1数列与函数极限
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。
本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论，并阐述它们之间的关系。
一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个元素称为项，用{a_n}表示。
数列有着重要的性质，其中之一就是数列的极限。
数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n = A，表示当n趋向于无穷大时，数列的项a_n无限接近于A。
其中，A称为数列的极限值。
一个数列有极限存在，意味着数列的项在某个值上趋于稳定。
通过数列的极限，我们可以推导数列的性质和规律，从而解决各种数学问题。
二、函数极限函数是数学中常见的一种概念，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
函数极限在微积分中有着重要的应用，是求导、求积分等运算的基础。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在，记作lim(x→a)f(x) = A。
其中，A称为函数的极限值。
函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现，从而解决各种数学问题。
三、数列极限与函数极限是密不可分的。
事实上，数列极限是函数极限的一种特殊情况。
对于一个数列{a_n}，我们可以构造一个函数f(x)，使得当x取整数时，f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。
换句话说，数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。
当数列{a_n}的极限存在时，函数f(x)在整数点处的极限也存在，并且两者的极限值相等。
即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。
这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。
通过函数的极限性质，我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。
数列极限与函数极限的区别与联系
数列极限与函数极限的区别与联系在数学中，极限是一个非常基础的概念，而数列极限和函数极限则是极限的两种形式。
数列极限和函数极限都是极限的具体表现形式，但是它们之间还是存在很多的区别和联系。
本文将从数列极限和函数极限的定义、性质、求解方法等方面，分析数列极限和函数极限之间的区别和联系。
一、数列极限和函数极限的定义1. 数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列中的每个项都趋向于某个固定的数。
数列极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{n to infty} a_n = a$$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a$ 表示数列的极限。
2. 函数极限的定义函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个固定的数。
函数极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{x to x_0} f(x) = A$$其中，$f(x)$ 表示函数的值，$x$ 表示自变量，$x_0$ 表示自变量的趋向值，$A$ 表示函数的极限。
二、数列极限和函数极限的性质1. 数列极限和函数极限的唯一性数列极限和函数极限都具有唯一性。
即数列和函数只有一个极限值。
2. 数列极限和函数极限的保号性对于数列极限和函数极限，如果它们的极限值是正数，那么它们的项或函数值都可以取到正数。
如果它们的极限值是负数，那么它们的项或函数值都可以取到负数。
3. 数列极限和函数极限的夹逼定理夹逼定理是数列极限和函数极限中的一个重要定理。
它可以用来求解一些难以直接求解的极限。
夹逼定理的表述如下：设数列 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 满足 $a_n leq b_n leq c_n$，且 $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = A$，则 $lim_{n to infty} b_n = A$。
三、数列极限和函数极限的求解方法1. 数列极限的求解方法数列极限的求解方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。
d2_1数列的极限与函数的极限
充分大的程度
“ε - M 语言 ”定 义 ∀ε > 0 , ∃M > 0 , 当| x |> M 时， 恒有 | f ( x ) − A |< ε 成立， lim f ( x ) = A 成立， 则
x →∞
几何解释
| x |> M ⇔ x < − M , x > M
| f ( x ) − A |< ε ⇔ A − ε < f ( x ) < A + ε
极限。 数列 {xn } 以A为极限。 成立, 成立, 则称当 n → ∞ 时 ，
{x 收敛于数 或称数列 {xn } 收敛于数 A
记作: 记作: lim xn = A ,
n→ ∞
否则,称数列是发散的. 否则,称数列是发散的 发散
或 xn → A (n →∞).
