利用初等函数连续性求极限

d f ( x0 ) dx
例1. 求函数
f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
即 例2. 求函数 解: (C 为常数) 的导数. 的导数.
ln( x h) ln x f ( x h) f ( x ) lim lim h 0 h h 0 h 1 h 1 lim lim h 0 h x h 0 h
即
1 (ln x) x
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
( x ) 例如，
1 ( x 2 )
1 1 1 2 x 2 2 x

(
1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x x
1 x x
1 (ln x) x
(arcsin x)
1 x 1 (arctan x) 1 x2
2
(arccos x)
1
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
四、 导数的几何意义
曲线
若 若 若 若 在点
y
y f ( x)
的切线斜率为 上升; 下降;
运动质点的位置函数 s f (t )
在 t 0时刻的瞬时速度
f (t0 )
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
f ( x0 )
设y= x ,求f (1),f (2)
1. 设
存在 , 则 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x ) lim ________ 0 . h 0 h 则

在
则称此极限值为
处的右 (左) 导数, 记作
( x0 ) ( f f ( x0 ))
定理2.
f ( x 0 ) 存在 f ( x 0 ) 不存在
f ( x0 ) f ( x0 )
例如, f ( x) x 在 x = 0 处有
例：设y=x x ，求f (0).
1 xarctan 例：设f(x)= x 0 x0 x0
来自百度文库
f ( x0 ) f ( x0 h) 2h

lim
h 0
f ( x0 h) f ( x0 ) 2(h)
f ( x0 )
1 1 f ( x0 ) f ( x0 ) 2 2
单侧导数 定义2 . 设函数
在点
的某个右 (左) 邻域内 存在,
有定义, 若极限
3 7 3 ) ( x 4 ) x 4
4
1 1 1 x x 四、初等函数的求导问题 ( x) 2 (e ) e x (P94) 2 x x 1. 常数和基本初等函数的导数 1 (C ) 0 ( x ) x
，求f (0)
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 若函数 则称
在开区间 在闭区间 内可导, 且 上可导. 与 f (b)
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx 注意:
f ( x0 ) f ( x) x x0
而在 时刻的瞬时速度为
o
t0
t
s
f (t ) f (t0 ) v lim t t0 t t0
2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线
y
y f ( x)
N
C
割线 M N 的极限位置 M T
x x0
M
x0
T
o 切线 MT 的斜率=割线MN的斜率的极限
x x

f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
(sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x (a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
(cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x ( e x ) e x
第二章
导数与微分
微积分学的创始人:
英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度
(从微观上研究函数)
第一节
导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t0 )
f (t )
f (t ) f (t0 ) v t t0
2. 已知 3. 设
解:
k0
求
存在, 且
1 f (1 ( x)) f (1) lim 2 x 0 ( x)
所以
4. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
解: 原式 lim
h 0
f ( x0 ) f ( x0 )
瞬时速度
切线斜率 两个问题的共性:
y 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .lim x 0 x
为函数关于自变量的瞬时变化率的问题
二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
y lim x 0 x
在点 处可导, 并称此极限为
存在, 则称函数
在点
y x x0
的导数. 记作: d f ( x) ; f ( x0 ) ; d y ; d x x x0 d x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. y 若 lim , 也称 在 的导数为无穷大 . x 0 x
tan f ( x0 )
曲线过 曲线过
C
M
x0
T
o y
x
切线与 x 轴平行, 切线与 x 轴垂直 .
称为驻点;
o
y
( x0 , y0 )
x0
x
曲线在点
切线方程:
处的
o
x0
x
法线方程:
( f ( x0 ) 0 )