切线的证明技巧
切线的证明方法
切线的证明方法如下：
1、用判定定理，这是证明切线最多见的方法，也就是如果直线和圆之间有交点，连接交点和圆心，得出半径，只要证明这条半径和这条直线是垂直的就行了。
2、当不确定直线和圆的交点个数或是交点所处的位置的时候，能够通过圆心作出直线的垂线，然后证明从圆心到直线的距离和圆的半径相等就行了。
在几何中，切线是指一条刚好碰触到曲线上某个点的直线。
当切线经过曲线上的某个点，也就是切点的时候，切线的方向和曲线上这个点的方向一样。
在平面几何里面，把和圆只有一个公共交点的直线称作圆的切线。
在高等数学中，对一个函数而言，假设函数的某个地方有导数，那么这里的导数就是经过这里的切线的斜率，这个点和斜率所构成的直线就是这个函数的一个切线。
切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过这个切点的圆的半径，经过圆的半径的不是圆心的一端，而且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线的判定定理是：一条直线如果和一个圆有交点，而且连接交点和圆心的直线和这条直线是垂直的关系，那么这条直线就是圆的切线。
切线的证明
中考切线分析证明切线的方法：1.（已知一条切线证明另一条也是切线）通用的方法是三角形全等如果这两条切线相等可以运用两个等腰三角形进行证明，此种方法为等量代换法。
2.（已知中弦长和半径相等或者根据条件可以找到特殊角）通用的方法就是将要证明的角分为两部分去寻找特殊角的度数，然后证明相加为90°3.（已知角之间的相等关系）通用的方法就是在已知条件中寻找直角三角形，将角之间的相等关系转移到要证明的位置，进而得出90°这是切线证明中的三种类型，具体哪种要根据已知条件具体分析。
学会运用上面几种方法，切忌随便乱找关系导致题的分析思路不到位。
步骤方面需注意：经过半径的外端并且垂直与半径的直线是圆的切线。
因此写过程的时候最终要说明谁是半径，要证明的线与半径垂直。
切线中求长度的方法：（1）勾股定理。
直接由线段长度运用勾股定理和间接设未知数的方式运用勾股定理。
在圆中经常体现在垂径定理的运用中。
（2）相似三角形。
可以已知两条线段或三条线段就能求长度。
已知两条线段是在两个三角形有公共的一条边（不是对应边）的情况下，或者类似摄影定理的模型下就用到相似三角形。
（3）锐角三角函数。
已知中有角之间的相等关系，并且此角能够转移到直角三角形中才能运用。
备注：锐角三角函数和相似可以通用的情况是在直角三角形中，锐角三角函数更不容易出错，建议用三角函数去解决问题。
有时候在解决切线的题时，以上方法综合运用才能将问题解决。
切线的证明(09石景山一模)1．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =，OB AC 21=． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若︒=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．(09西城一摸)2．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O 的半径等于4，4tan 3ACB ∠=，求CD 的长.（09昌平一摸） 3．如图，点A B F 、、在O 上，30AFB ∠=︒，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC AD ⊥于C ，60CBD ∠=︒，连接AB . （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若6AB =，求阴影部分的面积.A第19题AA4．（本小题满分5分）如图，以等腰ABC∆中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE AC⊥，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60BAC∠=，求DE的长．（09房山一摸）5、（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，90ACB∠=，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．（1）求证:AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12.求EFAC的值.（09门头沟一摸）6．（本小题满分5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD 平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径ABO·ADC B7．（本小题满分5分）如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝32，求EF 的长．（09顺义一摸）8、 已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若120ACP ∠=︒，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．（09东城一摸）9．已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长．（09怀柔一摸） 10．（本小题满分5分）如图，ΔABC 中，AC=BC ，以BC 上一点O 为圆心、OB 为半径作⊙O 交AB 于点D ，已知经过点D 的⊙O 切线恰好经过点C ．（1）试判断CD 与AC 的位置关系，并证明；（2）若ΔACB ∽ΔCDB ，且AC=3，求圆心O 到直线AB 的距离．AAB CD PE ．O （第21题）DCE CB11．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是AB 边的中点，且∠BAC +∠DCB=90°. 