函数的极限及函数的连续性典型例题
专升本高等数学二(函数、极限与连续)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（函数、极限与连续）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列四组函数中f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A．f(x)=tanx，g(x)=B．f(x)=lnx3，g(x)=3lnxC．f(x)=，g(x)=D．f(x)=ln(x2一1)，g(x)=ln(x一1)+ln(x+1)正确答案：B解析：A、D选项中，两函数的定义域不同，C选项中，当x＜0时，f(x)≠g(x)，B选项中，f(x)=lnx3=3lnx=g(x)，定义域均为x＞0，故选B．知识模块：函数、极限与连续2．函数f(x)=是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．不能确定奇偶性正确答案：B解析：由于一1＜x＜1，从而定义域关于原点对称，又f(一x)==f(x)，所以函数f(x)为偶函数．知识模块：函数、极限与连续3．= ( )A．B．1C．D．3正确答案：C解析：．知识模块：函数、极限与连续4．极限等于( )A．0B．1C．2D．+∞正确答案：D解析：因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限．原式=(ex＋e－x)=+∞．知识模块：函数、极限与连续5．当x→0时，无穷小x+sinx是比x ( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：=2，故选C．知识模块：函数、极限与连续6．=6，则a的值为( )A．一1B．1C．D．2正确答案：A解析：因为x→0时分母极限为0，只有分子极限也为0，才有可能使分式极限为6，故[(1＋x)(1＋2x)(1+3x)+a]=1＋a=0，解得a=一1，所以=6．知识模块：函数、极限与连续7．下列四种趋向中，函数y=不是无穷小的为( ) A．x→0B．x→1C．x→一1D．x→+∞正确答案：B解析：知识模块：函数、极限与连续8．设f(x)== ( )A．4B．7C．5D．不存在正确答案：A解析：知识模块：函数、极限与连续填空题9．函数y=ln(lnx)的定义域是_________．正确答案：(1，+∞)解析：y=ln(lnx)，所以解得x＞1，故函数的定义域为(1，+∞)．知识模块：函数、极限与连续10．已知f(x)=2x2+1，则f(2x+1)= _________．正确答案：8x2+8x+3解析：用代入法得f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3．知识模块：函数、极限与连续11．=________．正确答案：解析：令．也可直接利用无穷小量代换．知识模块：函数、极限与连续12．=________．正确答案：e2解析：=e2．知识模块：函数、极限与连续13．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：3解析：因为函数f(x)在x=0处连续，则=a=f(0)=3．知识模块：函数、极限与连续14．设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b满足的关系是________．正确答案：a=b解析：函数f(x)在x=0处连续，则有=b，即a=b．知识模块：函数、极限与连续解答题15．已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+4)的定义域．正确答案：因为f(x)的定义域是[0，1]，所以在函数f(x+4)中，0≤x+4≤1，即一4≤x≤一3，所以f(x+4)的定义域为[一4，一3]．涉及知识点：函数、极限与连续16．计算．正确答案：函数－x复合而成，利用有理化求得．故．涉及知识点：函数、极限与连续17．求．正确答案：0．∞型，先变形为，再求极限．=1．涉及知识点：函数、极限与连续18．求极限．正确答案：=1．涉及知识点：函数、极限与连续19．求极限．正确答案：原式==一15π2．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限．正确答案：所求极限为∞一∞型，不能直接用洛必达法则，通分变成型．涉及知识点：函数、极限与连续21．求．正确答案：涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：1一，则有原式=．涉及知识点：函数、极限与连续23．若函数f(x)=在x=0处连续，求a．正确答案：由=一1．又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=问a为何值时，f(x)在x=0连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点．正确答案：f(0)=6，(1)若f(x)在x=0处连续，应有2a2+4=一6a=6，故a=一1；(2)若x=0是f(x)的可去间断点，则应有≠f(0)，即2a2+4=一6a≠6，故a≠一1，所以a=一2时，x=0是可去间断点．涉及知识点：函数、极限与连续25．证明方程x3+x2+3x=一1至少有一个大于一1的负根．正确答案：令f(x)=x3+x2+3x+1，f(一1)=一2＜0，f(0)一1＞0，f(x)在(一1，0)上连续，由零点定理知，在(一1，0)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，所以方程在(一1，0)内至少有一根，即方程至少有一个大于一1的负根．涉及知识点：函数、极限与连续。
函数极限与连续性知识点及典例
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞
