函数极限与连续性知识点及典例

lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
推论2 推论2
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
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4. 求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
x 满足不等式 0 < x − x 0 < δ 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足 不等式 f ( x ) − A < ε ,那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → x0 时的极限 ,记作
"ε − δ"定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,
x → x0
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第一章 函数极限与连续 习 题 课
主要内容 典型例题
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• 一、基本要求
– 1、理解函数的概念、了解函数的性质. – 2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、 存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极 限。 – 3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价 无穷小的运算性质。 – 4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性 质。
3. 连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续⇔是函数f ( x)在 x0 处
. 既左连续又右连续
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4. 间断点的定义
函数f ( x )在点x 0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x)在点 0处有定义 x ;
(2) lim f ( x)存在 ;
连
∆x→0
续
定
义
lim ∆y = 0
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
间断点定义
左右连续
连续的 充要条件
连续 的
连续
第一类 第二类 可 跳 无 振 去 跃 穷 荡 间 间 间 间 断 断 断 断 点 点 点 点
的连续
的连续
连续 的
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1. 连续的定义
x→x0 →
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
lim(1 + x) = e
x→0 1 x
某过程
lim
sinα
α
= 1;
(2)
来自百度文库
某过程
lim (1 + α)α = e.
1
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7. 无穷小的比较
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); (α
∆x→0
末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
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2. 单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
存在, 但f ( x 0 − 0) ≠ f ( x 0 + 0), 则称点 x 0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
(2)可去间断点 如果f ( x )在点x 0处的极限存在 , 可去间断点
但 lim f ( x ) = A ≠ f ( x 0 ), 或f ( x )在点x 0处无定
x → x0
义则称点 x 0为函数 f ( x )的可去间断点.
δ ,使得当
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A(当x → x 0 )
恒有 f ( x ) − A < ε.
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左极限 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时,
恒有 f ( x ) − A < ε.
记作 lim f ( x) = A 或 f ( x0 − 0) = A.
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5. 判定极限存在的准则
则 ′ 如 当x∈U ( x0 , r)(或x > M )时有 ,有 ∈ 或 时 准 Ⅰ 果
0
(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x), (2) lim g( x) = A, lim h( x) = A,
x→x0 ( x→∞) x→x0 ( x→∞)
x → x0
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定义③ 定义③
设函数 f ( x ) 当 x 大于某一正数时有定
对于任意给定的正数 义，
ε (不论它多么小),总存 不论它多么小), ),总存
在正数 X ,使得当 x 满足不等式 x > X 时，对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) − A < ε ,那 么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限 ,记 作 lim f ( x ) = A 或
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3. 极限的性质
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B 推论1 , c , 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理 定理 等价无穷小替换定理) 等价无穷小替换定理 β′ β β′ 设α ~ α′, β ~ β′且lim 存在 则lim = lim . , α′ α α′
9. 极限的唯一性
存在,则极限唯一 则极限唯一. 定理 若lim f ( x)存在 则极限唯一
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义1 义, 定 1 设 数f (x)在 x 0 的 一 域 有 义, 义 函 点 某 邻 内 定 如 果当 自变 量的 增量∆x 趋向于 时,对 的函数 零时 应 , 增 的 量∆y 也 向 零 即 趋 于 ,
∆x→0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0
lim xn = a, 或 xn → a (n → ∞). n→∞ "ε − N"定义 ∀ ε > 0, ∃N > 0, 使n > N时, 恒有 xn − a < ε .
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定义② 定义②
设函数 f ( x ) 在点
x0 的某一去心邻域
ε (不论它多么
内有定义， 内有定义，对于任意给定的正数 小),总存在正数 ),总存在正数
左右极限 两个重要 极限
无穷小的比较 等价无穷小 及其性质
无穷小
lim f ( x) = 0
无穷小 的性质 极限的性质
求极限的常用方法
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1. 极限的定义
定义① 定义① 如果对于任意给定的正数 ε (不论它 多么小),总存在正整数 多么小),总存在正整数 N ,使得对于n > N 时 ), 都成立, 的一切xn ,不等式 xn − a < ε都成立,那末就称 常数 a 是数列xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 的极限, 于 a ,记为
x →∞
f ( x ) → A(当x → ∞ )
"ε − X"定义 lim f ( x ) = A ⇔ x →∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε.
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★另两种情形: 另两种情形
10 . x → +∞ 情形 : lim f ( x ) = A ⇔
夹逼准则) 夹逼准则 末 那 lim f ( x)存 ,且 于A. (夹逼准则 在且 等
x→x0 ( x→∞)
. 则Ⅱ 准 Ⅱ 单调 界数列 则 有 必有 极限
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6. 两个重要极限
(1)
sin x lim =1 x→0 x 1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
x → +∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
2 . x → −∞ 情形 : lim f ( x ) = A ⇔
0
x → −∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x < − X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
lim 定理 : lim f ( x ) = A ⇔ x → +∞ f ( x ) = A且 lim f ( x ) = A. x → −∞ x →∞
记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞
无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.
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x→x0 −0 − ( x→x0 )
右极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当 x 0 < x < x 0 + δ时, 恒有 f ( x ) − A < ε.
记作 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
定理 : lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 − 0) = f ( x 0 + 0) = A.
β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
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β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β 是α是k阶的 α 无穷小.
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二、主要内容
（一）极限的概念 （二）连续的概念
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数列极限
lim xn = a
n→∞ x→∞
函
数
极
x→x0
限
无穷大
lim f ( x) = ∞
lim f ( x) = A
lim f ( x) = A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 唯一性
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2. 无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小 无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
记作 lim f ( x ) = 0 (或 lim f ( x ) = 0).
x → x0 x →∞
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大 无穷大. 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大