试判断△ABC 的形状并证明.（09延庆一摸）12.（本题满分5分）在Rt △ABC 中，∠C=90， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;（2）联结EF ，求EFAC的值.（09密云一摸）13．（本小题满分5分）如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于E ，DA 平分∠BDE .（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若30,1,DBC DE cm ∠=︒=求BD 的长.（09平谷一摸）14. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点 于D ，DE AC ⊥，E 是垂足. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果AB=5,tan ∠B=21,求CE 的长.A （第19题）A15．如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长.（09通州二模）16. 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．(1)求证：CD 是⊙O的切线； (2)若AB =，求BC 的长．（09房山二模）17．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A . （1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.（09大兴二模）18．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于P ，设AP a PB b ==，．（1）求弦CD 的长；（2）如果10a b +=，求ab 的最大值，并求出此时a b ，的值．（09东城二模）19. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．A BADA20．如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．（1）若︒=∠30CPA ，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小．（09昌平二模） 21．如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值；（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.（09门头沟二模）22. （本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．（09延庆二模）23. 点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． ⑴求证：BD 是⊙O 的切线．⑵若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝32，求△ACF 的面积．第19题（第19题）24. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.（09崇文二模）25．如图， AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE AM 的长．（09西城二模）26．如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为BC 上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．A27．如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径．(08丰台一摸)28．已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE平分边BC ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）当ABC △满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？请说明理由．（08大兴二模） 29．（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.（08朝阳一摸）30．（本小题满分5分）已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4，CD=E 在AB 的延长线上，且tan 3E =. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为△O D E '''．求当点E '与点C 重合时，△O D E '''与⊙O 重合部分的面积．30．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 为弦，点P 为 上一点，AB=10，AC ∶BC=3∶4． （1）当点P 与点C 关于直线AB 对称时（如图①），求PC 的长； （2）当点P 为 的中点时（如图②），求PC 的长． 解：（1） （2）（08石景山一摸） 31．（本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ， （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAE =60°,⊙O 的半径为5，求DE 的长．（08顺义一摸）32．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE =3,⊙O 的半径为5，求BF 的长.