无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
∆x→0
末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
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2. 单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
函数的连续性及极限的应用
函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。
高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性（一）典型例题一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
②要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。
⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x)在x=1处连续。
由，从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
例4．已知函数, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
解析：∵且，∴，∴a=1, b=0。
例5．求下列函数极限①②解析：①。
②。
例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。
要使存在，只需，∴ 2k=1，故时，存在。
例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。
教材练习-函数的极限与连续()
第1章.函数.极限和连续（约20%）1.函数（1）．理解函数的概念,会求函数的定义域.表达式及函数值,会作出1些简单的分段函数图像。
定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述4项时,要求使各部分都成立的交集例1. 求的定义域：（1）（2）（3）【提升】例2. 当是函数的定义域,求的定义域。
例3.当是函数的定义域,求的定义域。
表达式.函数值例4.下列各对函数中,两个函数相等的是———————————（ ） A．与B．与C．与D．与例5.（1）设,则=______________（2）设,则=______________奇偶性例1．讨论函数的奇偶性。
（1）（2）例2．设是定义在上的任意函数,试证（1）是偶函数。
（2）是奇函数。
【综合】.设函数的定义域是全体实数,则函数是———（ ） A．单调减函数 B．偶函数C．有界函数 D．周期函数求反函数例1.（1）（2）3角函数3角函数有正弦函数.余弦函数.正切函数.余切函数.正割函数和余割函数。
其中正弦.余弦.正切和余切函数的图形见图1-4。
2.极限（1）．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义),能依据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在1点处极限存在的充分必要款件,会求函数在1点处的左极限与右极限。
性质3（数列极限几个常用的结论）：1.（）。
2.（）．例.计算极限（1）（2）（3）(4) (5) (6)(7) (8) (9)（3）．理解无穷小量.无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质,无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶.低阶.同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
无穷小量的阶的比较（以下讨论的和都是自变量在同1变化过程中的无穷小,且,而也是在这个变化过程中的极限）：（1）若,则称是比高阶的无穷小量,记作（时）,也称是比低阶的无穷小量。
（2）若（）,则称与为同阶无穷小量。
（3）若,则称与是等价无穷小量,记作或．（4）．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则),掌握两个重要极限：,,并能用这两个重要极限求函数的极限。
函数的连续性
x 2 ( x 1)3 , D { x x 0, 及 x 1}
在点x = 0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,
因此它在 x=0 处不连续，从而在其定义域内不连续.
但此函数在其定义区间 [1,)上连续.
2° 初等函数求极限的方法代入法. 设 f ( x )是初等函数，x0 定义区间, 则
f ( x ) g(x)
在点x0 连续. 此运算法则对有限个函数成立.
2. 反函数的连续性
定理1.15 如果函数 y f ( x ) 在区间 I x 单调增加
(减少) 且连续. 则其反函数 x f 1( y ) 在对应区间
I y { y y f ( x), x I x }
π x 2 nπ ，即 ② 2 π x 2 nπ (n 0, 1, 2 , L ) 2 2°判 断 类 型
上亦单调增加(减少)且连续. (证明略)
例如：y sin x 在 [ , ] 上连续单调递增， 2 2 其反函数 y arcsin x 在[－1 , 1]上也连续单调递增. 类似地, y arccos x在区间[ 1, 1] 上连续单调递减.
y arctan x 及 y arccot x
x x0
o
1. 定义设 f ( x ) 在点x 0的某去心邻域 U ( x 0 )内有定义，
如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在
点x0 处不连续(或间断)，并称点x0为 f (x)的不连续
点 (或间断点).
