力法的基本概念

q
q 基本结构 基本体系 X
2．基本结构的形式不唯一。 一般地，基本结构和多余未知力同时产生。选取时，应使计 算简单为前提。
三、力法原理
基本假设：弹性小变形
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构，先取一个基本体系,然后让基本 体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样，把 超静定结构化为静定结构计算。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件）。
定义：
q MP图 X1=1
M 1图
X2=1
M 2图
9）弯矩图的作法
M M M X M X P 1 1 2 2
10）把上述过程总结如下的简洁步骤： *确定超静定次数 *选取基本体系
*作MP图，M 1 图及 M 2 图，求出
*写力法方程
, , , , ,
11 12 21 22 1 P 2 P
2m
2m
解：1）两次超静定结构
2）选取基本体系 X2 P
X1
3）作 M 图， M 图， M 图 P 1 2
8 kN MP
X1=1
M1
1 1
X2=1
M
2
1
1P 0 ，பைடு நூலகம் 2 P
1 1 PL 1 PL 2 L EI 2 4 2 16EI
， 12 21
L 6 EI
示例1eiei基本体系x是未知的在基本体系中b端是自由的若要保持原结构与基本体系等价必须满足b端的竖向位移为零的条件即在p与x共同作用下基本结构静定的在b处的竖向位移为零这个条件称为位移协调条件问题根据线弹性体系的叠加原理基本结构在p和x的共同作用下的位移等于它们分别作用在基本结构上时的位移之和bxbp则根据线弹性体系的特征x作用下的结构内力与变形与x1作用下的结构内力与变形有由位移协调条件b处的竖向位移为零即bxbpeipleibpeipl此即支座b的约束反力其余支座反力可随之求出称为力法方程小结综上所述在用力法求所给超静定结构时所作的弯矩图最基本的有两个m图与m图
1 1 2 L 11 L 1 EI 2 3 3EI
， 22
L EI
4）解力法方程
X X 0 11 1 12 2 1 P X X 0 21 1 22 2 2 P
4） X1单独作用，X2单独作用，q 单独作用下结构的变形 X1
A截面有转角 B截面有转角
X2
B截面有转角
A截面有转角
B截面有转角
q
A截面转角为零
5）位移协调条件的描述
A B B C
原结构在A截面的转角为零的条件 要求X1，X2，q单独作用下在A截面产生转角的叠加为零 原结构在B截面的相对转角为零的条件
B截面有转角
A截面也有转角，为零
q
P=1
P=1
7）各位移的记法
X1=1 A截面有转角 11
11 X1作用下，在A、B截面产生的转角分别记为：
B截面有相对转角 21
21
X2=1
B截面有相对转角 22
A截面有转角 12
12 X2作用下，在A、B截面产生的转角分别记为：
22
7）各位移的记法
5. 解力法方程 4 kNm
X=1
X 0 1 P
1 解得： X ，方向向左 2
6. 依叠加法作出弯矩图
M M M X P
4 kNm M P图
2 kNm 4 kNm
X=1
M图 M图
练习：作出下列结构的弯矩图
2m 6 kN/m
4m
6m
解：1. 选取基本体系与多余未知力
此即支座B的约束反力，其余支座反力可随之求出
4. 内力图的做法
P X P
=
MP
+
MX
X
基本体系
P
M M M P X
式中， M M X X
原结构
M 为 X 1 时的弯矩图
5. 小结 综上所述，在用力法求所给超静定结构时，所作的 弯矩图最基本的有两个，MP图与M图。分别表示： *基本结构仅在荷载作用下的弯矩图; *仅多余未知力等于1时的弯矩图。