（第19题）ACBACA（08延庆二模）33. （本题满分6分）已知:如图6，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD 的一腰BC 为直径做⊙O ，交底AB 于E ，且恰与另一腰AD 相切于Ｍ； （1）求证：△EOM 为等腰直角三角形；（2）求AEBE 的值.（08昌平二模） 34. 如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．（08崇文一摸）35．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =动点O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结CD ．（1）若点D 为AB 边的中点（如图2），请你判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长.BA(08大兴一摸)36．（本小题满分5分）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BECE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由.第18题图 （08东城二模）37. 如图，已知等边△ABC ，以边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E 。
证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法方法一：利用圆的性质和向量的知识证明。
首先，根据圆的性质可知，圆心到切点的线段与切线垂直。
设圆心为O，切点为A，切线为l，则OA垂直于l。
又因为向量OA与向量l的内积为0，即OA·l=0，所以向量OA与l互相垂直。
又因为圆心到切点的线段与切线垂直，所以向量OA与切线方向相同。
因此，切线的方向可以表示为向量l=λOA，其中λ为常数。
再根据圆的性质可知，向量OA与圆的半径向量R的夹角为90度，即OA·R=0。
因此，向量l=λOA与向量R的内积也为0，即l·R=0。
这就证明了切线与圆的半径向量垂直。
方法二：利用微积分的知识证明。
首先，设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
假设切线的斜率为k，则切线的方程为y=kx+c，其中c为常数。
为了使切线与圆相切，需要满足两个条件：一是切线经过圆上的某个点，即(x-a)+(y-b)=r；二是切线与圆的半径向量垂直，即切线的斜率为-k=-(x-a)/(y-b)。
将这两个条件代入切线方程y=kx+c中，得到(x-a)+(kx+c-b)=r，且k=-(x-a)/(y-b)。
将k代入上式，整理得到(x-a)+(c-b)/(1+k)=r。
由于切点坐标(x,y)满足(x-a)+(y-b)=r，因此有(x-a)+(c-b)/(1+k)=(x-a)+(y-b)，即(c-b)/(1+k)=(y-b)。
将k带入上式，有c-b=±r/√(1+k)。
因此，切线的方程可以表示为y=±r/√(1+k)x+(b-c)/√(1+k)，即y=±(r/√(1+k))x+(b-c)/√(1+k)。
这就证明了切线的方程。
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证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
专题 切线证明的常用方法
7．(2018·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD ⊥CD，垂足为 D，连接 BC，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．
l
dr l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的
B
直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
45°
O
有半径，证垂直
45°
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
5．(2018·内江改编)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，
过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连接 DE.判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由．
解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，OE 为△ABC 的中位线．∴BE＝CE，∴DE＝BE ＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线
3.(2018·阿坝州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点
D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)直线 DE 与⊙O 相切， 理由如下： 连接 OD，∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA. ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB. ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠ODA＋∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝180°－90°＝90°， ∴直线 DE 与⊙O 相切
证切线记住口诀
记住口诀证切线学习了直线与圆的位置关系，经常遇到判断一条直线是圆的切线的题目,那么如何判断一条直线是圆的切线呢？记住下列口诀，问题便迎刃而解了。