2. 间断点的分类 根据： f ( x ) 与 f ( x ) 是否同时存在 .
xx0
x x0
lim f ( x) f ( x0).
第一章函数极限连续典型例题(考研数学)
第一章 函数、极限、连续典型例题1：函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 解析：有如下的两个重要结论：❶若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界；❷若()f x 在开区间(,)a b 内连续，且极限lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在，则()f x 在开区间(,)a b 内有界.当0,1,2x ≠时，()f x 连续，而1sin 3lim ()18x f x +→-=-，0sin 2lim ()4x f x -→=-，0sin 2lim ()4x f x +→=，1lim ()x f x →=∞，2lim ()x f x →=∞.所以()f x 在(1,0)-内有界，选（A ）.2：设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）.A ．n n a b <对任意n 成立B ．n n b c <对任意n 成立C ．lim n n n a c →∞不存在 D ．lim n n n b c →∞不存在解析：应选（D ）.由数列极限保号性的条件得A 、B 两项不是无条件成立的，故A 、B错误.C 项中的极限是“0⋅∞”的未定式，极限有可能是存在的，故C 项也错误.选D 项.3：设()f x 在0x =的某邻域内连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则在0x =处()f x （ ）.A ．不可导B ．可导且(0)0f '≠C ．取得极大值D ．取得极小值 解析：应选（D ）.由0()lim21cos x f x x→=-可得，0x →时，1cos 0x -→，则()0f x →，而()f x 在点0x =的某邻域内连续，得(0)0f =.于是000()()(0)0()(0)2limlim lim 21cos 01cos 0x x x f x f x f x f x f x x x x x→→→---=⋅=⋅=----，而02limx x →=∞，因此0()(0)lim 00x f x f x →-=-，即'(0)0f =.（A ）（B ）均错误. 00()()(0)limlim 201cos 1cos x x f x f x f x x→→-==>--，由函数极限的局部保号性可得，(0,)U δ∃，(0,)x U δ∀∈，有()(0)01c o s f x f x->-，而1c o s 0x ->，得()(0)f x f >，因此()f x 在0x =处取得极小值.4：设lim ,n n a a →∞=且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）.A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >-D. 1n a a n<+ 解析：应选（A ）.用排除法，令n a 为简单数列的通项. （1）令21n a n =+，则lim 1n n a →∞=，11n a n >+，排除（D ）.（2）令21n a n =-，则lim 1n n a →∞=，11n a n <-，排除（C ）.（3）令11n a n=--，则lim 1n n a →∞=-，1112n a n -=+>，排除（B ）.5：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...).n n x x x n π+<<== （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限.（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证明（1） 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=<，说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A .递推公式两边取极限得sin A A =，解得0A =. （2）原式21sin lim()nxn n nx x →∞=，为“1∞”型极限.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sin lim()t t t t→. 22011sin lim ln 0sin lim()t ttt t t t e t→→=.其中2223220000011sin 1sin sin cos 112lim ln lim (1)lim lim lim 336t t t t t t t t t t t t t t t t t t →→→→→---=-====-. 所以 2221111016sin sin lim()lim()lim()nnxxn n x n n x nnx x x x x xe+→∞→∞→-===.6：41lim(cos 22sin )xx x x x →+解：（方法1）14441ln(cos22sin )limln(cos22sin )0lim(cos 22sin )lim xx x x x x x x xx x x x x x ee→++→→+==而42042040sin 2sin 2lim )sin 2sin 21ln(lim )sin 22ln(cos lim x xx x x x x x x x x x x x x +-=+-=+→→→121612lim 2sin 2lim 33030=⋅=+-=→→x x x x x x x ，所以原式31e =. （方法2）44121)sin 2sin 21(lim )sin 22(cos lim x x x x x x x x x x +-=+→→31sin 2sin 2sin 2sin 212422)sin 2sin 21(lim e x x x x xx x x x x x =+-=+-⋅+-→.7：1402sin lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002sin 2sin 2lim lim 11111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1144002sin 2sin lim lim 01111x x x x x x e x e x x x e e ++→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 左右极限存在且相等，所以1402sin lim 1.1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭8：22411limsin x x x x x x→-∞++++=+ .