" ε − N " 定义：
成立, 恒有 xn − A < ε 成立, ∀ε > 0, ∃N 自然数）当 n > N 时， , （自然数） 则 lim xn = A n→ ∞
20
提高题目 例3 设
1 x1 = 2 , L , xn = 1 + , xn −1
(n ≥ 2) ，求 lim xn n →∞
21
三、函数的极限
1、当 x → ∞ 时,函数f ( x ) 当 函数 限 的极
−∞
0
1
+∞
注意： 注意：
x→∞
x → +∞
x → −∞
22
1、
时函数 f (x)的极限 x →∞
{ }
1 2 3 4 5 n ,L 例如, 例如,数列 ( 1 ). , , , , ,L , 2 3 4 5 6 n+1 1 3 5 2k − 1 , , ,L , ,L 取奇数项: 取奇数项: 2 4 2k 6 2 4 6 2k , , ,L , ,L 取偶数项: 取偶数项: 3 5 7 2k + 1
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限是微积分中非常重要的概念，它们都涉及到数值序列的趋势和趋近性。
数列极限是指数列中的数值随着序号的增长逐渐趋近于某个常数，而函数极限则是指随着自变量趋近于某个值时函数的取值趋近于某个特定的值。
首先，我们来看数列极限。
数列极限是指当数列的序号趋近无穷大时，数列的数值趋近于某个常数。
数列极限可以表示为lim(n→∞)an = a，其中an表示数列中的第n个数，a为极限值。
当数列满足数列收敛条件时，即存在这样一个常数a使得对于任意给定的正数ε，总能找到一个正整数N，使得当n>N时，有|an - a|<ε成立。
这意味着数列中的数值可以无限靠近极限值a，同时数列中的任意一项an与极限值a的差值都可以任意小。
函数极限是指当自变量趋近某个值时，函数的取值趋近于某个特定的值。
函数极限可以表示为lim(x→x0) f(x) = L，其中f(x)表示函数的取值，x0为自变量的极限值，L表示函数值的极限。
当函数满足函数收敛条件时，即存在一个数L，使得对于任意给定的正数ε，总能找到一个正数δ，当0<|x - x0|<δ时，有|f(x) - L|<ε成立。
这意味着函数的取值可以无限靠近极限值L，同时函数值与极限值L的差值都可以任意小。
数列极限和函数极限之间存在一定的关系。
在一些特定的情况下，可以通过数列极限来判断函数极限的存在或计算函数极限的值。
对于一些函数，可以通过将自变量x用数列的方式去逼近某个值来计算函数的极限值。
例如，若函数f(x)的极限值lim(x→x0)f(x)存在，那么对于任意数列an满足lim(n→∞)an = x0，可以得到li m(n→∞)f(an) = lim(x→x0)f(x)。
这意味着通过将自变量x用数列an代替并使其趋近于x0，可以得到函数极限的值。
这种方法被称为数列极限方法，常用于计算函数极限的值。
另外，对于数列极限也可以通过函数极限来进行计算。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系
一、两者之间的联系
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。
在极限论中海涅定理处于重要地位。
有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
二、两者之间的区别
1、从研究的对象看区别：数列极限是函数极限的一种特殊情况，数列是离散型函数。
而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。
2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。
函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。
3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近。
而函数没有跳跃趋近，函数极限的几种趋近形式：x趋于正无穷大；x 趋于负无穷大；x趋于无穷大；x 左趋近于x0；x右趋近于x0 ; x趋近于x0，并且是连续增大。
而函数极限只是n趋于正无穷大一种，而且是离散的增大。
扩展资料：
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
第四节数列的极限与函数的极限
lim f ( x ) A.
定义4 如果当 | x | 无限增大时， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于无穷 大时的极限，记作
lim f ( x) A.
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x x
x
定义5 如果当 x 无限接近 于 x0 时（x0 除外），恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时 的极限，记作
x x0
lim f ( x) A.
定义6 如果当 x 从 x0 的右 侧无限接近于 x0 时（x0 除外）， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时
例2
Байду номын сангаас
解 当 x 1 时， x 2 3.从而 3
x 1
lim(3x 2 x 1) 3.
§4 数列与函数的极限 一 数列的极限 数列定义 按照某一规则，
n N ，对应一个确 对于每一个
定的实数 un ，这些实数 un 按照 下标 n 从小到大排列得到的一 个序列 u1, u2 ,, un , 称为数列， 记为 {un } 。
下面我们观察两个数列： 1 1 2 3 1 u n 1 : 0, , , , ,1 , n 2 3 4 n
的右极限，记作
x x0
lim f ( x) A.
定义7 如果当 x 从 x0 的左 侧无限接近于 x0 时（x0 除外）， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时 的左极限，记作
数列极限与函数极限
例 5 计算 lim sin 2 x . x→0 → 解 令 u = 2x , 则函数 y = sin 2 x 可视为由
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散 发散的 如果一个数列没有极限 就称该数列是发散的. 常读作: 趋于无穷大时, 注: 记号xn → a( n → ∞ ) 常读作 当 n 趋于无穷大时
xn 趋于 a .
下列各数列是否收敛, 若收敛, 例1 下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出 其收敛于何值. 其收敛于何值
数列的极限 按 一定次序排列的无穷多个数
x1 , x2 ,L, xn ,L
称为无穷数列, 简称数列 数列. 称为无穷数列 简称数列 可简记为{xn }. 其中的每 个数称为数列的项, xn 称为通项 一般项 称为通项 一般项). 通项(一般项 个数称为数列的项 数列可看作数轴上一个动点, 注: (1) 数列可看作数轴上一个动点 它在数轴上 依次取值
lim f ( x ) = A 或 f ( x ) → A)( x → x0 ). x→ x
0
试根据定义说明下列结论: 例5 试根据定义说明下列结论:
(1) x→ x x = x0 ; lim
0
( 2) x→ x C = C (C为常数 ). lim
0
显然, 解 (1) 当自变量 x 趋于 x0 时, 显然, 函数 y = x 也趋于 x0 , 故
n +1
} 无休止地反复
取1、 1 两个数, 而不会无限接近于任何一个确 − 两个数,
定的常数, 故该数列是发散的; 定的常数, 故该数列是发散的; (4) 数列 n − 1 即为
n 1 , 2 , 3 ,L , n − 1 ,L 0, 2 3 4 n 易见, 易见, 当 n 无限增大时, n − 1 无限接近于 1 , 无限增大时, n 故该数列收敛于 1 .