口诀一、见半径，证垂直已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.例1、如图1，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ，且BAC D ∠=∠.求证：AD 是半圆O 的切线.分析：要证明AD 是⊙O 的切线，因为AB 是⊙O 的直径，所以只要证明AB ⊥AD 即可.证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵OD ∥BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒,∴90DOA BAC ∠+∠=︒，∵BAC D ∠=∠,∴90DOA D ∠+∠=︒，∴AD OA ⊥，∴AD 是半圆O 的切线.口诀二、连半径，证垂直条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，例2、如图2，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．求证：直线DE 是⊙O 的切线．分析：由已知条件可知点D 在⊙O 上，因此要证DE 是⊙O 的切线，只需连结OD ，看OD 与DE 是否垂直即可.证明：如图，连结OD 、BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°, ∴BD ⊥AC,∵AB=BC ，∴AD=DC ，∵OA=OB ，∴OD ∥BC,∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ，∴直线DE 是⊙O 的切线.口诀三、作垂直，证半径 已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明， 例3、如图3，两个同心圆，弦AB 、CD 相等，AB 切小圆于点E ，那么CD 是小圆的切线图1 E D A O C F D C B A O 图2吗？为什么？分析：已知条件中没有告诉直线CD与小圆O有公共点，由圆心O 向直线CD作垂直OF，若能证明OF与半径OE相等，则可说明CD是小圆的切线.解：CD是小圆的切线.理由如下：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为点F，因为AB切小圆于点E，所以OE⊥AB，在大圆中，因为AB=CD，所以OF=OE，所以CD是小圆的切线.FEDCBAO图3。
切线的判定定理的证明过程
切线的判定定理的证明过程要证明一个直线与一个函数图像的切线，可以使用切线的判定定理。
切线的判定定理：设函数f(x)在点x=a处可导，则直线y=f(a)+f'(a)(x-a)是函数图像y=f(x)在点x=a处的切线。
证明过程如下：1. 首先，我们假设函数f(x)在点x=a处可导。
2. 接下来，我们考虑直线y=f(a)+f'(a)(x-a)。
我们知道这条直线通过点(x=a, y=f(a))，即代入x=a得到y=f(a)。
这表明该直线与函数图像y=f(x)在点x=a处相交。
3. 然后，我们考虑直线y=f(a)+f'(a)(x-a)的斜率。
根据导数的定义，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)是函数图像在该点的切线的斜率。
因此，直线y=f(a)+f'(a)(x-a)与函数图像y=f(x)在点x=a处的切线的斜率一致。
4. 最后，我们证明直线y=f(a)+f'(a)(x-a)与函数图像y=f(x)在点x=a处相切。
我们可以取函数f(x)在点x=a处的极限值，即lim(n->∞)(f(a+n)-f(a)) / (n-a)。
由于f(x)在点x=a处可导，这个极限值存在。
然后我们考虑直线y=f(a)+f'(a)(x-a)在该点的极限值，即lim(n->∞) (f(a)+f'(a)(a+n-a)) = lim(n->∞) (f(a)+f'(a)n) = ∞。
因此，这条直线在点x=a处是函数图像的一个切线。
综上所述，直线y=f(a)+f'(a)(x-a)是函数图像y=f(x)在点x=a处的切线。
切线的证明方法和技巧
切线的证明方法和技巧切线的证明方法和技巧主要有以下几种:1. 基本几何证明方法:利用平行、同位角、内外角、角度相等、线段长度相等等基本几何定理,证明切线与被切圆弧的公共角为60度,进而证明切线与被切圆弧切于点。
2. 利用余弦定理证明切线:利用余弦定理,将圆周角转化为角度,进而证明切线与被切圆弧切于点。
具体步骤为:设切点为A,被切圆弧为AB,切线为CD,则有:CD · AB = CA · AB + CS · CA,其中 CS 为切点到圆弧中心的连线与圆弧的夹角。
将圆周角转化为角度,则有:CD · AB = |CA| · (180° / 2) - CS · CA = 180° / 2 - CS · (CA / |CA|)化简得:CD · AB = CS |AB| - CS · AB = CS (AB / |AB|) - CS = CS / |AB| = (CD / |CD|) · AB因此,CD · AB · ||CD| = CS · ||CD| · AB = CS · AB = (CD / |CD|) · AB,即切线与被切圆弧切于点。
3. 利用相似三角形证明切线:利用相似三角形的性质,证明切线与被切圆弧的公共弦长为半径,进而证明切线与被切圆弧切于点。
4. 利用圆的性质证明切线:利用圆的性质,证明切线与被切圆弧切于点的方法主要依赖于圆的性质,如半径、直径、对称性、同位角、内角和等。
具体步骤为:(1)设切点为O,被切圆弧为AB,已知弦CO与圆弧AB的公共弦心角为θ。
(2)根据圆的性质,可得弦CO与圆弧AB同弧,即CO = AB / 2,进而可得半径CO = (AB / 2)。
(3)根据圆周角定理,可得角度θ = 60°。
15 专题 切线证明的常用方法
专题切线证明的常用方法
【方法归纳】连半径证垂直或作垂直证半径是证明圆的切线常用的方法．
一、有切点，连半径，证垂直
