函数的极限及函数的连续性

函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：

①

此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。

②要掌握常见的几种函数式变形求极限。

③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。

⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题

例1．求极限

①②

③④

解析：①。

②。

③。④。

例2．已知，求m,n。

解：x2+mx+2含有x+2这个因式∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。

例3．讨论的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，

又，∴，∴f(x)在x=1处连续。

由，

从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。

例4．已知函数, (a,b为常数)。

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。

解析：∵且

，∴，∴a=1, b=0。

例5．求极限①②

解析：①。

②。

例6．设，问常数k为何值时，有

存在？

解析：∵，

。

要使存在，只需

，∴2k=1，故

时，存在。

例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？

解析：由，，

∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。

训练题：

1．，则

2．的值是_______。

3. ，则

=______。4 ，2a+b=0，求a与b的值。

5．已知，求a的值。

参考答案：1. 3 2. 3.

4. a=2, b=-4

5. a=0

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选择题

2．和存在是函数存在的（）。

A、充分非必要条件

B、必要非充分条件

C、充要条件

D、既不充分又不必要条件

3．，则下列结论中不正确的是（）。

A、B、

C、f(x0)=a

D、f(x0)可能不为a

4．设，若存在，则常数b的值是（）。

A、0

B、1

C、-1

D、e

5．对于函数，给定下列命题

①②

③④

其中正确的是（）。

A、①和②

B、③和④

C、①②③④都成立

D、③

6．有下面四个命题：

（1）如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么f(x)在点x0处连续；

（2）如果函数f(x)在点x0处左连续又有右极限，那么f(x)在点x0处连续；

（3）如果函数f(x)在点x0处不连续，g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处不连续；

（4）函数在[-1，1]上存在最大值和最小值。

其中错误的命题有（）。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

7．“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的（）。

A、充分不必要条件B必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

8．已知函数则下列结论正确的是（）。

A、f(x)在点x=1处不连续，在点x=2处连续

B、f(x)在点x=1处连续，在点x=2处不连续

C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续

D、f(x)在点x=1和x=2处都连续

9．设函数在区间[0，+∞]上连续，则实数a的值是（）。

A、1

B、2

C、3

D、0

10．对函数，下列说法正确的是（）。

A、f(x)在x=1处连续，在开区间(0，1)内不连续

B、f(x)在x=1处不连续，在开区间(0，1)内连续

C、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内均连续

D、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内都不连续

答案与解析

答案：2.B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. D 9. B 10. B

解析：2.若≠

，则函数不存

在。

3根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义：

，所以A、B正确；

，需看函数

在点x=x0处是否有定义，因此选C。

4.提示：若存在，则

，

，，所以b=1。

5.提示：容易求得①②

正确，

也可知≠

，所以不存

在，③④不成立。

7.提示：f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：

（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2）存在；

（3），即函数

在点x0处的极限值等于这一点的函数值。

因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件。

8.提示：首先，函数在点x=1和点x=2处有定义，

而且，。所以f(x)在点x=1和x=2处都连续。

9.提示：因为函数在区间[0，+∞]上连续，所以

。

10.提示：函数，其中x≠1，所以f(x)在x=1处不连续；当x≠1时，在开区间(0, 1)内连续。