高考数学函数的极限1
2.3 函数的极限
课堂小结
本节学习了当 x 分别趋向于 + ∞, - ∞,∞时，函数
f ( x )中 f(x)的极限，以及常数函数的极限，并且注意 lim x
的∞和数列极限 lim a中的∞不同意义，以概念为依据， n
n
结合函数图象，学会求一些函数的极限。
常用的函数的极限
1 1. lim 0 x x 2. lim C C
； .au/ 悉尼驾照翻译
也有
lim f ( x) C
x
2.3 函数的极限
自变量x的变化趋势 x取正值并且无限增大 x取负值并且绝对值无限增大 x 取正值并且无限增大， x 取 负值并且绝对值无限增大
f ( x ) 值的变 化趋势 f ( x ) 无限趋
近于常数a f ( x ) 无限趋 近于常数a
极限表示
x
lim a n 0
n
lim an a
n
3、数列与函数的关系： 数列可以看作是定义在正整数集上的一种特殊函数。
1 观察函数y 的图象, 当x 时的变化趋势。 x
无论x+ 或x-
1 函数y 的值无限趋近于0. x
1 即 当x 时， 0. x
2.3 函数的极限
2.3 函数的极限
如果 lim f ( x ) a且 lim f ( x ) a 那就是说当x 趋向于 x x 无穷大时，函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a 也可记作: 当 x 时，f ( x ) a
x
对于常数函数
f ( x) C ( x R)
f ( x ) 的值保持为1．即 lim f ( x ) 1; 解：当 x 时， x
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
数列极限与函数极限的异同及其本质原因
数列极限与函数极限的异同及其本质原因数列极限与函数极限的异同及其本质原因数学中，极限是一个非常重要的概念，被应用在微积分、实分析等诸多领域，且有着不同的表现方式：数列极限和函数极限。
在学习过程中，我们不仅要了解数列极限和函数极限的异同，还要了解它们的本质原因。
一、数列极限与函数极限的异同数列极限和函数极限都是在无限趋近于某一值的过程中进行研究的，并且它们在一定程度上具有一些相似性，但是它们也有很多的区别。
1.定义数列极限：如果数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$当$n$趋近于无穷的时候逐步趋近于某个确定的常数$A$，则称常数$A$为数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$的极限，记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。
函数极限：如果当$x$无限趋近于某个确定值$x_0(x_0\in R)$ 的过程中，函数$f(x)$的取值{臶}次逐步趋向一个确定的常数$A$，则称常数$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的极限，记为$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$。
在定义上，数列极限只考虑数列，而函数极限包含了更多的复杂性，因为函数可以属于不同的类型，数列只有一种。
2.表达式数列极限的表达式只包含$n$和$a_n$两个元素，形式上来说比函数极限简单，也容易理解。
函数极限的表达式不仅包含自变量$x$和函数$f(x)$，还要包括函数定义域中的其他变量，通常也需要一些不等式和符号。
“当$x\rightarrow x_0$时$f(x)\rightarrow A$”或者是“当$x\rightarrow x_0^+$时$f(x)\rightarrow A$，当$x\rightarrowx_0^-$时$f(x)\rightarrow B$”等等。
因此，函数极限的表达式更多元化，更丰富复杂。
3.图形表达数列极限用数列图简单直观地表现，当$n$趋近于无穷时，$a_n$逐渐趋向于某个数值$A$。
函数极限和数列极限的关系
函数极限和数列极限的关系在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它是数学分析中的基础，涉及到许多重要的定理和推论。
而函数极限和数列极限是极限中的两个重要分支。
虽然它们有着不同的定义和性质，但是它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将从函数极限和数列极限的定义、性质和联系三个方面来探讨它们之间的关系。
一、函数极限和数列极限的定义函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的极限存在，且唯一。
也就是说，如果函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，那么当x趋近于x0时，f(x)的极限存在，且唯一。
数列极限是指当数列的项数n趋近于无穷大时，数列的极限存在，且唯一。
也就是说，如果数列{an}有极限L，那么当n趋近于无穷大时，an的值趋近于L。
二、函数极限和数列极限的性质函数极限和数列极限都有着一些基本的性质。
首先，它们都是唯一的。
其次，它们都有着保号性和夹逼定理。
保号性指的是，如果函数或数列的极限存在且大于0（或小于0），那么它们的邻域内的函数值或数列项都大于0（或小于0）；夹逼定理指的是，如果函数或数列的极限存在且在某个邻域内，那么存在两个函数或数列，一个上界和一个下界，它们的极限都等于该函数或数列的极限。
三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限之间有着密切的联系和关系。
首先，函数极限可以用数列极限来表示。
例如，如果函数f(x)在x0的邻域内有定义，那么当x趋近于x0时，可以构造一个数列{an}，其中an=f(x)，那么当n趋近于无穷大时，an的极限就是f(x)的极限。
其次，函数极限和数列极限都有着相同的代数运算法则，例如加法、减法、乘法和除法等，这些运算法则可以用于计算极限。
最后，函数极限和数列极限都有着相同的应用领域，例如微积分、数学分析和物理学等，它们都是这些领域中的基础概念。
结论函数极限和数列极限是极限中的两个重要分支，它们之间存在着密切的联系和关系。
函数极限可以用数列极限来表示，它们都有着相同的代数运算法则，它们都有着相同的应用领域。
数列极限与函数极限
数列极限与函数极限数学中，极限是一个重要的概念，常常出现在数列和函数的研究中。
数列极限和函数极限都是描述数值序列或函数在某个变量趋近于某个特定值时的变化规律。
本文将分别介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并举例说明其应用。
一、数列极限数列极限是指当数列的项随着序号无限增加时，数列的值逐渐趋近于一个确定的常数。
数列极限可以通过极限值的存在与否来判断。