3、做X=1 下基本结构的弯矩图 4、求出方程系数，解力法方程
EI 2
3 EI 3 EI 1 1 3 32 1 4 16 4 16 4 4 1 P EI EI 4 E 3
1 1 2 1 25 4 4 4 4 4 4 11
64 22 3EI 128 2P EI
4)求解力法方程
X X 0 11 1 12 2 1 P X X 0 21 1 22 2 2 P
22 9 ,X 解得： X 1 2 7 7
M M X M X 5）作弯矩图 M P 1 1 2 2
q=2 kN/m
X B EI=常数 A 基本体系
2. 作出MP图
4 kNm
3. 作出M图
X=1 4 kNm
BH 0
4. 求出力法方程的系数
1 1 2 128 4 4 4 2 1 EI 2 3 3 EI
4 kNm
1 2 64 4 4 2 P EI 3 EI 3
X 0 11 1 P
15 X 3 .75 kN 4
5、做出弯矩图 16
4
X=1
MP 1
M
M M M X P
3.5
四、2次超静定结构的力法原理
示例2 q
EI=常数
A 解： B L L
C
1. 结构为2次超静定结构，要去掉2个约束变为静定结构
2. 选取基本体系如下
X1
X2
B截面有相对转角 2 P q
A截面有转角 1 P 荷载q作用下，在A、B截面产生的转角分别记为： 1P 2 P
8）位移协调条件的公式表达
原结构在A截面的转角为零的条件 要求X1，X2，q单独作用下在A截面产生转角的叠加为零
X X 0
11 1 12 2 1 P
P B X
P
B
=
+
X
0 BP BX
* 荷载作用下的结构内力与变形
P B P B
BP
B/
MP * X作用下的结构内力与变形
BX
X X
MX
* 力X未知，对应的内力与变形也未知
如果令力X=1，
1
X=1
X=1
M
* 则根据线弹性体系的特征，X作用下的结构内力 与变形与X=1作用下的结构内力与变形有
示例1
P
A
EI EI C L
B
L
P
X 基本结构 基本体系
解：1.该结构为一次超静定结构，
平面上3个平衡方程不能求解4个支座反力 2. 求解思路
注意到原结构在荷载作用下的内力和变形是唯一确定的，特 别地，支座反力也是确定的。
示例1
A P EI C EI B P
L
X
L
基本体系
如果设 X 是支座反力，则原结构的内力与变形就与基本体系 （其结构是静定的）在荷载P和支座反力X共同作用下的内力 与变形等价。 这样，原超静定结构的计算就转化为静定结构的计算。
示例1
B P L
P
EI
EI
B X
C 问题
L X是未知的
基本体系
在基本体系中，B端是自由的，若要保持原结构与基本体系 等价，必须满足B端的竖向位移为零的条件 即，在P与X共同作用下，基本结构（静定的）在B处的 竖向位移为零----这个条件称为位移协调条件
B 0
3. 实现方法 * 根据线弹性体系的叠加原理，基本结构在P 和X的共同作用下的位移等于它们分别作用在 基本结构上时的位移之和，
M M X X
BX 1X
* 由位移协调条件 B处的竖向位移为零，即
0 BP BX
或
X 0 1 BP
1
X=1 P B
BP
B/
* 位移协调条件中系数的求法
1
X=1
X=1
P=1
M
3 1 1 2 L 4 L L L L L L 1 EI 2 3 EI 3
力法的基本概念
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何 特征: 静力 特征:
无多余约束的几何 不变体系。 仅由静力平衡方程就能 求出所有内力和反力.
有多余约束的几何 不变体系。 仅由静力平衡方程不能求出 所有内力和反力.
