图形解：32,34,34,36πππππππ≥-<-<<， 216sin 6==⎪⎭⎫⎝⎛∴ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，22)4sin(4=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，0)2(=-ϕ。

（完整版）函数与极限习题与答案

（完整版）函数与极限习题与答案第⼀章函数与极限（A ）⼀、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。

6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

7、函数xxy sin =有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n Λ。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。

11、=++++∞→352352)23)(1(lim xx x x x x 。

12、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

13、函数231x1是⽐3-+x 15、当0→x 时，⽆穷⼩x --11与x 相⽐较是⽆穷⼩。

16、函数xe y 1=在x=0处是第类间断点。

17、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。

18、已知33=??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设??>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。

20、曲线2sin 2-+=xxx y ⽔平渐近线⽅程是。

21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为。

22、设??>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

⼆、计算题1、求下列函数定义域（1）211xy -= ；（2）x y sin = ；（3）x2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22x x y -= ；（2）323x x y -= ；（3）)1)(1(+-=x x x y ；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22,sin ,x v v u u y === ；（2）21,x u uy +==；5、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++∞→Λ；（2）2)1(321lim nn n -++++∞→Λ；（3）35lim 22-+→x x x ；（4）112lim 221-+-→x x x x ；（5）)12)(11(lim 2x x x -+∞→；（6）2232) 2(2lim -+→x x x x ；（7）x x x 1sin lim 20→；（8）xx x x +---→131lim 21 ；（9）)1(lim 2x x x x -++∞→；6、计算下列极限（1）xwx x sin lim 0→；（2）x x→；（4）xx xx )1(lim +∞→；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 10)1(lim -→；7、⽐较⽆穷⼩的阶（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(21112x x x --→与，时；8、利⽤等价⽆穷⼩性质求极限（1）30sin sin tan lim x x x x -→；（2）),()(sin ) sin(lim0是正整数m n x x m n x →；9、讨论函数的连续性。

(完整版)14-函数与极限习题与答案(证明题)

高等数学三、证明题（共 124 小题，）1、)1()( , 5522)(22t f t f t t tt t f =+++=证明设。

2、)1()()(,11ln)(yzz y f z f y f x xx f ++=++-=证明设).1,1(<<z y 式中 3、)()2()2( 1 , )1lg()(2y F y F y F y x x F =--->+=时有证明当设。

4、)()()( , )(y x f y f x f e t f t -==证明　设　。

5、证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。

6、，，设axax x x x x f +-=+∞<<-∞=1)()( arctan )(ϕ []。

，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=<<ϕ 7、证明Sh x Ch x Ch x 222+=。

8、验证。

22Shx Chx Sh x ⋅=9、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。

10、验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。

11、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。

12、验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。

13、验证1122-=th x ch x。

14、验证1122-=-cth x sh x。

15、{}{}{}反例。

，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。

试判定：，都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =16、nn n n n bn n n nn n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞→∞→→∞→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设17、{}．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞→+=-=∈lim )21(2)20(21118、．试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(019、0)(lim 0)(lim )()(00==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在20、试证明不存在。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