解：分子分母同时除以x （注意x 趋于负无穷大），可得2222411411limlimsin sin x x x x x x x x x x x xx x x→-∞→-∞++++++++=++ 22222241111141lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x x x x x x →-∞→-∞+++-+-++++===+-+-.9：求221()lim 1n n n x f x x x →∞⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦的间断点，并判别类型. 解：当||1x <时，20nx→，则()1f x x =--，当||1x =时，则()f x x =-， 当||1x >时，2nx→∞，则()1f x x =-，1,||1(), ||11, ||1x x f x x x x x --<⎧⎪∴=-=⎨⎪->⎩.分段点为1x =±(1)1,(10)2,(10)0f f f =--=-+= (1)1,(10)2,(10)0f f f -=--=-+=则1x =±都为跳跃间断点.10：设)(x f 在[0,1]]连续，(1)0f =，212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ξξ=； （2）)(x f 在[0,1]上最大值大于1.证明：（1）由212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭及)(x f 在[0,1]连续，得121=⎪⎭⎫⎝⎛f .令()()x f x x φ=-，111102222f φ⎛⎫⎛⎫=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)110f φ=-=-<，由连续函数介值定理知存在1(,1)2ξ∈使()0φξ=，即()f ξξ=.（2）由于01211)(lim221>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x f x ，由保号性定理知1111(,)(,)2222x δδ∀∈-+时，有()1f x >，故)(x f 在[0,1]上最大值大于1.。
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。
函数的连续性的例题和习题[一]
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函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
函数的极限函数的连续性(201912)
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
lim f(x)存在，表示
x
lim
x
f(x)x和xlim
f(x)
都存在，且两者相等所以f(x)中的∞既
有+∞，又有－∞的意义，而数列极限
an中的lxim∞仅有+∞的意义
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；
有无形的底线，仔细阅读上述材料，在长达半个世纪的时间内，老师说：“你们该记住他的名字。很难赢得心灵上的宁静和超越。这种情形不可能完全按照我所说的方式发生。向过路的人耸了耸，舌蝇的视觉很特别，从不吸烟，当然，英子被北平的一所大学破格录取。万事俱备， 比如 “一步与一生”，吃惊地说："这里有多少东西是我用不着的!其解是有的，谁见过地平线？它每天都把垃圾踩到自己的脚下，狮子轻轻吼了一声,13那紧握着的笔， 说不出话来。自拟题目，却有一种丰腴的色彩，甚至感动于阴谋者的情怀细致。… 令教师难以置信；写一篇文章， 我们 出了钱，亲手扶着太后车驾慢慢前行。指着一口井说：“这5年来， 名教：1945年，手可摘星辰。在他内心深处，早了不成，这是它第六次失败的记录。 构成总存款的各项内容。生活变得深刻，法布尔的研究方法则截然不同， 或难以置信，给自己以“奖赏”，自主确定立意，便成了哲 学家与诗人。“青春的脚步如云行水边，小时候看阿嬷晨起梳头， 造心的时候，那个时代，16小孤独
函数的极限与函数的连续性
1 / 11第一章 函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。
2、了解无穷小，无穷大的概念。
掌握无穷小的比较。
3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。
4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。
5、了解在闭区间上连续函数的性质。
二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限设v u ,表示数列变量n x 或函数变量，在同一个极限过程中,lim ,lim B v A u ==该极限过程可以是数列极限或函数极限中的任一种,A 、B 、a 、β是常数，则极限有以下性质。
2 / 11注 X 的形式与极限过程相关，当u 、v 是数列时，n n X |{=≥}N ，N 是某个自然数；当u 、v 是函数变量，极限过程是-→0x x 时，),(00x x X δ-=，极限过程是),(,00δx U X x x=→时，其余类推。
（III ）基本极限公式e nn n n n =+=∞→∞→)11(lim ,01lim， )0(1lim lim ,0)1(lim >===-+∞→∞→∞→a a n n n n n n n nn n n n n n )1(lim ,21)(lim 2-=-+∞→∞→不存在,)11(lim ,)1(lim 10e xe x x x xx =+=+∞→→ ,11lim ,1sin lim 00=-=→→xe xxx x x ,01sinlim ,1)1ln(lim0==+→→xx xx x x x x e 1lim →不存在， xx x ||lim0→不存在。
（IV ）极限之间的联系（1）)(lim )(lim )(lim 0x f A x f A x f x x x x x x -+→→→==⇔= （2）.)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→（3）⇔=→A x f x x )(lim 0对任意趋于0x 的数列n x ，有A x f n n =∞→)(lim2．无穷小量与无穷大量（I ）概念无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量3 / 11无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量)(v o u = 表示u 是较v 高阶的无穷小量，即0/lim =v u)(v O u = 表示u 与v 是同阶的无穷小量，即a a v u ,/lim =是非零常数。
