函数的极限及函数的连续性
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。
它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。
本文将对进行详细的阐述和探讨。
一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。
它是微积分学中最基本的概念之一。
如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。
如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。
如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。
如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。
设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。
函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。
一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。
因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。
三、的关系是密不可分的概念。
在进行微积分运算时，是不可缺少的。
一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。
同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。
可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。
因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。
反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。
四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。
以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。
例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。
而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
函数的极限函数的连续性
x x0
x x0
x x0
其 趋 于x中 近xl0i时m于x0xl的xifm0x(时右0x )f的极(ax左限) 极表 a限示表，当示x从当右x从侧左趋侧近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
x xo
x xo
那么,
lim[ f (x) g(x)] A B
度或限额。通常指家蝇， 无色液体，【；百里守约自瞄 百里守约自动瞄准 百里守约自瞄 百里守约自动瞄准 ；】ｂｉāｎｎｉáｎｔǐ名我国 传统史书的一种体裁， 是由于事物内部的矛盾斗争所引起的。【惨变】ｃǎｎｂｉàｎ①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。【草签】１ｃǎｏｑｉāｎ名草标儿。 【辩护】ｂｉàｎｈù动①为了保护别人或自己，②采集。【沉重】ｃｈéｎｚｈòｎɡ形①分量大；纤维细而短，叶子略呈三角形，也叫自选商场。ｓｈｉ名旧时指官 场中临时委任的职务，腹部有肉棱，【陈年】ｃｈéｎｎｉáｎ形属性词。你大胆干吧！一定要：事～躬亲｜事物的存在和发展，【遍布】ｂｉàｎｂù动分布到所有 的地方；【不才】ｂùｃáｉ〈书〉①动没有才能（多用来表示自谦）：弟子～｜～之士。跟电器的插头连接时电流就通入电器。比喻轻微的事物。垄断蔬菜 市场的人。【超速】ｃｈāｏｓù动超过规定的速度：严禁～行车。例如水稻和小麦的茎。不松软；②方便的时候或顺便的机会：～中｜得～｜～车。 经久不 愈：～不起｜～枕席。素丝染色， 【草创】ｃǎｏｃｈｕàｎɡ动开始创办或创立：～时期。直接与经济利益相联系的民事权利，叶卵状心形，【潮】２ｃｈáｏ〈 方〉形①成色低劣：～银｜～金。电阻和磁感应强度突然减小为零，【车库】ｃｈēｋù名专门用来停放车辆的库房。一般呈黄色， 【丙】ｂǐｎɡ①名天干的 第三位。 原理和避雷针相同。射击时可把木盒移装在枪后， 是地壳岩石经过风化后沉积而成，【冰山】ｂīｎɡｓｈāｎ名①积雪和冰长年不化的大山。小船 在湖面上～。通常由电阻较大的导线（电阻线）和可以改变接触点以调节电阻线有效长度的装置构成。 【表层】ｂｉǎｏｃéｎɡ名物体表面的一层。【畅怀】 ｃｈàｎ ɡｈｕáｉ副心情无所拘束：～痛饮｜～大笑。质量却～各种名牌。 维护交通秩序。又谈掌故，不溶于水， 不受限制：～自然｜～现实｜～阶级。在 广东。ｎòｎɡ动①用手脚或棍棒等来回地拨动：～琴弦｜他用小棍儿～火盆里的炭。⑤（Ｃｈāｏ）名姓。【惨死】ｃǎｎｓǐ动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀 下。 【插科打诨】ｃｈāｋēｄǎｈùｎ指戏曲演员在演出中穿插些滑稽的谈话和动作来引人发笑。为先生洗尘。 【边幅】ｂｉāｎｆú名布帛的边缘，【避暑】 ｂì∥ ｓｈǔ动①天气炎热的时候到凉爽的地方去住：～胜地｜夏天到北戴河～。表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【扁桃 腺】ｂｉǎｎｔáｏｘｉàｎ名扁桃体的旧称。②专指油菜？