函数极限与连续性知识点及典例

x→x0 →
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞
无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
∆x→0
末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
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2. 单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
x → +∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
2 . x → −∞ 情形 : lim f ( x ) = A ⇔
0
x → −∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x < − X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
lim 定理 : lim f ( x ) = A ⇔ x → +∞ f ( x ) = A且 lim f ( x ) = A. x → −∞ x →∞
夹逼准则) 夹逼准则 末 那 lim f ( x)存 ,且 于A. (夹逼准则 在且 等
x→x0 ( x→∞)
. 则Ⅱ 准 Ⅱ 单调 界数列 则 有 必有 极限
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6. 两个重要极限
(1)
sin x lim =1 x→0 x 1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
3. 连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续⇔是函数f ( x)在 x0 处
. 既左连续又右连续
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4. 间断点的定义
函数f ( x )在点x 0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x)在点 0处有定义 x ;
(2) lim f ( x)存在 ;
存在, 但f ( x 0 − 0) ≠ f ( x 0 + 0), 则称点 x 0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
(2)可去间断点 如果f ( x )在点x 0处的极限存在 , 可去间断点
但 lim f ( x ) = A ≠ f ( x 0 ), 或f ( x )在点x 0处无定
x → x0
义则称点 x 0为函数 f ( x )的可去间断点.
lim(1 + x) = e
x→0 1 x
某过程
lim
sinα
α
= 1;
(2)
某过程
lim (1 + α)α = e.
1
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7. 无穷小的比较
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); (α
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
推论2 推论2
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
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4. 求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
δ ,使得当
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A(当x → x 0 )
恒有 f ( x ) − A < ε.
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左极限 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时,
恒有 f ( x ) − A < ε.
记作 lim f ( x) = A 或 f ( x0 − 0) = A.
x 满足不等式 0 < x − x 0 < δ 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足 不等式 f ( x ) − A < ε ,那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → x0 时的极限 ,记作
"ε − δ"定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,
x → x0
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2. 无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小 无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
记作 lim f ( x ) = 0 (或 lim f ( x ) = 0).
x → x0 x →∞
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大 无穷大. 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大
x →∞
f ( x ) → A(当x → ∞ )
"ε − X"定义 lim f ( x ) = A ⇔ x →∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε.
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★另两种情形: 另两种情形
10 . x → +∞ 情形 : lim f ( x ) = A ⇔
lim xn = a, 或 xn → a (n → ∞). n→∞ "ε − N"定义 ∀ ε > 0, ∃N > 0, 使n > N时, 恒有 xn − a < ε .
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定义② 定义②
设函数 f ( x ) 在点
x0 的某一去心邻域
ε (不论它多么
内有定义， 内有定义，对于任意给定的正数 小),总存在正数 ),总存在正数
左右极限 两个重要 极限
无穷小的比较 等价无穷小 及其性质
无穷小
lim f ( x) = 0
无穷小 的性质 极限的性质
求极限的常用方法
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1. 极限的定义
定义① 定义① 如果对于任意给定的正数 ε (不论它 多么小),总存在正整数 多么小),总存在正整数 N ,使得对于n > N 时 ), 都成立, 的一切xn ,不等式 xn − a < ε都成立,那末就称 常数 a 是数列xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 的极限, 于 a ,记为
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5. 判定极限存在的准则
则 ′ 如 当x∈U ( x0 , r)(或x > M )时有 ,有 ∈ 或 时 准 Ⅰ 果
0
(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x), (2) lim g( x) = A, lim h( x) = A,
x→x0 ( x→∞) x→x0 ( x→∞)
连
∆x→0
续
定
义
lim ∆y = 0
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
间断点定义
左右连续
连续的 充要条件
连续 的
连续
第一类 第二类 可 跳 无 振 去 跃 穷 荡 间 间 间 间 断 断 断 断 点 点 点 点
的连续
的连续
连续 的
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1. 连续的定义
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3. 极限的性质
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B 推论1 , c , 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则
x → x0
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定义③ 定义③
设函数 f ( x ) 当 x 大于某一正数时有定
对于任意给定的正数 义，
ε (不论它多么小),总存 不论它多么小), ),总存
在正数 X ,使得当 x 满足不等式 x > X 时，对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) − A < ε ,那 么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限 ,记 作 lim f ( x ) = A 或
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理 定理 等价无穷小替换定理) 等价无穷小替换定理 β′ β β′ 设α ~ α′, β ~ β′且lim 存在 则lim = lim . , α′ α α′
9. 极限的唯一性
存在,则极限唯一 则极限唯一. 定理 若lim f ( x)存在 则极限唯一
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β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
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β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β 是α是k阶的 α 无穷小.
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二、主要内容
（一）极限的概念 （二）连续的概念
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数列极限
lim xn = a
n→∞ x→∞
函
数
极
x→x0
限
无穷大
lim f ( x) = ∞
lim f ( x) = A
lim f ( x) = A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 唯一性
x→x0 −0 − ( x→x0 )
右极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当 x 0 < x < x 0 + δ时, 恒有 f ( x ) − A < ε.
记作 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
定理 : lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 − 0) = f ( x 0 + 0) = A.
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高等数学电子教案
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第一章 函数极限与连续 习 题 课
主要内容 典型例题
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• 一、基本要求
– 1、理解函数的概念、了解函数的性质. – 2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、 存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极 限。 – 3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价 无穷小的运算性质。 – 4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性 质。
义1 义, 定 1 设 数f (x)在 x 0 的 一 域 有 义, 义 函 点 某 邻 内 定 如 果当 自变 量的 增量∆x 趋向于 时,对 的函数 零时 应 , 增 的 量∆y 也 向 零 即 趋 于 ,
∆x→0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0