高等数学C习题答案-1

高等数学（少学时）习题解答第一章函数与极限习题1-11.求下列函数的定义域:(1) 211x xy --=; 解：110≤≤-≠x x 且；(2) ;1arctan 3xx y +-=解：30≤≠x x 且；(3) ()x x x y -+--=2ln 1562;解：由020562>-≥--x x x 且，得16≤≤-x ；(4) 212arccosx xy +=. 解：由,11212≤+≤-xxR x ∈. 2. 设()x f 的定义域为[]1,0，求()()()0>-++a a x f a x f 的定义域.解：⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 111010－知由从而得 ][.211,210φ时，定义域为；当时，定义域为当>-≤<a a a a3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x ,求)2(46ϕπϕπϕ、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.解：6sin )6(ππϕ=21=；22)4sin()4(=-=-ππϕ；()02=ϕ4.判断下列函数的奇偶性:(1) x x x f cos sin )(+=;解：x x x x x f cos sin )cos()sin()(+-=-+-=-；非奇非偶；(2) ()1e e 2-=+x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x=+=--；偶函数； (3) ()1e e 2-=-x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x -=-=--；奇函数；(4) )tan(cos x y =.解：)()tan(cos ))tan(cos()(x f x x x f ==-=-；偶函数. 5.求2sin 3,,66ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦y x x 的反函数. 解：32,23sin ,3sin 2yarcisnx y x x y ===；反函数为：[]1,1,2arcsin 31-∈=x x y 6.对于下列每组函数写出))((x g f 的表达式: (1)1)(,sin )(2-==x x g x x f ; 解：)1sin())((2-=x x g f ；(2)()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()e =x g x . 解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([x x x x g f x g x g x g x g f 从而得 7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/kg 计算基本运费,当超过50kg 时，超重部分按0.25元/kg 收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x (kg)之间的函数关系.解：25.0)50(15.050⨯-+⨯=x y 8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售，若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y 表示成一次销量的函数.解：设一次销售量为x 吨，()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+≤<-+≤=500)500(120)100(13515000500100)100(13515000100150x x x x x x xx f习题1-21.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:(1) n n x 311+=;解：极限是1；(2) n n n x 412+=;解：极限不存在；(3) 1332-+=n n x n ; 解：极限是32； (4) ()[]nn x n n 111+-+=.解：极限不存在；2．判断下列各题是否正确，并说明原因. (1)如果数列{}n x 发散，则{}n x 必是无界数列. 解：错，反例：()[]nn x nn 111+-+= (2)数列有界是数列收敛的充分必要条件. 解：错，必要但不充分条件（3）,lim lim a z y n n n n ==∞→∞→且当N n >时有,n n n z x y ≤≤则.lim a x n x =∞→解：对，夹逼定理（4）1sin lim=∞→xxx .解：错，极限是0（5）1)11(lim =+∞→n n n.解：错，极限是e3*.用数列极限的定义证明22lim 313→∞=-n n n .证明：|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|-=---=--n n n ）（ 0>∀ε，存在时，有当N N ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n |,3192|εε<-=---=--|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|n n n ）（既22lim313→∞=-n n n .习题1-31.判断下列各题是否正确,并说明原因.(1）如果)(0x f =5，但4)(lim )(lim 00==+→→-x f x f x x x x ，则)(lim 0x f x x →不存在.解：错，)(lim 0x f x x →=4（2）)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→和)(lim x f x -∞→都存在.解：正确(3)如果在0x 的某一去心邻域内,,0)(>x f 且,)(lim 0A x f x x =→则.0>A解：正确2.设⎩⎨⎧≥-<+=,1 ,12,1 ,4)(x x x x x f 求)(lim ),(lim 11x f x f x x +-→→; )(lim 1x f x →是否存在,为什么? 解：5)(lim 1=-→x f x ，1)(lim 1=+→x f x ，)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠， )(l i m 1x f x →不存在.3.设x x f =)(,求)(lim 0x f x →.解：10|0|)(lim 0-=∆∆-=∆-∆+=-→∆xxx x x f x ；10|0|)(lim 0=∆∆=∆-∆+=+→∆xxx x x f x . 左右极限不相等，极限不存在. 4*.根据函数的定义证明: (1) ()813lim 3=-→x x ,解：即可。