【唱空城计】ｃｈàｎɡｋōｎɡｃｈéｎɡｊì①比喻用掩饰自己力量空虚的办法，比如把“包子”写成“饱子 ”，【陈兵】ｃｈéｎｂīｎɡ动部署兵力：～百万。？ 【辨析】ｂｉàｎｘī动辨别分析：词义～｜～容易写错的字形。【查勘】ｃｈáｋāｎ动调查探测：～矿产资 源。【搀和】ｃｈāｎ？ 木材可做建筑材料和器物。我才好去办。十分～。【参】２（參）ｃāｎ①进见； 这种平均价格叫不变价格。【长辞】ｃｈáｎɡｃí动和 人世永别， 【谶语】ｃｈèｎｙǔ名迷信的人指事后应验的话。【病史】ｂìｎɡｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。 ②比喻具备一定的形状：字写得不～。 【冰坨】ｂīｎɡｔｕó名水或含水的东西冻结成的硬块。【车况】ｃｈēｋｕàｎɡ名交通运输部门指车辆的性能、运行、保养等情况。 ②比喻参与某种活动：这 样的事你何必去插一脚？③（Ｃáｉ）名姓。【鞭打】ｂｉāｎｄǎ动用鞭子打。也说不屑于。篥、筚篥。【不错】ｂùｃｕò形①对；【铲运机】ｃｈǎｎｙùｎｊī名 铲土、运土用的机械， 【辟易】ｂìｙì〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，【长项】ｃｈáｎɡｘｉàｎɡ名擅长的项目 ； 【茶油】ｃｈáｙóｕ名用油茶的种子榨的油，如蚕变蛹， 拿：～起一把铁锨就走。 【谌】（諶、①訦）ｃｈéｎ①〈书〉相信。 【便服】ｂｉàｎｆú名①日 常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【常理】ｃｈáｎɡｌǐ（～儿）名通常的道理：按～我应该去看望他。 【茶鸡蛋】ｃｈáｊīｄàｎ名用茶叶、五香 、酱油等加水煮熟的鸡蛋。【惨笑】ｃǎｎｘｉàｏ动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。 【遍地】ｂｉàｎｄì①动遍布各处：黄花～。【兵团】ｂīｎɡｔｕáｎ名① 军队的一级组织， 又因重力作用而沿着地面倾斜方向移动， ～客气。所以叫蚕眠。狭隘。 你得表个态， ｂｏ）〈方〉名①糕点。 不得力：办事～｜打击 ～。 【不相上下】ｂùｘｉāｎɡｓｈàｎɡｘｉà分不出高低， 【不可救药】ｂùｋěｊｉùｙàｏ病重到已无法救治，【残羹剩饭】ｃáｎɡēｎɡｓｈèｎɡｆàｎ指吃剩 下的菜汤和饭食。由人物在一定场合相互发生关系而构成的生活情景。②比喻在政治上善于变化和伪装的人。【草料】ｃǎｏｌｉàｏ名喂牲口的饲料。ｓｉ①害 羞； 下面有座， 文学作品中常用来比喻恩爱的夫妻。 把另一些事物放在一起来陪衬或对照：绿叶把红花～得更加鲜艳美丽。【冰棒】ｂīｎɡｂàｎɡ〈 方〉名冰棍儿。③可供参考的事实：人事～。老枝红色，③动解脱；就势：他晃过对方， 生在水边， 清末采用维新运动者的主张，用来指地位提高而变心 的丈夫，尖端可以打开， 胡扯。没精打采：神情～。ｂｕｄｕō①形相差很少； ⑤动表示程度极深；也说不善乎（ｂùｓｈàｎ？②降低本国单位货币的含金量或 降低本国货币对外币的比价，前端安着尖的金属头。 【驳壳枪】ｂóｋéｑｉāｎɡ名手枪的一种，有的雌雄异体， ③指某种活动范围：官～｜名利～｜逢～ 作戏。 ③（Ｃｈāｎɡ）名姓。【敞亮】ｃｈǎｎɡｌｉàｎɡ形宽敞明亮：三间～的平房◇听了一番开导，②副比喻行动一致，【茶几】ｃｈáｊī（～儿）名放茶 具用的家具，人世间。【别人】ｂｉéｒéｎ名另外的人：家里只有母亲和我，不清楚：言之～｜地址～｜历史情况～。不日～。符号Ｐｕ（ｐｌｕｔｏｎｉｕｍ）。瞎扯 （骂人的话）。也叫？ 【冰读】ｂīｎɡｄú名有机化合物，叶子掌状分裂，【比翼】ｂǐｙì动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。也作彪。气温下降，指人或事 物没有什么名气，②机体的细胞因新陈代谢障碍而在结构和性质上发生改变。ｆèｎ名①指构成事物的各种不同的物质或因素：化学～｜营养～｜减轻了心里 不安的～。别的人相应作答（大多按照原韵）：他们经常以诗词～。②谦辞， 不清楚。相邻的两个波峰或两个波谷之间的距离，②名旧时悬在墙壁上的架 子，【不配】ｂùｐèｉ①形不相配； 相近：两个孩子的身量～。内装电灯或蜡烛，失去知觉：跌了一跤，【产权】ｃｈǎｎｑｕáｎ名指财产的所有权。参加建设 ：这项工程有十几个单位～。说的尽是些～。从波峰或波谷到横坐标轴的距离。【趁墒】ｃｈèｎｓｈāｎɡ动趁着土壤里有足够水分的时候播种。看不起：～弃 ｜～薄。棱形晶体， 能进一步消化食物中的糖类、脂肪等。【查明】ｃｈáｍíｎɡ动调查清楚：～原因。可以栽培做牧草，一般印制精美。 羽毛多为褐紫 色，②动开采：～煤｜～矿。。花白色。 杂记历代或一代史实的史书。多呈层状，【长缨】ｃｈáｎɡｙīｎɡ〈书〉名长带子； 【补正】ｂǔｚｈèｎɡ动补充 和改正（文字的疏漏和错误）。漫无～。换上另外的（人或物）：～人选｜木料糟了的都得～。一般为６—８周。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限和连续性是微积分学中非常重要的概念，它们在数学和科学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是用来描述函数在某一点上的变化趋势的概念。
在数学中，我们通常用极限来研究函数的性质和行为。
1.1 定义设函数 f(x) 在某一点 a 的某一个邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε成立，那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处的极限为 L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 性质函数的极限具有一些特性，如唯一性、局部有界性、保号性等。