设数列${a_n}$中的项为$a_1, a_2, a_3, \ldots$，若存在常数$A$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式$|a_n-A|<\varepsilon$成立，那么称$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。
对于数列极限，有以下常用性质：1. 极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限是唯一的，即极限存在时，极限值是确定的。
2. 夹逼准则：若数列${a_n}$，${b_n}$和${c_n}$满足$a_n\leqb_n\leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\lim\limits_{n \to \infty}c_n=A$，那么$\lim\limits_{n \to \infty} b_n=A$。
这一性质可以帮助我们通过构造夹逼数列来求解某些复杂数列的极限。
3. 有界性：若数列${a_n}$的极限存在，则数列${a_n}$是有界的。
即存在正数$M$，使得对于任意的$n$，都有$|a_n|\leq M$。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值逐渐趋近于一个常数。
与数列极限类似，函数极限也可以用极限值的存在与否来判断。
设函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的取值逐渐趋近于$A$，那么称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim\limits_{x \to a} f(x)=A$。
数列极限与函数极限的异同
数列极限与函数极限的异同数列极限与函数极限是数学中两个最常见的概念，它们都是研究数学中的极限问题。
不同之处在于，数列极限是对一个递增的数列进行考察，而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。
下面我们将详细探讨数列极限与函数极限的异同。
一、数列极限与函数极限的定义数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列呈现出的一种稳定状态，即数列最终的趋势。
用符号表示就是lim(x→+∞)a_n=a，其中a_n是数列的第n项，a是一个常数，当n趋向于无穷大时，数列a_n趋向于a。
函数极限则是指当自变量趋近某一特定值时，函数在该点处的极限值。
用符号表示就是lim(x→a)f(x)=L，其中f(x)是函数，a是极限点，L是极限值。
当自变量x无限接近极限点a时，函数f(x)也无限接近于L。
二、数列极限与函数极限的相同点数列极限与函数极限都是研究极限的概念，其本质是一致的。
数列极限与函数极限都是研究极限的趋向性问题，即研究随着自变量越来越接近极限时函数或数列呈现出的最终趋势。
它们都涉及到极限值的存在性和唯一性，即当极限存在时，极限值是唯一的。
三、数列极限与函数极限的不同点数列极限与函数极限的主要差别在于它们所研究的对象不同。
数列极限是对一个递增的数列进行考察，而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。
数列的性质只与下标有关，而函数的性质则与自变量的取值有关。
另外，数列的项难以直观地进行观察，而函数的图像能够更加形象地表示函数的性质。
因此，数列极限的研究往往是从一个数学公式开始进行研究，而函数极限的研究则可以通过函数的图像一目了然地探究函数的性质。
四、数列极限与函数极限的联系虽然数列极限与函数极限的研究对象不同，但它们之间也存在联系。
事实上，数列极限是函数极限的一种特例。
可以将数列看成是区间上的特殊函数，而数列极限可以看成是函数在正无穷时的极限。
因此，可以将函数极限的基本定义拓展至数列极限。
同时，在研究数列极限和函数极限时，我们都需要考虑到极限点的存在性和唯一性、趋势性等问题。
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
e
1 z
说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
z 0
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例6. 求 解: 令 t x , 则
t t lim (1 1 ) t
lim
1
t
说明 ：若利用 lim (1 (1x ) ) ( x ) e , 则
( x )
) lim f ( xn ) lim f ( xn
n
(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
Page 16
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 2. lim x sin ____ ; 1 x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 n e ; 4. lim (1 ) ____ n n
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x 0
2 x 2 2
Page 8
例2. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例3. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
法2 找两个趋于
n
, 使 的不同数列 xn 及 xn
n
Page 4
) lim f ( xn ) lim f ( xn
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2
数列极限和函数极限
数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义1．1 数列极限定义设有数列{}n a 与常数A ，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-< 都成立，那么就称常数A 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=.读作“当趋n 于无穷大时，n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在，称数列{}n a 为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的N ε-定义，着重注意以下几点：（1）ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小，表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度，然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N .