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《高等数学》第一章-——函数与极限练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）{}{}{}(,)0U a x x a x a x a x a x a δδδδ=<−<=−<<∪<<+（）（2）关系式221x y −=表示y 是x 的函数（）（3）关系式{}{}max ,1min ,1y x x =+−表示y 是x 的函数（）（4）关系式2arccos ,2y u u x ==+表示y 是x 的函数（）（5）若()sgn f x x =，则21,0,()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩（）（6）若2()ln ,()2ln ,f x x g x x ==则()()f x g x =.（）（7）2sin y x =是周期为π的函数.（）（8）()00000lim ()()lim ()()0x x f x x f x f x x f x Δ→Δ→+Δ=⇔+Δ−=.（）（9）0y =是曲线21y x =的水平渐近线.（）（10）()y f x =在0x 连续的充要条件是000()()()f x f x f x −+==.（）（11）收敛数列的极限不唯一.（）（12）lim ()().f x A f x A α=⇔=+（其中lim 0α=）.（）（13）212limn nn →+∞++⋅⋅⋅+=（）（14）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义.若()f x 连续且()0f x ≠，()g x 有间断点，则()()g x f x 必有间断点（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.2arctan limn nn →+∞=3.212lim 10n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.0lim x x →=5.()()220lim 11sin x x x x x →⎡⎤++−+=⎣⎦6.221lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.2lim 31nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()3sin 2limtan x x x→=9.若lim ,n n x a →∞=则lim n n x →∞=10.若lim ,n n x a →∞=则2lim n n x →∞=11.()22limh x h x h→+−=12.231lim 1x x x →∞−=+13.331lim 1x x x →∞+=−三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，则下列命题错误的是（）A ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上既有上界也有下界B ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上也有界C ：若()f x 在X 上有界，则1()f x 在X 上必无界D ：若()f x 在X 上无界，则()f x 在X 上也无界（2）下列结论错误的是（）A ：sin y x =在定义域上有界B ：tan y x =在定义域上有界C ：arctan y x =在定义域上有界D ：arccos y x =在定义域上有界（3）下列结论正确的是（）A ：arcsin y x =的定义域是(,)−∞+∞B ：arctan y x =的值域是(,)−∞+∞C ：cos y x =的定义域是(,)−∞+∞D ：cot y arc x =的值域是(,22ππ−（4）若lim n n x a →+∞=，则下列结论错误的是（）A ：{}n x 必有界B ：必有11limn nx a →∞=C ：必有221lim lim n n n n x x a−→∞→∞==D ：必有1000lim n n x a+→∞=（5）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在，则0lim ()x x f x →一定存在B ：若函数()f x 在点0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在C ：若0lim ()x x f x →不存在，则必有0lim ()x x f x →=∞D ：0lim ()x x f x →存在的充要条件是函数()f x 在点0x 处的左右极限存在且相等E ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在但不相等，则01lim()x x f x →一定存在（6）若lim ()0,lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，则下列结论错误的是（）A ：()lim ()()x f x g x →∞±不存在B ：()lim ()()x f x g x →∞不一定存在C ：lim[2()]x f x →∞一定存在D ：()lim()x f x g x →∞不存在（7）下列结论正确的是（）A：绝对值很小的数一定是无穷小B：至少有两个常数是无穷小C：常数不可能是无穷小D：在自变量的某一变化过程中，趋向0的函数是无穷小（8）下列结论正确的是（）A ：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大B ：无限个无穷小的和仍为无穷小C ：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大D ：无界函数一定是无穷大（9）下列等式不成立的是（）A ：1lim2n n n →+∞=B ：1limln(1)n n →+∞=+C ：lim 2n n →+∞=+∞D：lim1n →+∞−=（10）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：单增有上界的数列必收敛C ：单调数列必收敛D ：单减有下界的数列必收敛（11）下列结论正确的是（）A ：当0x →时，1xe −是比2x 高阶的无穷小B ：当1x →时，1x −与21x −是同阶的无穷小C ：当n →+∞时，21n 是比1n低阶的无穷小D ：当0x →时，若sin tan ax x ∼，则2a =（12）下列结论不正确的是（）A ：0x =是()xf x x=的跳跃间断点B ：2x π=是()tan xf x x =的可去间断点C ：()cot f x x =只有一个间断点D ：0x =是1()sin f x x=的第二类间断点（13）下列结论不正确的是（）A ：若lim ,n n x a →+∞=则10lim n n x a+→+∞=B ：01lim 1tan x x e x →−=C ：若10n x n<≤，则lim 0n n x →+∞=D ：123lim 121x x x x +→∞+⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠（14）下列数列收敛的是（）A ：11,1,1,,(1),n +−− B ：2,4,8,,2,nC ：123,,,,,2341n n + D ：233333,,,,,2222n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（15）下列数列发散的是（）A ：1sin2n n x n π=B ：1(1)nn x n=−C ：215n x n=+D ：(1)nn x n =−（16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（）A ：lg ,(0)x x +→B ：lg ,()x x →+∞C ：21,(0)x x +→D ：1,(0)xe x −−→（17）下列结论错误的是（）A ：0(,)x ∀∈−∞+∞，00lim sin sin x x x x →=B ：2lim ln sin 0x x π→=C ：0(1,1)x ∀∈−，0lim arccos arccos x x x x →=D ：0lim sgn sgn x x x x →=四、计算题1.)lim arcsinx x →+∞−.2.2121lim()11x x x→−−−.3.3tan sin lim1x x x x e →−−. 4.()22lim 13tan cot xx x →+.5.1lim 1x x →−.五、证明题1.证明函数,()1sin ,x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>≤x x 在点0=x 处连续．2.证明2sin ,0(),0xx xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在定义域内连续的充要条件是1a =.3.设()f x 在[0,1]上连续，且(0)0f =，(1)1f =，证明存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=−.4.证明222111lim 012n n n n n →∞⎛⎞++⋅⋅⋅+=⎜⎟+++⎝⎠.5.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=.6.证明方程531x x −=在1与2之间至少存在一个实根.《高等数学》第一章---函数与极限练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）2322(1,0)(3,4)x x x −−<⇔∈−∪（）（2）以1为中心，2为半径的去心邻域为{}{}(1,2)1113U x x x x =−<<∪<<（）（3）关系式2arcsin(3)y x =+表示y 是x 的函数（）（4）关系式{}max ,1min{,5}y x x =+表示y 是x 的函数（）（5）若函数()f x 的定义域为[1,4]，则函数2()f x 的定义域为[1,2]（）（6）若2(1)(1)f x x x −=−，则2()(1)f x x x =−（）（7）函数1,0()0,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩是偶函数（）（8）函数()cos 4f x x =的反函数1()arccos 4f x x−=（）（9）若()()sgn ,f x g x x ==则()()f x g x =.（）（10）sin 2tan 2xy x =+是周期为π的函数.（）（11）函数lg y u x ==能构成复合函数y =的充分必要条件是[1,10]x ∈（）（12）曲线211x y e−−=的水平渐近线是1y =（）（13）若0lim ()x x f x →不存在，则必有00()()f x f x −+≠（）（14））,0()0,0,0x a x f x x x a x +>⎧⎪==⎨⎪−<⎩在0x =连续的充要条件是0a =（）（15）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，若()g x 有间断点，则222()()g x f x 必有间断点（）（16）1x =是函数()2sgn(1)1y x =−+的可去间断点（）（17）4x π=是2tan 21y x =−的无穷间断点（）（18）lim ()1()1.f x f x α=⇔=+（其中lim 0α=）（）（19）2080100(1)(100)lim 1(1)n n n n →∞−+=+（）（20）222212lim 0n n n →+∞++⋅⋅⋅+=（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.24arctan(1)(sin 1)lim100n n n n →+∞−+=−3.417lim 100n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.()1lim 1sgn(1)x x x →−−=5.22301lim (3cos )2x x x x →⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦6.242lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.24lim 101nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()10050sin 4lim(tan 2)x x x →=9.若lim ,n n x a →+∞=则221lim n n n x x −→+∞⎡+⎤=⎣⎦10.225lim 2x x x →−=−11.()33limh x h x h→+−=12.20010001lim1x x x →∞−=+13.2lim ln sin x x π→=14.0x →=三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）下列结论错误的是（）A ：由于函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，因此()f x 的反函数1()f x −必存在且1()fx −的定义域为[1,1]−，值域为[,]22ππ−B ：在同一平面坐标系中，函数()y f x =与其反函数1()y f x −=的图形关于直线y x =对称C ：由于函数()tan f x x =在,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠上单调递增且连续，因此()f x 的反函数1()f x −在(),−∞+∞上也是单调递增且连续.D ：函数()cot f x arc x =的定义域为(,)−∞+∞，值域为,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠（2）下列数列收敛的是（）A ：:1,1,1,1,1,1,n x −−−B ：:0,1,2,3,4,5,n xC ：:0,ln 2,ln 3,ln 4,ln 5,n xD ：111:0,,0,,0,,248n x（3）下列数列发散的是（）A ：(1)1n n ⎧⎫−+⎨⎬⎩⎭B ：3110n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭C ：{}(2)n−D ：1ln(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭（4）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：发散的数列必无界C ：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数D ：收敛的数列必有界（5）若lim ()f x 与lim ()g x 都不存在，则（）A ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 都不存在B ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 一定都存在C ：[]lim ()()f x g x −与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都不存在.D ：[]lim ()()f x g x ±、[]lim ()()f x g x 与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能存在，也可能不存在（6）下列结论正确的是（）A ：若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>，则必有()()f x g x >B ：若()()f x g x >，则必有0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>C ：若0lim (),x x f x A →=则()f x 必有界D ：0lim ()x x f x A →=的充要条件是对任意数列00,,n n x x y x →→有lim ()lim ()n n n n x x y x f x f y A→→==（7）下列结论正确的是（）A ：若数列n x 无界，则数列n x 一定发散B ：若lim 0,lim 1,n n n n a b →∞→∞==则lim n n nba →∞一定存在C ：若lim n n x a →+∞=，则必有lim n n x a→+∞=D ：若221lim lim n n n n x x a −→+∞→+∞==，则lim n n x →+∞一定不存在（8）当x →∞时，下列变量中不是无穷小量的是（）A ：3211x x x −++BC ：221(1)sin1x x x−−D ：2211sin1xx x −−（9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（）A ：41sin(0)x x x→B ：21sin (0)x x x →C ：cos ()x x x →∞D ：1cos (0)x x x→（10）当0x →时，下列变量中与2tan x 为等价无穷小量的是（）AB ：xC ：2xD ：3x（11）设当x →0时，tan sin x x −是比sin narc x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）A ：1或2B ：4C ：5D ：3.（12）设()1,()ln(1),,mx n x ex x m n N αβ+=−=+∈，则当x →0时，下列结论正确的是（）A ：当m n >时，()x α必是()x β等价的无穷小B ：当m n =时，()x α必是()x β高阶的无穷小C ：当m n <时，()x α是()x β的低阶无穷小D ：当m n <时，()x α是()x β的同阶无穷小（13）设若,,ααββ′′∼∼则下列结论可能不正确的是（）A ：αβαβ′′∼B ：αβαβ′′±±∼C ：αβαβ′′∼D ：(0)C C C αα′≠∼（14）()xf x x=在0x =有（）A ：跳跃间断点B ：可去间断点C ：震荡间断点.D ：无穷间断点（15）函数1(3)ln y x x=−的间断点有（）A ：1个；B ：2个C ：3个D ：4个（16）当x →∞时，若2111ax bx c x ∼++−，则,,a b c 的值一定为（）A ：0,1,1a b c ===−B ：0,1,a b c ==为任意常数C ：0,,a b c =为任意常数D ：,,a b c 为任意常数（17）下列极限中结果等于e 的是（）A ：sin 0sin 2lim 1xxx x x →⎛⎞+⎜⎟⎝⎠B ：sin sin lim 1xxx x x →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠C ：sin sin lim 1x xx x x −→∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠D ：()2cot 0lim 1tan xx x →+（18）函数111()01x e x f x x −−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在点1x =处（）A ：连续B ：不连续，但右连续或有右极限C ：不连续，但左连续或有左极限D ：左、右都不连续（19）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内一定有界B ：若函数()f x 在[,]a b 内有间断点，则()f x 在[,]a b 上一定没有最值C ：若函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，而函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处也是连续的D ：一切初等函数在其定义域内都是连续的四、计算题1.设()0.10x e x f x x ⎧≤=⎨>⎩求)(x f 在0x =的极限2.求lim x →+∞3.求3211lim()11x x x x →−−−4.求)21sin limtan x arc xx →− 5.求lim ln(1)ln(1)n n nn n →∞⎛⎞−⎜⎟−+⎝⎠五、讨论题1.讨论2sin ,0;()1,0.xx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在定义域内的连续性2.讨论a 取何值可使1sin arccos ,0;()0,0;ln(1),0.x x x f x x x a x ⎧>⎪⎪==⎨⎪−+<⎪⎩在定义域内连续.六、证明题1.设()f x 在[0,1]上连续，且(1)0f >，证明存在(0,1)ξ∈，使()1f ξξξ=−2.证明lim 1n →∞⎛⎞+⋅⋅⋅+=3.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=4.证明曲线423710y x x x =−+−在1x =与2x =之间至少存在与x 轴有一个交点5.证明0p >时，函数1sin ,0()0,px x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0>≤x x 在点0=x 处连续．6.证明：0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=.《高等数学》第一章-——函数与极限自测题（A）题号一二三四五六总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。