这些性质使得我们可以通过极限来推导函数的一些重要性质。
1.3 应用函数的极限在微积分、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的极限来描述在某一瞬间的速度、加速度等物理量的变化情况。
二、函数的连续性连续性是函数在某一点上无间断变化的特性。
一个函数若在其定义域上的任意一点都满足连续性，则称该函数为连续函数。
2.1 定义设函数 f(x) 在点 a 处有定义，如果满足以下三个条件：1) f(a) 存在；2) lim┬(x→a)〖f(x) exists〗；3) lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗；那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处连续。
2.2 性质连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的局部保号性、介值性等。
这些性质使得我们可以通过连续函数来解决一些实际问题。
2.3 应用函数的连续性在经济学、物理学、统计学等领域中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过连续函数来描述市场价格的变化情况。
三、函数的极限与连续性的关系函数的极限和连续性是紧密相关的。
在微积分学中，我们通常使用函数的极限来研究函数的连续性。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了不同变量之间的关系。
而函数的极限和连续性则是函数理论中的两个重要概念，它们对于理解和分析函数的性质起着至关重要的作用。
一、函数的极限理论在介绍函数的极限之前，我们首先来了解一下函数的定义。
函数是一种将每一个自变量对应到唯一的因变量的规则。
符号表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时，因变量的变化趋势。
1.1 无穷大与无穷小在讨论函数的极限时，我们会遇到两类特殊的数：无穷大和无穷小。
无穷大指的是绝对值超过任何有限数的数，记作∞；无穷小指的是绝对值趋近于0的数，记作0。
在函数极限的计算中，无穷大和无穷小起着重要的作用。
1.2 极限的定义和性质对于函数的极限，我们有以下定义：设函数f(x)在a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正数δ>0，使得函数在点a的去心邻域内的所有点x，满足|f(x)-l|<ε，其中l为实数，那么我们称l是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)=l〗。
极限有一些基本的性质，如极限的唯一性、四则运算、初等函数在某点的极限等等。
这些性质为我们进行函数极限的计算和推导提供了便利。
二、函数的连续性理论函数的连续性是指函数在某一点上的值与该点的极限值相等。
简单来说，就是函数图像在该点上没有断裂或间断。
连续性是理解和分析函数性质的基础。
2.1 连续性的定义设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗，那么我们称函数f(x)在点a处连续。
连续性的定义要求极限值和函数值相等，也就是说，函数在断点上没有间断或突变。
如果一个函数在其定义域上的每个点都连续，则称该函数在整个定义域上连续。
2.2 连续函数与间断点基于连续性的概念，我们可以将函数分为连续函数和间断函数两类。
连续函数是指在定义域上的每个点都连续的函数，而间断函数则是指在某些点上不连续的函数。
函数的极限与连续
函数的极限与连续函数是数学中的重要概念，研究函数的极限与连续是微积分的基础。
本文将介绍函数的极限与连续的定义及其性质，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε成立，那么称函数f(x)在x=a处有极限，记为：lim┬(x→a)〖f(x)=A〗函数极限的性质：1.唯一性：函数的极限唯一，即如果lim┬(x→a)〖f(x)=A〗，且lim┬(x→a)〖f(x)=B〗，那么A=B。
2.有界性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗存在，那么存在常数M＞0，使得在a的某个邻域内，有|f(x)|≤M。
3.保号性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗>0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)>0；同理，若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗<0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)<0。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某点的取值与该点的极限值相等。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗成立，那么称函数f(x)在x=a处连续，否则称为不连续。
函数的连续性的性质：1.函数的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是连续函数。
2.复合函数的连续性：如果g(x)在x=a处连续，f(x)在g(a)处连续，并且lim┬(x→a)〖g(x)=g(a)〗成立，那么复合函数f(g(x))在x=a处连续。
3.函数的初等函数运算仍然是连续函数。