(一)利用角度转换证垂直
1．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED，
求证：AD是⊙O的切线．
2.(2013•孝感)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，
点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC，求证：P A是⊙O的切线．
（二）利用全等证垂直
3.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连OC，弦AD∥OC，
求证：CD是⊙O的切线．
（三）利用勾股定理逆定理证垂直
4.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，
PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．
二、无切点，作垂直，证半径
(一)利用中位线证d＝R
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＋BC＝AB，以AB为
直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．
(二)利用角平分线的性质证d＝R
6．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E，求证：AC与⊙D相切．。
圆正切线几种证法
圆正切线几种证法圆的切线是指圆上某点处的直线，这条直线只有一个交点与圆相切。
圆正切线是圆与其外部一点的切线，圆的正切线有多种证法。
下面将介绍几种不同的证法。
证法一：切线定理证法圆的切线定理是指直径与切线相垂直。
根据这个定理，我们可以通过证明直径与切线相垂直的关系来证明圆的正切线。
首先，我们设圆的直径为AB，切线上的切点为C。
通过证明角ACB为直角可以证明切线是圆的正切线。
根据几何学性质，我们可以得知，半径与切线的交点与圆心的连线垂直。
因此，我们可以得到角ACB为直角的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法二：切线与半径的垂直证法根据几何学知识，圆的切线与半径的关系是相互垂直。
我们可以通过证明切线与半径相垂直来证明圆的正切线。
设圆的半径为OA，切线上的切点为B。
我们可以利用垂直平分线的性质来证明切线与半径的垂直关系。
由于切线只有一个交点与圆相切，我们可以得知，切线与半径的交点为直角。
因此，我们可以得到切线与半径相垂直的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法三：正切线的判定证法正切线的判定是指判断一个直线是否为圆的正切线。
我们可以通过判断一个直线是否满足成为圆的正切线的条件来证明圆的正切线。
首先，我们需要确定圆的切点和切线的位置关系，根据切线与圆的位置关系可以判断该直线是否为圆的正切线。
如果直线与圆只有一个交点且与交点处的切线垂直，那么该直线就是圆的正切线。
通过以上几种不同的证法，我们可以得知圆的正切线有多种不同的证法。
无论采用哪种证法，都需要运用几何学的基本性质和定理来完成证明。
掌握了这些证法，我们可以更好地理解圆的切线性质，提高我们的几何学水平。
切线的证明方法
切线的证明方法引言在微积分中，切线是一条与曲线相切的直线。
切线的研究在数学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨切线的证明方法，包括切线的定义、切线的性质以及证明切线存在的方法。
切线的定义切线是一条与曲线仅有一个公共点且在该点处与曲线的切点相同的直线。
在数学中，切线的定义可以通过极限的概念来描述。
切线的性质切线具有以下性质：1.切线与曲线相切于一个点。
2.切线与曲线在切点处有相同的斜率。
切线的证明方法方法一：斜率法证明切线存在的一种常用方法是使用斜率。
下面以一元函数为例进行说明。
1.确定切点：首先需要确定曲线上的一个点，该点即为切点。
2.计算斜率：在切点处，计算曲线的斜率。
3.构造切线：以切点为起点，斜率为斜率的直线即为切线。
方法二：导数法导数是切线存在的必要条件。
下面以一元函数为例进行说明。
1.求导数：对给定的函数求导数。
2.确定切点：找到函数的一个极值点，该点即为切点。
3.判断斜率：计算极值点处的导数，若导数存在且不为零，则切线存在。
方法三：极限法极限是切线存在的另一种常用方法。
下面以一元函数为例进行说明。
1.确定切点：首先需要确定曲线上的一个点，该点即为切点。
2.构造割线：以切点为起点，选择一个趋近切点的点作为终点，构造割线。
3.极限计算：计算割线的斜率随着终点趋近切点时的极限值，若存在有限极限，则切线存在。
切线的应用切线的研究不仅在数学中有重要意义，还在物理学、工程学等学科中有广泛的应用。
以下是一些切线的应用实例：1.物体运动的切线速度：在物理学中，切线速度是描述物体运动的一个重要概念，它表示物体在某一时刻的瞬时速度。
2.曲线绘制：在计算机图形学中，利用切线可以绘制平滑的曲线，如贝塞尔曲线、样条曲线等。
3.最优化问题：在优化理论中，切线可以帮助求解最优化问题，如寻找函数的最大值、最小值等。
结论切线是与曲线相切的直线，具有特定的性质。
证明切线存在的方法包括斜率法、导数法和极限法。
切线的研究在数学和其他学科中具有广泛的应用。
中考切线题目中证垂直的四种方法
中考切线题目中证垂直的四种方法在中学数学中，切线是一种与曲线相切、且仅与曲线相切于一个点的直线。
在中考数学中，经常会出现求切线的题目，其中有一类题目是要求证明切线与另一条直线垂直。
下面将介绍四种常用的方法来证明切线与直线垂直的情况。
一、直线与切线的斜率互为相反数假设直线的方程为y = kx + b，曲线的方程为f(x) = g(x)，则切线的斜率为f'(a)，其中a为曲线上的某一点。
如果要证明切线与直线垂直，就需要证明斜率k与f'(a)为互为相反数。