（2）N 的相应性: 一般说，N 随的ε变小而变大，由此常把N 写作()N ε，来强调N 是依赖与的ε，但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的，重要的是N 的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.（3）几何意义:对于任何一个以A 为中心，ε为半径的开区间(),A A εε-+，总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{}n a 的有限项（N 项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1．2 函数极限定义1.2.1 x →+∞时函数的极限：设函数()f x 为[),a +∞上的函数，A 为定数，若对任给的0ε>，总存在着正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞=.即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞→-∞==的相应的M ε语言成立.对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .（2）当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域；定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.1.2.2 0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0;Ux δ︒内有定义，A 为定数，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=.即()000lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()0lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的εδ语言成立.对于函数极限的εδ定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数δ,相当于数列极限N ε定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈，而不等式()f x A ε-<等价于()();f x U A ε∈.于是，εδ定义又可写成：任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0;;f Ux U A δε⊂.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带，使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点()()0,x f x 可能例外（或无意义）.2.极限性质2．1 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. （2）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列.（3）若数列{}n a 有极限，则其任一子列{}n a 也有极限.（4）保号性，即若()lim 00n n a a →∞=><，则对任何()()()''0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ，n 1N 时,()''n n a a a a ><.（5）保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ，使得当n1N 时有n n a b ，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设lim ,lim n n n n x y →∞→∞存在,则()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n x y x y x y x y x x y y y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅=≠≤≤2．2函数极限性质（1）极限唯一性；若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若()0lim x x f x →存在，则()f x 在0x 的某空心邻域()U x ︒内是有界的，当0x 趋于无穷大时，亦成立. （3）局部保号性若()()0lim 00x x f x A →=><，则对任何正数()r A A <<-,存在()0U x ︒使得对一切()0x U x ︒∈有()()()00f x r f x r >><<，当趋于无穷大时，亦成立.（4）保不等式性若()0lim x x f x A →=，()0lim x x g x B →=，且在某邻域()'0;Ux δ内有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设()()lim ,lim x ax af xg x →→存在,则()()()()()()()()()()()()()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim x a x ax ax ax ax ax a x a x ax af xg x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→±=±⋅=⋅=≠通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}sup n a a =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性，当n N >时有N n a a a ε-<≤。
函数极限与数列极限的关系
数列极限与函数极限课程目标知识提要数列极限与函数极限∙数列极限设为实数数列，为常数．若对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，有，则称数列收敛于，常数称为数列的极限．并记作或读作“ 当趋于无穷大时，的极限等于”．若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列．对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性：定理1：如果数列收敛，则其极限是唯一的；定理2：如果数列收敛，则其一定是有界的，即对于一切，总可以找到一个正数，使得．∙函数极限函数极限可以分成三种．设函数在点的某一去心邻域，即内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作设为定义在上的函数，为常数．若对于任意给定的正数，存在正数，使得当时，有，则称函数当趋于正无穷时以为极限，记作或与此类似．精选例题数列极限与函数极限1. 设无穷等比数列的公比为，若，则．【答案】【分析】易知，且，所以，即．