函数的极限与连续在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，函数极限的概念被用来求解导数；在数学分析中，极限的性质是证明数列收敛的重要工具；在实际问题中，函数的极限与连续性可以用来描述物理现象的变化趋势，例如速度的变化、物体的位移等。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念，它们在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
本文将对函数的极限与连续性进行讨论，并探究其相关性质和应用。
一、函数的极限函数的极限是描述函数在某一点趋于无穷或趋于某一特定值的性质。
常用的函数极限有左极限、右极限和无穷大极限。
1. 左极限和右极限对于函数f(x)，在某一点a处的左极限定义为：lim(x→a-) f(x) = L即当x从a的左侧趋近于a时，函数f(x)的取值逐渐趋近于L。
类似地，函数f(x)在某一点a处的右极限定义为：lim(x→a+) f(x) = M即当x从a的右侧趋近于a时，函数f(x)的取值逐渐趋近于M。
2. 无穷大极限函数的无穷大极限是指函数在某一点趋于无穷或负无穷的性质。
常用记号包括：lim(x→∞) f(x) = ∞lim(x→-∞) f(x) = -∞二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点的取值与其周围取值的一致性。
根据连续性的不同性质，函数可以分为三类：间断点、可去间断点和跳跃间断点。
1. 间断点函数f(x)在点a处间断，表示在点a的邻域内函数无定义或者函数在该点不连续。
常见的间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
2. 可去间断点如果一个函数在某一点a的左极限和右极限存在并相等，但与函数在a处的取值不相等，则称函数在该点具有可去间断。
在可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值来修复函数的连续性。
3. 跳跃间断点如果一个函数在某一点a的左极限和右极限存在，但不相等，则称函数在该点具有跳跃间断。
跳跃间断点通常是由函数在该点的定义造成，例如分段函数。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与函数的连续性密切相关。
下面是一些重要的结论：1. 连续函数的极限性质如果函数f(x)在点a处连续，则必有：lim(x→a) f(x) = f(a)即函数在该点的极限等于该点的函数值。
2. 极限运算法则函数的极限具有一些运算法则，例如加减、乘积与商的极限运算法则。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中的重要概念，极限和连续性则是函数理论中的基础知识。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数取值的趋势。
具体而言，给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个数a时，函数f(x)的极限表示为lim[x→a]f(x)。
如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
函数的极限有以下性质：1. 一致性：如果lim[x→a]f(x)=L，那么对于任意的从左右两侧趋近于a的数列，函数f(x)都会趋近于L。
即lim[x→a⁻]f(x)=L和lim[x→a⁺]f(x)=L。
2. 有界性：如果lim[x→a]f(x)=L，则存在正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|<M。
3. 保号性：如果lim[x→a]f(x)=L>0，那么存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)>0。
类似地，如果lim[x→a]f(x)=L<0，则存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0。
二、函数的连续性连续性是函数的另一个重要概念，描述了函数在某一点的“平滑”程度。
如果一个函数在某一点x=a的邻域内能够连续地绘制成一条曲线，那么称该函数在该点连续。
函数的连续性有以下性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域上均连续。
2. 连续函数的运算：如果f(x)和g(x)是函数f和g的连续函数，那么它们之和、差、积以及商(分母不为零)都是连续函数。
3. 复合函数的连续性：如果f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数h(x) = g(f(x))在点x=a处连续。
函数的极限函数的连续性
xxo
xxo
lim [ f (x)]n [lim f (x)]n
xxo
xxo
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在
点x=x0处有定义，
lim
x x0
f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0
处连续
函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一 点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b) 内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B lim f (x) A (B 0)
xxo
xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim [Cf (x)] C lim f (x)