证明：由于切线与曲线相切于点(a, f(a))，所以切线的方程为y - f(a) = f'(a)(x - a)。
将直线方程代入切线方程，得到kx + b - f(a) = f'(a)(x - a)。
整理得(k - f'(a))x = b - f(a) + af'(a)。
由于x的系数为0，所以k - f'(a) = 0，即k = -f'(a)。
因此，当直线的斜率k与切线的斜率f'(a)互为相反数时，直线与切线垂直。
二、直线与曲线的切点的斜率之和为0假设直线的方程为y = kx + b，曲线的方程为f(x) = g(x)，则直线与曲线的交点坐标为(x1, f(x1))。
如果要证明切线与直线垂直，就需要证明切线的斜率f'(x1)与直线的斜率k之和为0。
证明：由于切线与曲线相切于点(x1, f(x1))，所以切线的方程为y - f(x1) = f'(x1)(x - x1)。
将直线方程代入切线方程，得到kx +b - f(x1) = f'(x1)(x - x1)。
整理得(k - f'(x1))x = b - f(x1) + x1f'(x1)。
由于x的系数为0，所以k - f'(x1) = 0，即k = f'(x1)。
因此，当直线的斜率k与切线的斜率f'(x1)之和为0时，直线与切线垂直。
切线证明方法
方法一 ：角平分线证相切 例 2 如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C， 过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D. 求证：CD是⊙O的切线．
切点确定， 连半径，证垂直
方法二 ：平行证相切 例 3 如图所示，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作⊙O 交BC于点D，DE⊥AC于点E. 求证：DE是⊙O的切线．
圆综合---切线证明
目 录
类型一： 切点不确定，证相切 类型二： 切点确定，证相切 类型三： 已知相切，证其他
切点不确定， 作垂直，证半径
例 1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，以D为圆心，DC为半径作⊙D. 求证：AB是⊙D的切线．
切点确定， 连半径，证垂直
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO. (1)求证：BC是∠ABE的平分线； (2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．
练习4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线 于点D. (1)E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线； (2)若AC＝3CD，求∠A的大小．
已知相切 找角度关系
例 6 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC 是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与⊙O相交于点 E，连接AD.求证：AD平分∠BAC.
已知相切 证线段垂直
例 8 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E. 求证：DE⊥AC.
(1)求证：CF＝BF； (2)若cos∠ABE＝ 4 ，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6.求
5 证：直线CM是⊙O的切线．
证明切线的两种常用方法
(三)利用全等证垂直 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC 交⊙O 于 点 E，弦 AD∥OC.求证：
︵︵ (1)DE＝BE； (2)CD 是⊙O 的切线．
证明：(1)连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠DOC. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
(二)利用平行证垂直 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点 F，C 是⊙O 上两点，且点 C 为B︵F 的中点，连接 AC，AF，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 延长线于点 D. 求证：CD 是⊙O 的切线．
证明：连接 OC， ∵C︵F＝C︵B，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACO. ∴AD∥OC. ∵CD⊥AF 于点 D， ∴∠DCO＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线．
证明切线的两种常用方法
直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直， 得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所 对的圆周角等于 90°等．
(一)借助角度转换证垂直 1．如图，△ ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径，AB 与 CD 交于 点 E，点 P 是 CD 延长线上的一点，AP＝AC，且∠B＝2∠P.求证： PA 是⊙O 的切线．
证明：连接 OA，AD. ∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC. ∴∠ADC＝2∠P. 又∵AP＝AC， ∴∠P＝∠ACP. ∴∠ADC＝2∠ACP. ∵CD 为直径，∴∠DAC＝90°. ∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°.