第一章函数与极限答案

第一章函数与极限一函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。

（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。

（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。

（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域：（1）（6分）)(2x f []1,1-∈x（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。

(完整版)函数、极限与连续习题及答案

第一章函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为，()0f = ，()1f = 。

函数与极限测试题及答案(二)

函数与极限测试题及答案(二)1.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有(。

)。

A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数。

（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数。

（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数。

（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数。

答案：D2.设函数f(x) = 1/(ex(x-1)),则(。

)。

A）x = -1，x = 1都是f(x)的第一类间断点。

（B）x = -1，x = 1都是f(x)的第二类间断点。

（C）x = 1是f(x)的第一类间断点，x = 1是f(x)的第二类间断点。

（D）x = 1是f(x)的第二类间断点，x = 1是f(x)的第一类间断点。

答案：C3.设f(x) = [1/(x-1)]。

x ≠ 1，则f[1.x] = (。

)，x ≠ 1，则f[1.x] = (。

)。

A）1-x；（B）1-x2；（C）1-x；（D）1-x2.答案：A4.下列各式正确的是(。

)。

A）limx→+∞x/(x+1) = 1；（B）limx→0xsin(1/x) = 0；（C）limx→1(x-1)/(x2-1) = 1/2；（D）limx→∞(1-1/x)e-x = 0.答案：A5.已知limx→∞[(x3+2)/(x3+1)] = a，则a = (。

)。

A）1；（B）∞；（C）e；（D）2ln3.答案：C6.极限：lim(x→+∞)[(x+1)/(x2+2)] = （）。

A）1；（B）∞；（C）e；（D）2.答案：A7.极限：lim(x→0)(x+1-1)/x2 = （）。

A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：C8.极限：lim(x→∞)(x+1-1)/x2 = （）。

A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：A9.极限：lim(x→+∞)(x2+x-x)/x = （）。

A）0；（B）∞；（C）2；（D）1.答案：C10.极限：lim(x→π/4)(tanx-sinx)/(sin3x/2) = （）。

高等数学课后习题答案--第一章函数与极限

第一章函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。

高数第一章函数与极限答案(2013)

第一章函数与极限答案第一节映射与函数1.填空题: （1）2,1-≥±≠x x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=10011x x x xy ；（3）{0}；（4）a ；（5）x x 1-， x ；（6）⎩⎨⎧≤<≤-=32231-x ()1-(2x x xx f ）2. 选择题:（1）C ；（2）A ；（3） B ；（4）B ；（5） B ；（6）C ；（7）C ； 3． 352)1(0,1,22++=+===x x x g c b a ；；4． )1(22x -；5. 22()0()()()0x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-+-->⎩，即：220()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 6. 解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得；221()3x x f x +-=7．（1）|sin |y x =；（2）sin ||y x =；（3）2sin 2x y =.8．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合而成的，证明：（1）若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。