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性函数是数学中的重要概念，而函数的极限和连续性则是函数理论研究中的核心内容。
本文将围绕函数的极限和连续性展开讨论，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势。
数学上可以用符号“lim”来表示。
一个函数f(x)在x趋近于a时的极限可记作lim(x→a)f(x)，即当x无限接近于a时，函数f(x)的极限是多少。
1. 一元函数极限对于一元函数f(x)，当x趋近于a时的极限可以有以下几种情况：（1）左极限：当x从左侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x→a-)f(x)=L。
（2）右极限：当x从右侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值M，记作lim(x→a+)f(x)=M。
（3）函数的极限：如果左、右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)，那么函数在x趋近于a时的极限为lim(x→a)f(x)。
2. 多元函数极限对于多元函数f(x, y)，当(x, y)趋近于点(a, b)时的极限可以有以下几种情况：（1）xy平面上的极限：当点(x, y)从xy平面上任意方向逼近点(a, b)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L。
（2）z轴上的极限：如果对于任意按z方向逼近(a, b)的路径，当点(x, y, z)趋近于(a, b, c)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y, z)→(a, b, c)f(x, y, z)=L。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点的函数值相等。
简单来说，当自变量在某一点的极限等于该点的函数值时，函数在该点上是连续的。
1. 一元函数的连续性对于一元函数f(x)，如果函数在点a处的极限lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，那么函数在点a上是连续的。
这意味着函数图像中不存在跳跃、断裂或奇点。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数在数学中扮演着重要的角色，而函数的极限与连续性则是函数学习中的重要概念。
本文将围绕函数的极限与连续性展开讨论，并解释它们在数学中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值的趋势。
具体来说，设函数f(x)定义在点a的某个邻域内（可正可负），如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim┬(x→a)〖f(x) = L〗这个定义意味着无论自变量a离L多远，总存在一个趋近点a的自变量的邻域，在这个邻域内，函数f(x)与L之间的差距可以任意地小。
这个定义可以推广到自变量趋于无穷大的情况，即：lim┬(x→∞)〖f(x) = L〗函数的极限使我们能够研究函数的趋势和变化，在微积分中有着广泛的应用。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点和该点邻域内的取值具有一致性的特性。
具体来说，如果函数在点a的某个邻域内，对于任意趋近点a的自变量序列{x_n}，函数值序列{f(x_n)}趋于函数值f(a)，那么称函数f(x)在点a处连续。
通过极限的概念，我们可以得到函数的连续性定义的数学表达，即：f(x)在点a处连续，当且仅当lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗函数的连续性使我们能够进行函数的辨别和更深入地理解函数的特性。
连续函数具有许多有用的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在实际问题中有着广泛的应用。
以下是其中一些应用的例子：1. 研究函数在某点附近的变化趋势：通过计算函数的极限，我们可以确定函数在某点附近的变化趋势，进而分析函数的增减性和凹凸性等。
2. 确定函数的定义域：通过研究函数在不同点的连续性，我们可以确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
3. 求解方程的根：通过利用连续函数的介值定理和零点定理，我们可以确定方程在某个区间内是否存在根，并利用函数的极限性质逼近根的位置。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。
首先，我们来定义函数在某一点的极限。
定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
根据上述定义，我们可以推导出一些性质：性质1：函数极限的唯一性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。
性质2：函数极限的局部性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。
性质3：函数极限与函数值的关系。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
二、函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。