2．超静定的次数
超静定结构中的多余约束数目就是超静定的次数 超静定的次数的确定：去掉多余约束使超静定结构成为静 定结构，所去掉的多余约束数目，就是超静定次数。
2m 6 kN/m 4m
6m
X
基本体系
2. 作出MP图
12 96
108
MP
3. 作出 M 图
4 X=1
4
M图
4. 求出力法方程的系数
160 1440 , 1 P 3 EI EI
12 108
96
MP 4 4 X=1
5. 解力法方程
X 0 1 P
解得： X 9 ，方向向左
M图
6. 依叠加法作出弯矩图
12 72
60
M图，单位：kNm
基本步骤：
1、取基本结构
2、做荷载作用下基本结构的弯矩图
3、做X=1 下基本结构的弯矩图
4、求出方程系数，解力法方程----位移协调条件
5、做出弯矩图
练习
2 kN/m
2、做基本结构在荷载作用下
的弯矩图
16
4 X=1
4m
4m
作弯矩图，EI=常数 1、取基本结构
要求X1，X2，q单独作用下在B截面产生相对转角的叠加 为零
6）位移的求法
X1
(X1 作用下A截面转角和B截面的相对转角）
B截面有转角
A截面有转角
X1=1
P=1
P=1
6）位移的求法
(X2 作用下A截面转角和B截面的相对转角）
X2 B截面有转角
A截面有转角
X2=1
P=1
P=1
6）位移的求法
(q作用下A截面转角和B截面的相对转角） q
P
B
P
B
BP
B/
MP
P=1
3 1 1 PL L PL L BP EI 2 EI 2
* 带入位移协调条件
X 0 1 BP
即，
----称为力法方程
3 3 4 L PL X 0 3 EI 2 EI
解得：
3P X 8
X X 0 11 1 12 2 1 P X X 0 21 1 22 2 2 P
*依叠加法作出弯矩图。
M M M X M X P 1 1 2 2
例题
8 kN
解：1）确定超静定次数---2次
2）选取基本体系
EI= 常数
4m
8 kN X2
2m
2m
X1
图， M 图， M 图 3）作 M P 1 2 8 kN 16
4
X1=1 MP X2=1
1 1 2 256 4 4 4 4 4 4 11 EI 2 3 EI 3
M1
M
4
2
32 12 21 EI 928 1P 3EI
原结构在B截面的相对转角为零的条件 要求X1，X2，q单独作用下在B截面产生相对转角的叠加为零
X X 0
21 1 22 2 2 P
X X 0 11 1 12 2 1 P X X 0 21 1 22 2 2 P
9）弯矩图的作法
q
q EI=常数 A B L X2 L q C
X1
3. 基本思路
1）结构在荷载作用下，A、B处的弯矩是唯一确定的，
设为X1和X2
2）原结构的受力可等价基本结构在X1和X2及荷载q共同
产生的。
3）基本体系的受力可看作基本结构在： X1单独作用， X2单独作用，q 单独作用 下的叠加。
X1
+
X2
+
q
P X=1 MP
M
MP图与M图图乘表示荷载P作用下在B端产生的竖向位移， M图自己与自己图乘表示多余未知力X=1时在B端产生的 竖向位移。
*
X 0 1 BP
求出X后，依
M M M X作出弯矩图 P
q=2 kN/m B
例题：
EI=常数
A
4m
4m
解：1.找出基本体系 与多余未知力
16
8 kN
4 X1=1
M1
X2=1
MP
4
M
2
16
B A MP 24/7
8 kN
4 X1=1
M1
X2=1
4
M
2
MA=16-4×22/7-4×(-9/7) = -12/7(右侧受拉) MBA=16-4×22/7+0
= 24/7(左侧受拉)
12/7 M图，单位：KNm
练习
EI=常数
P
L=4m
2m
2m
X
等价形式
③去掉一个约束，成为简支梁
注意
不能随便去掉某个约束，去掉约束后必须 保证结构几何不变
例题2
例题2
例题2
不可以
例题3
练习：按上述去掉约束的办法，判定下列结构 的超静定次数。
解答
练习：按上述去掉约束的办法，判定下列结构 的超静定次数
解答
二、力法的基本未知量和基本体系 1．超静定结构经过去掉多余约束后，变为静定结构，这个静 定结构称为力法的基本结构。 去掉的多余约束所对应的约束力，称为力法的基本未知量。 基本结构、荷载与多余未知力合称基本体系。
去掉约束的形式
*切断链杆（或支杆）是去掉了一个约束；
X
*拆开一个铰（或固定铰支座）是去掉了两个约束，
X2
X1
*切断刚结点（或固定支座）是去掉了三个约束
X3 X1 X2
*刚结点变为铰结点，是去掉了一个约束；
X
3.去掉约束法判断超静定次数举例
例题1 ①去掉一个约束，成为简支梁
M M ②去掉一个约束，成为悬臂梁