2. ．【答案】3. 如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形，当时，这些三角形的面积之和的极限为．【答案】【分析】4. 计算：．【答案】5. ．【答案】6. ，则常数．【答案】7. ．【答案】8. ．【答案】9. ．【答案】10. ．【答案】11. 有一列正方体，棱长组成以为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则．【答案】12. 若函数在处连续，则，．【答案】；13. = ．【答案】14. 设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则．【答案】【分析】．由题意，得是与轴正方向的夹角，从而．运用裂项相消法，得．15. 设等差数列的前项和为，若，则【答案】【分析】故，所以，．16. ．【答案】17. 计算．【答案】18. (1)若，则常数．(2) ．【答案】；19. 已知无穷等比数列的各项和为，则首项的取值范围是．【答案】20. 已知函数在处连续，则实数的值为．【答案】21. 设函数在处连续，求的值．【解】而，所以22. 已知，求的值．【解】解法一：∵，∴为方程的根．∴．又，∴．∴．解法二：∴．同上可得．23. 在数列中，若，是正整数，且，则称为“绝对差数列”．(1)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"（只要求写出前十项）；【解】，，，，，，，，，．（答案不唯一）(2)若“绝对差数列” 中，，，试求出通项；【解】因为在绝对差数列中，，，所以该数列是，，，，，，，，．即自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，，所以(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【解】根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下：假设中没有零项，由于，所以对于任意的，都有，从而当时，；当时，；即的值要么比至少小，要么比至少小．令．则．由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与矛盾，从而必有零项．若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，，即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项．24. 已知数列的通项公式为，求的值．【解】因为所以25. 已知数列中，为其前项的和，求的值．【解】26. 已知数列，其中，，．记数列的前项和为，数列的前项和为．(1)求；【解】由题意，得是首项为、公差为的等差数列，则其前项和从而因此(2)设，，（其中为的导函数），计算．【解】由（1），得则从而因此27. 已知等差数列的前三项为，，，前项和为，且．(1)求及的值；【解】数列是首项为，公差为的等差数列．即、的值分别为、．(2)求的值．【解】28. 已知数列的前项和，数列满足，，记数列的前项和为．(1)证明：为等比数列；【解】因为数列的前项和，所以．因为时，，也适合上式，所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．(2)求；【解】当时，，将其变形为，即．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以．所以．因为，所以．两式相减得．整理得．(3)设，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．【解】由，得．于是化为（i）当是正奇数时，式可化为，显然，大于，且随着正奇数的增大而减小．由于式对任意正奇数恒成立，所以．（ii）当是正偶数时，式可化为，显然，随着正偶数的增大而减小．由于式对任意正偶数恒成立，所以．综上，实数的取值范围．29. 设函数，其中，已知对一切，有和，求证：．【解】由于则所以由于故有．30. 已知公比为的无穷等比数列各项的和为，无穷等比数列各项的和为．(1)求数列的首项和公比；【解】依题意可知，(2)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前项之和；【解】由（1）知，，所以数列的的首项为，公差，，即数列的前项之和为．(3)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零．（注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限）【解】所以令因为所以故当时，当时，，所以当时，存在且不等于零．31. 已知在轴上有一点列：，，，，，，点分有向线段所成的比为，其中，为常数，，．(1)设，求数列的通项公式；【解】由题意得，又，，又，数列是首项为、公比为的等比数列，．(2)设，当变化时，求的取值范围．【解】因为．，．当时，．32. 已知函数数列满足．(1)求数列的通项公式；【解】，所以所以所以将这个式子相加，得，，所以(2)设轴，直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；【解】为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，，高为，所以(3)在集合且中，是否存在正整数，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数；若不存在，请说明理由．【解】设满足条件的正整数存在，则又，均满足条件．它们构成首项为，公差为的等差数列．设共有个满足条件的正整数，则解得中满足条件的正整数存在，共有个，所以(4)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．【解】设，即则显然，其极限存在，并且注：（c为非零常数），等都能使存在．33. 已知，且，函数．(1)求函数的定义域，并判断的单调性；【解】由题意知，当时，的定义域是当时，的定义域是因为由此，当时，，因为，，则所以在上是减函数．当时，，因为，，则所以在上是减函数．(2)若，求；【解】因为所以由函数定义域知，因为是正整数，则，所以(3)当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．【解】由，所以令，即由题意应有，即①当时，有实根在点左右两侧均有，故无极值．②当时，有两个实根当变化时，、的变化情况如下表所示：极大值极小值所以的极大值为的极小值为③当时, 在定义域内有一个实根同上可得的极大值为综上所述，当时的极大值为，的极小值为；当时，的极大值为．34. 已知是直角坐标系平面到自身的一个映射，点在映射下的象为点，记作．设，，，，，如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆．特别地，当时，则称点为映射下的不动点．若点在映射下的象为点．(1)求映射下不动点的坐标；【解】设不动点的坐标为，由题意，得解得所以此映射下不动点为．