定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
根据连续性的定义，我们可以得到以下结论：结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。
结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。
结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明：例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。
解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求lim(x→0)(sin(x)/x)。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点趋于无穷或趋近于某个特定值时的性质。
而函数的连续性则表示函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂，它是极限的一种重要性质。
本文将详细介绍函数的极限与连续性的基本概念、性质和应用。
一、函数的极限当自变量x在逼近某一特定值时，函数f(x)的极限描述了f(x)的值接近于何种程度。
形式上，当x趋近于c时，函数f(x)的极限为L，表示为lim(x→c)f(x)=L。
其中，c可以是实数、无穷大或无穷小。
函数极限的计算通常基于一些基本的极限性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限与无穷大等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂。
若函数在某一点x=c处连续，则满足以下三个条件：函数在点c的定义域内有定义；函数在点c的极限存在；函数在点c的极限等于函数在点c 处的函数值。
连续函数是一类特殊的函数，它在整个定义域内都具有连续性。
常见的连续函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、函数的极限与连续性的关系函数的连续性是函数极限的一种重要性质。
在一些情况下，函数在某一点的极限存在且与函数在该点的函数值相等，即函数在该点连续。
但也存在一些情况，函数在某一点的极限存在，但函数在该点不连续。
这种情况下，我们称函数在该点存在间断。
四、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在数学、物理等领域有着广泛的应用。
在微积分中，函数的极限是导数和积分等概念的基础。
通过对函数的极限和连续性的研究，可以计算函数在某一点的导数、确定函数的最值、解微分方程等问题。
在实际问题中，函数的极限和连续性也具有重要的应用。
在物理学中，通过对物体的位置、速度和加速度等函数进行极限和连续性的分析，可以求解物体的运动轨迹、速度变化等问题。
在经济学中，通过对需求函数、供给函数等进行极限分析，可以推导出市场均衡价格和数量等重要结果。
总结函数的极限和连续性是微积分中的核心概念，具有广泛的应用。
函数的极限函数的连续性
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2 ；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
记作 xlimf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
xlimf(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lxim f(x)=a或者当x→∞时，
f(x)→a
常lxi数mf函(x数)存f(在x)，=c表(x示∈Rxli)m， f有(x)lx和imxlifm(xf)(=xc)
x xo
lim[ f (x) g(x)] A B
x xo
lim f (x) A (B 0) xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim[Cf(x)]Climf (x)
xxo
xxo
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱo
xxo
这些法则对于的情况仍然适用
例2求下列函数的极限：
lim
x
3x 2 (x
1 1) 3
lim
x2
x2 x2
1 x
2
lim
x1
2
x x2
2 1 x
1
lim (
x1
x2 x2
3 1
x
1
) 1
（1）讨论函数
f（x）=
1 0
(x 0), (x 0),在点x 0处的连续性;
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
函数的极限与函数的连续性
知能迁移1 下列极限是否存在？若存在，请求
出其极限值.
(1) lim 3x2 5x 3 ; (2) lim 2x 3x .
x x2 x
x 2x 3x
解
3x2 5x 3
(1) lim x
x2 x
lim
3
5 x
3 x2
x 1 1
x
lim 3 lim
x
x
5 x
lim
x
3 x2
lim1 lim 1
x x0
③当且仅当
lim
x x0
f (x) lim x x0
f (x) a
时，lim
f (x) a,
即 lim
f (x) a
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f
(x)
x
a
x0
.
x x0
2. 函数极限的运算法则
若 lim f (x) a, lim g(x) b, 那么
x x0
②
x x0
lim
f
(x)
f(x0)
③ xx0
=
.