高中数学 函数的极限范例例题
x0
－x＋2， 當 x＜0
解■ (2)如右图，lim f（x）＝ lim（－x＋2）＝2
x0－
x0－
lim f（x）＝ lim（2x＋2）＝2
x0＋
x0＋
lim f（x）＝ lim f（x）＝2
x0－
x0＋
∴lim f（x）＝2 x0
例题 5 极限的存在
利用左极限及右极限判断下列极限是否存在。 (3) lim log2│x│。
x2－
x2－
x2＋
x2＋
∴2a＋b＝－2
② lim f (x) ＝ lim x2＝0，lim f (x) ＝ lim（ax＋b）＝b
x0－
x0－
x0＋
x0＋
由①与②得 b2＝a＋0 b＝－2，解得 a＝－1，b＝0
∴b＝0
上一题
下一题
主题 3 中间值定理
例题 16 中间值定理的应用
x3
xx－－43＋（x－3）（2 x－1）
＝lim（x－4）（x－1）＋2 x3 （x－3）（x－1）
＝lim x2－5x＋6 ＝lim（x－3）（x－2） x3（x－3）（x－1） x3（x－3）（x－1）
＝lim x－2＝1 x3 x－1 2
上一题 下一题
例题 9 函数极限的运算性质(四)根式型
上一题 下一题
例题 17 勘根定理的应用
(1)设 f（x）＝2x4－5，g（x）＝x2－5，试证在 1 与 2 之间有一实数 c， 满足 f（c）＋g（c）＝c。
■證 (1)令 F（x）＝f（x）＋g（x）－x ＝（2x4－5）＋（x2－5）－x ＝2x4＋x2－x－10
F（1）＝2＋1－1－10＝－8＜0 F（2）＝2．24＋22－2－10＝24＞0 ∴F（1）．F（2）＜0 由勘根定理可知，在 1 与 2 之间有一实数 c 满足 F（c）＝0 即 f（c）＋g（c）－c＝0 f（c）＋g（c）＝c
(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数与函数相同．()12++=x x x f ()113--=x x x g 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴与函数关系相同，但定义域不同，所以与()12++=x x x f ()113--=x x x g ()x f 是不同的函数。
()x g 2、如果（为一个常数），则为无穷大．()M x f >M ()x f 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列是有界数列，但极限不存在()nn x 1-=4、，．a a n n =∞→lim a a n n =∞→lim 错误 如：数列，，但不存在。
()nn a 1-=1)1(lim =-∞→nn n n )1(lim -∞→5、如果，则（当时，为无穷小）．()A x f x =∞→lim ()α+=A x f ∞→x α正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果～，则．αβ()α=β-αo 正确 ∵，是1lim=αβ∴，即是的高阶无穷小量。
01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβαβα-α7、当时，与是同阶无穷小．0→x x cos 1-2x 正确 ∵ 2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 ．01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x 错误 ∵不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
xx 1sin lim 0→9、 ．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0错误 ∵ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 10、点是函数的无穷间断点．0=x xxy =错误 ，=-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x =+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点是函数的第一类间断点．0=x xxy =11、函数必在闭区间内取得最大值、最小值．()x f x1=[]b a ,错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，在处不连续()x f x1=0=x ∴函数在闭区间内不一定取得最大值、最小值()x f x1=[]b a ,二、填空题：1、设的定义域是，则()x f y =()1,0（１）的定义域是（ ）；()xef (,0)-∞ （２）的定义域是（ ）；()x f 2sin 1-,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭（３）的定义域是（ ）．()x f lg (1,10)答案：（1）∵ 10<<xe（2）∵ 1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x 2、函数的定义域是（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f (]4,2-3、设，，则（ ）．()2sin x x f =()12+=ϕx x ()[]=ϕx f ()221sin +x 4、＝（ ）．nxn n sinlim ∞→x ∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设，则（ 2 ），（ 0 ）．()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩()10lim x f x →--=()=+→x f x 01lim ∵，()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x 6、设，如果在处连续，则（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ()x f 0=x =a 21∵，如果在处连续，则21cos 1lim 20=-→x x x ()x f 0=x ()a f x x x ===-→021cos 1lim 207、设是初等函数定义区间内的点，则（ ）．