(2)若的坐标为，求证：点存在一个半径为的收敛圆．【解】由，得所以因为，，所以，，所以由等比数列定义，得数列是公比为，首项为的等比数列，所以则同理，．所以．设，则因为，所以，所以故所有的点都在以为圆心，为半径的圆内，即点存在一个半径为的收敛圆．35. 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且．(1)求；【解】因为对任意，都有，所以．，．(2)证明是周期函数；【解】依题设关于直线对称，故，即又由是偶函数知，．将上式中以代换，得这表明是上的周期函数，且是它的一个周期．(3)记，求．【解】由（1）知，，．的一个周期是，因此．．36. 已知点，，…，（为正整数）都在函数的图象上，其中是以为首项，为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；【解】，，，（定值），数列是等比数列．(2)设数列的前项的和为，求；【解】是等比数列，且公比，，．当时，；当时，．因此，．(3)设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【解】，，设，当最大时，则，解得，，时，取得最大值，因此的面积存在最大值为．37. 如图，已知中，，，，在内有一系列正方形，求所有这些正方形面积之和．【解】设正方形、、的边长分别为，，，．由相似三角形的知识可得，．同理，可得是以为首项，以为公比的等比数列．设是第个正方形的面积，则是以为首项，为公比的等比数列．即所有这些正方形面积之和为．38. 已知数列是等差数列，公差为，，． (1)用表示；【解】因为数列是公差为的等差数列，所以去分母，得由，得(2)若，且，求的值；【解】当时，这与已知矛盾，所以，当时，综上，．(3)在（2）的条件下，求数列的前项和．【解】当，由已知，得解得令则两式相减，得从而而因此，数列的前项和39. 讨论函数在处的左极限、右极限以及在处的极限．【解】函数的图象如图所示：当时，函数无限接近于即当时，函数无限接近于即综上，可知．函数在处极限不存在．40. 已知，数列满足，，．(1)已知数列极限存在且大于零，求（将用表示）；【解】由存在，且对两边取极限得解得又，所以(2)设，，证明：；【解】由，，得所以即对都成立．(3)若对都成立，求的取值范围．【解】令，根据（1）（2）得解得现证明当时，对都成立．（i）当时结论成立（已验证）．（ii）假设当时结论成立，即那么则只须证明即证对成立．由于而当时，所以从而即故当时，即时结论成立．根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立．故对都成立的的取值范围为课后练习1. 无限循环小数可以化为有理数，如，，，，请你归纳出（表示成最简分数，且，）．2. 计算：．3. 已知，则，．4. 已知函数是连续函数，则实数的值是．5. 计算：．6. 若，则．7. ．8. ．9. 计算：．10. 若展开式的第三项为，则．11. 已知函数是连续函数，则实数的值是．12. 等差数列的前项的和为，前项的和为，则其首项为，若数列的前项的和为，则．13. 已知在定义域上可导，导函数为，若，，则．（用，表示）．14. 已知定义在正实数集上的连续函数，则实数的值为．15. ．16. ．17. \(\lim\limits \limits_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}\right)=\) ．18. ．19. 等比数列，其前项和为，则．20. 计算．21. 已知数列的前项和．(1)求；(2)证明：．22. 函数定义在上，满足且，在每个区间上，的图象都是平行于轴的直线的一部分．(1)求及的值，并归纳出的表达式；(2)设直线轴及的图象围成的矩形的面积为，求，及的值．23. 已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数，为非零常数．(1)令，证明数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)当时，求24. 已知．(1)当时，求数列的前项和；(2)求．数列极限与函数极限-出门考姓名成绩1. 若，则常数．2. 的值等于．3. 设等差数列的公差是，前项的和为，则．4. 的值等于．5. 极限．6. 各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为．若，则，若，则．7. 设常数，展开式中的系数为，则，．8. 设是展开式中的系数，则= ．9. ．10. 设函数在处连续，则实数的值为．11. 若，则，．12. ．13. 等比数列，，，，所有项的和为．14. 若，则实数．15. 已知函数，若在上连续，则．此时．16. 已知点，和点，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，，使之满足，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，，使之满足．依次下去，得到，，，，，则．17. 在二项式的展开式中，含项的系数记为，则的值为．18. 若的展开式中各项系数的和是，的二项式系数和为，则．19. 已知数列的前项和，则．20. 已知点，其中为正整数．设表示外接圆的面积，则．。
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定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
(n N)
yn
b, 且若正整数N ,
当n N时,有xn yn ,则必有a b.
证: 反设 a<b, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 ( N)时,
有 xn< yn. 此与条件矛盾，故 a b .
子列
所谓数列{xn} 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右 排成一个新的数列， 这个数列称为{xn}的子列.
1
n
3n
2 3
n
1
3
第二节函数的极限
类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对
应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定
的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。
对于数列极限 lim 1 0 n n
lim 1 0 x x
lim 1 0 x x
注：由定理5，若{ xn } 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则{xn}发散；
或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.
例,
xn
1
(1) n 2
,
0, 1, 0, 1, 发散.
例,
xn
sin
n
2
, 1,
0,
1,
0,
1,
0,
1,
0,
发散.