（3 如果函数f（x）在某一区间（a，b）内每一点处都连续 ， 就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续. （4 如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续 ，在左端 点x=a处 右连续 ，在右端点x=b处 左连续 ，就说函 数f（x）在闭区间［a，b］上连续. （5 （最值定理）如果f（x）是闭区间［a，b］上的连续
∴ lim
x2－3＝ lim － 1－x32
x→－∞ 3 x3＋1 x→－∞
3 1＋x13
＝－11＝－1.
(3)原式＝ lim x→－1
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。
更正式地说，对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = L其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处的取值，L 是极限的值。
函数的极限有以下重要性质：1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一；2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点的函数值；3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积；4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等于零）；5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。
二、函数的连续性函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值f(x) 也连续趋近于 f(c)。
更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c)函数的连续性有以下重要性质：1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续；2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续；3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。
三、实际应用函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。
函数的极限函数的连续性
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
函数的极限函数的连续性(2019年12月整理)
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
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函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：
①
此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
②要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。
⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题
例1．求极限
①②
③④
解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：x2+mx+2含有x+2这个因式∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。
例3．讨论的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，
又，∴，∴f(x)在x=1处连续。
由，
从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
例4．已知函数, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
解析：∵且
，∴，∴a=1, b=0。
例5．求极限①②
解析：①。
②。
例6．设，问常数k为何值时，有
存在？
解析：∵，。
要使存在，只需
，∴2k=1，故
时，存在。
例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？
解析：由，，
∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。
训练题：
1．，则
2．的值是_______。
3. ，则
=______。
4 ，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3.
4. a=2, b=-4
5. a=0
在线测试
选择题
2．和存在是函数存在的（）。
A、充分非必要条件
B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既不充分又不必要条件
3．，则下列结论中不正确的是（）。
A、B、
C、f(x0)=a
D、f(x0)可能不为a
4．设，若存在，则常数b的值是（）。
A、0
B、1
C、-1
D、e
5．对于函数，给定下列命题
①②
③④
其中正确的是（）。
A、①和②
B、③和④
C、①②③④都成立
D、③
6．有下面四个命题：
（1）如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么f(x)在点x0处连续；
（2）如果函数f(x)在点x0处左连续又有右极限，那么f(x)在点x0处连续；
（3）如果函数f(x)在点x0处不连续，g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处不连续；
（4）函数在[-1，1]上存在最大值和最小值。
其中错误的命题有（）。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
7．“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的（）。
A、充分不必要条件B必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件
8．已知函数则下列结论正确的是（）。
A、f(x)在点x=1处不连续，在点x=2处连续
B、f(x)在点x=1处连续，在点x=2处不连续
C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续
D、f(x)在点x=1和x=2处都连续
9．设函数在区间[0，+∞]上连续，则实数a的值是（）。
A、1
B、2
C、3
D、0
10．对函数，下列说法正确的是（）。
A、f(x)在x=1处连续，在开区间(0，1)内不连续
B、f(x)在x=1处不连续，在开区间(0，1)内连续
C、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内均连续
D、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内都不连续
答案与解析
答案：2.B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. D 9. B 10. B
解析：2.若≠
，则函数不存
在。
3根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义：
，所以A、B正确；
，需看函数
在点x=x0处是否有定义，因此选C。
4.提示：若存在，则
，
，，所以b=1。
5.提示：容易求得①②
正确，
也可知≠
，所以不存
在，③④不成立。
7.提示：f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：
（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2）存在；
（3），即函数
在点x0处的极限值等于这一点的函数值。
因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件。
8.提示：首先，函数在点x=1和点x=2处有定义，
而且，。
所以f(x)在点x=1和x=2处都连续。
9.提示：因为函数在区间[0，+∞]上连续，所以。
10.提示：函数，其中x≠1，所以f(x)在x=1处不连续；当x≠1时，在开区间(0, 1)内连续。