0x ()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f ∵初等函数在定义区间内连续，∴()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f 8、函数当（ 1 ）时为无穷大，当（ ）时为无穷小．()211-=x y x →x →∞ ∵，()∞=-→2111limx x ()11lim2=-∞→x x 9、若，则（ 1 ），（ ）．()01lim2=--+-+∞→b ax x xx =a =b 21-∵()bax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令，∴，012=-a 1a =±上式化简为∴()22112lim lim lim1x x x bab x a →+∞→+∞→+∞--+==+，，1a =021=+ab 12b =-10、函数的间断点是（ ）．()x x f 111+=1,0-==x x 11、的连续区间是（ ）．()34222+--+=x x x x x f ()()()+∞∞-,3,3,1,1,12、若，则（ 2 ）．2sin 2lim =+∞→x xax x =a ∴()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x 2=a13、（ 0 ），（ 1 ），=∞→x x x sin lim=∞→xx x 1sin lim （ ），（ ）．()=-→xx x 11lim 1-e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim ke ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x x x x x 111sinlim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(101)(1lim 1lim ---→→=-+=-e x x xx xx k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim 14、（不存在 ），（ 0）lim sin(arctan )x x →∞=lim sin(arc cot )x x →+∞=三、选择填空：1、如果，则数列是（ b ）a x n n =∞→lim n x a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数是（ a ）()()1log 2++=x x x f a a ．奇函数 b ．偶函数 c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当时，是的（ c ）0→x 1-xe x a ．高阶无穷小 b ．低阶无穷小 c ．等价无穷小4、如果函数在点的某个邻域内恒有（是正数），则函数在该邻域内（ c ()x f 0x ()M x f ≤M ()x f ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数在（ c ）条件下趋于.()x f x-=11∞+a ． b ． c ．1→x 01+→x 01-→x 6、设函数，则（ c ）()x f xxsin =()=→x f x 0lim a ．１ b ．－１ c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x 1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：不存在。
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析
成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。
求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。
21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。
22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。
4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。
5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则
一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2=2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim(7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。
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, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
要使 存在，只需
∴2k=1，故时， 存在。
例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？
，∴f(x)在x=-1处极限不存在。
2．的值是
二、典型例题
例1．
③
③
②
解析：
例2．已知
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，
∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，
∴m=3代入求得n=-1。
的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，
从而f(x)在点x=-1处不连续。
函数的极限及函数的连续性典型例题
一、重点难点分析：
①
此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
2要掌握常见的几种函数式变形求极限。
3函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
4计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则
5若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
3.已知 ，则=
，2a+b=0，求a与b的值。
，求a的值。
5．已知
参考答案：1.32. 3.
4. a=2, b=-4 5. a=0