（2）若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。

（略）第二节数列的极限1.填空题:（1）0；（2）0；（3）6,0==b a ；（4）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件. 2．选择题:（1）B ；（2） D ；（3） D ； 3. 根据数列极限的定义证明: （略）4. 若a u n n =∞→lim ，证明a u n n =∞→lim .并举例说明反之不成立.提示：利用不等式：a u a u a u n n n -≤-≤-5. 设数列{}n x 有界，又0lim =∞→n n y ，证明:0lim =∞→n n n y x . （略）第三节函数的极限1．填空题:（1）=+)0(f b ，=-)0(f 1 . 当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x .（2）充分必要（3）必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:（1） A ；（2） C ；（3） D ；（4） C 3. 根据函数极限的定义证明: 8)13(lim 3=-→x x ；（略）4．证明xx 1sinlim 0→不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。

高数函数的极限连续习题精选及答案

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（不存在），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

函数与极限习题与答案计算题(供参考)

高等数学二、计算题（共 200 小题，）1、设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。

2、设x xx f -+=11)(，确定)(x f 的定义域及值域。

3、设)ln(2)(22x x xx x f -+-=，求)(x f 的定义域。

4、的定义域，求设)(sin 512arcsin )(x f x x x f π+-=。

5、的定义域，求设⎪⎭⎫⎝⎛++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。

6、的定义域求函数22112arccos)(x x xxx f --++=。

7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(<m ，求)(x F 的定义域。

8、的定义域，求设 )(16sin )(2x f x x x f -+=。

9、的定义域，求设)(12)(2x f xx x f --=。

10、设，求的定义域f x x xf x ()lg ()=+256。

11、设，求的定义域f x x xf x ()arctan ()=-+2512。

12、13、,55lg )(-+=x x x f 设的定义域；确定)()1(x f []的值，求若)2(lg )()2(g x x g f =。

14、),00()(≠≠++=abc x c bx xa x f ，设成立，对一切，使求数0)()(≠=x x f x m f m 。

15、1)()1(3)2(3)3()(2+-+++-+++=x f x f x f x f c bx ax x f ，计算设的值，其中c b a ，，是给定的常数。

16、)1()11(1)(2-≠+-+=x x xf xx x f ，求设。

17、)()0(13)1(243x f x x x x x x x f ，求　设≠+++=+。

18、)()0( )11()1(2x f x x x xf ，求　设>++=。

第一章函数与极限习题参考解答

习题1-1 映射与函数 1、求下列函数的自然定义域：（1）211x x y --=（2）)3arcsin(-=x y （3）xx y 1arctan 3+-= 解（1）由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. （2）由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(3) 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).2、在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）3,6,sin ,212ππ====x x x u u y解y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . （2）2,1,1,212==+==x x x u u y解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y （3）1,1,,212-====x x e u u y x解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.习题1-2 数列极限函数极限1、下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：（1）n n x 21=（2）212n x n +=（3）11+-=n n x n （4）n n x nn1]1)1[(++-= 解（1）当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .（2）当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn .（3）当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .（4）发散，因为当n 为偶数时,数列趋于2，而当n 为奇数时,数列趋于0。

2、求()()xx x x xx f ==ϕ, 当0→x 时的左、右极限，并说明它们在0→x 时的极限是否存在证明（1）因为 11lim lim )(lim 00===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0x f x →存在.（2）因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(l i m )(l i m 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在 3、用定义证明： 0sin lim=+∞→xx x分析因为x x x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε >0, ∃21X ε=>, 当x > X 时, 有ε<-0sin x x , 所以0sin lim =+∞→xx x 。

(完整版)函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。

2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。

6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。

7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。

8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。

11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。

12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。

13、函数23122+--=x x x y 的间断点是。

14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。

17、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。

18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a=。

20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是。

21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为。

22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

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