若
lim
很自然地
故 lim 1 0 x x
又如：当 x 1时，x 1 2 ，记作
lim(x 1) 2
x1
相似地 lim(x2 1) 1 x0
自变量趋于无穷大时函数的极限
如果 x 无限增加(记作x )
y
AA
时，函数值 f (x)可以无限逼近
A
常数A,则称常数A是函数f (x)在
X
x<-X
0<|x - x 0 |<
0<x - x 0 < (即 x 0 <x < x 0 +)
- <x - x 0 < 0 (即 x 0 - <x < x 0)
18/25
y
考虑符号函数
1
o
x
-1
现在考虑 x 从左右两个方向趋于0时 f (x) 的极限 从右边趋于0
右极限
从左边趋于0
不为零，但无限接近零
刘徽割圆术
割之弥细，所失弥少，割之又割，以 致于不可割，则与圆周合体而无所失矣
数列的概念
数列 就是指按自然数编了号的一列数
a1, a2 , a3 , an ,
记为 {an }, 其中 an 称为该数列的通项。
几个数列的例子:
2n
2，4，8，... , 2n ，... ,
n
n
1
1n1
1, 2, 3, 234
,n, , n 1
1, 1, 1, , (1)n1 ,
引例：考察数列an，an
1
(1)n1 n 1
n 1, 2,
3, 2, 5, 4, 7, 6, 234567
n 10
30
39
50
99
1000
…
an 0.9000 0.96775 1.02500 0.98040 1.01000 0.99901 …
x
lim f (x) A 0, M 0, x M时, f (x) A <
x
从图像容易看出结果
0
0
所以
观察 y = arctan x 的图像
lim arctan x 不存在
x
y y=1/x
o
x
y
y=arctan x
o x
a 1
考虑函数 f (x) = ax , 分 a>1,, 0<a<1两种情形下，
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a , )
(n N)
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例如,
1 2
1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
分别求 x → +∞, x →－∞， x →∞时 f (x)的极限。
0 a 1
y
y
o
x
o
x
所以，a 1或0 a 1时， lim ax 都不存在。 x
自变量趋于有限值时函数的极限
即
度量 f (x) 与 A的接近程度 度量 x 与 a 的接近程度
注意事项： （1）定义中 x→a的过程中, x≠a 成立。
1
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特别
给定
1 100
,
由
1 n
1 100
,
只要
n
100时,
有
xn
1 1 , 100
给定 1 ,
1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 ,
10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1。 10000
注意: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给
比如，x2, x5, x14, , x78, 就是{xn}的一个子列
子列中第一项记作xn1 , 第二项记作xn2 ,, 第 k 项 记作xnk , 子列记作{xnk }
上列中n1=2, n2=5, n3=14等.
定理5.
lim
n
xn
a 的充要条件是 {xn}的任何子列
都收敛,且都以 a 为极限.
(2) lim
1
n
n
(3) lim( n 1 n) lim
1
0
n
n n 1 n
(4) lim 0.99 99 1 n n个
(2)n1 3n1 (5) lim
n (2)n 3n
lim
3n1
2 3
n1
1
右极限 right-hand limit
x 仅从 a 的右侧趋于a ， 记作
xa
a
或 f (a 0) A , f( a )
函数f (x)当x a时极限存在
左极限与右极限都存在,并且相等
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x
（2） x a 0 x a 0
（3）极限值 lim f (x) 与函数值 f (a) 无关。 xa
几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
o a a a
x
9/25
左极限与右极限
左极限 left-hand limit
x 仅从 a 的左侧趋于a ， 记作
xa
a
或 f (a 0) A , f ( a )
设 f (x)是定义域为D 的基本初等函数，对x0 D，有
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
若函数f (x)是定义在区间I上的初等函数，对x0 I
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化 为该点函数值的计算。
无穷 小
如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）
定理4(局部保序性) 若存在>0, 使当0<|xx0|< 时,
lim f ( x ) a, lim g( x ) b, 则 a b(或a b).
xx0
xx0
定理5(局部有界性)
如果 lim f (x) 存在，则函数 f (x)在点 a 的某个去心邻域内有界。 xa
初等函数的极限性质
an 1 0.10000 0.03225 0.02500 0.01960 0.01000 0.00099 …
当 n 越来越大时，an 1 越来越小，而且不管先指定一个多么小的
正数 （ 如 0.0001)，一定可以找到数列的某一项aN (如N 1000), 使得 对aN后面的每一项an 都有 an 1 , 我们就说数列an以1为极限。
左极限
左右极限不相等
例题
x 1 x 0
f
(x)
0
x0
x 1 x 0
lim(x 1) 1
x0
lim f (x)
x0
y
o
x
lim f (x)不存在
x0
设函数
f (x)
x2
x 0 在 x 0 时的极限存在，求 a.