∴△ADO 为等边三角形．∴∠AOP＝60°. 而∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝90°.∴OA⊥PA. 又∵AO 为⊙O 的半径， ∴PA 是⊙O 的切线．
5种做切线的方法
5种做切线的方法数学，俺是专业的；提分，咱是内行的；我是李文龙，我爱数学，数学使我快乐摘要圆的切线----是初高中都比较常见的研究对象，今天我们要研究的是如何利用尺规作图画出过定点作定圆的切线点在圆上如图，P在圆O上，过P作圆O的切线方法1：如下图，连接OP，过点P作圆OP的垂线，证明略方法2：如下图①在圆O上任取一点异于P的点A；②以A为圆心，AP为半径做圆（红色），交圆O于B③以P为圆心，PB为半径作圆（蓝色），交圆A于C④连接PC，即为圆O的切线证明：辅助线如下图，由同圆的半径相等可知，OP=OB，PB=PC，AP=AB=AC，设∠BPA=∠PBA=x，∠OPB=y则∠CPA=x，∠BAQ=2x，由于四边形ABDP是圆O的内接四边形则∠D=∠BAQ=2x因此∠BOP=4x易证OA垂直平分BP则∠AOP=2x∵∠AOP+∠BPO=90°即2x+y=90°因此∠OPC=90°点评：方法1简单粗暴，不过作垂线也需要一定的步骤，不能直接做，总计需要四步方法2证明虽然费力一些，但作图只需要三步，是最简的作图方式，当然证明的过程还可以更简单，读者们不妨试试点在圆外如图，P在圆O外，过P作圆O的切线方法1：如下图①连接OP②取OP中点A③以A为圆心，AO为半径作圆，交圆O于B和C④连接PB和PC，即为所求切线证明：如下图，连接OB，在圆A中，OP是直径，则∠PBO=90°，因此PB是圆O切线，同理可证PC也是切线方法2：如下图①连接PO并延长，交圆O于另一点B②以O为圆心，OP为半径作圆（蓝色），交直线OP与点C③以C为圆心，AB为半径作圆（红色），交蓝色的圆O于D和E④连接PD和PE，即为所求切线证明：如下图，连接CD，并过O作OF⊥PD，设绿圆半径为R，则红圆半径为2R，即CD=2R而在蓝圆中，∠PDC=90°，PC=2PO，因此由相似可知CD=2OF 这样OF=R，所以OF是绿圆的半径，又OF⊥PD，那么PD就是绿圆的切线，同理PE也是切线而在刚才的图形中，还有另一个有意思的结论，如下图，假如我们设红圆和绿圆的交点为E，再连接PE交绿圆于G，那么G一定是PE 的中点，这一知识点在2016年北京市东城区初三一模压轴题中要求画过，被新定义为“相邻线”，感兴趣读者的可以去看看。
证明切线的定理
证明切线的定理
明确定义：1. 设曲线上的点P处的正切：曲线C的切线（Q）上的任一点M，使点P 与这个点M构成的直线成为曲线C的切线，这个直线的斜率就称为曲线C的正切；
2. 设交点为A，在A点上正切方程的表达式为：y-y1=k(x-x1)，其中，(x1,y1)代表圆的圆心坐标，k代表圆上任一点P处的正切。
定理1：圆上取任一点P，过P点做一条直线，这条直线与圆C相交于A点，A点到圆心距离为r，那么P点处圆C的正切k＝板根 r。
证明：设取Point P处，做一条直线PA，切点A(x1,y1)满足方程 y-y1=k(x-x1)，
因为A点到圆心R点距离为r，所以可得y1+r=y
代入切线方程，得y-y1=k(x-x1)
继续化简，得k=r/(x-x1)，即P点处圆C的正切k=r。
定理2：若圆C上取任意一点P，过点P作直线PA，PA与圆C相交于A点，此时正切方程为： y-y1=k(x-x1)，则P处y的值为：
把以上公式代入到切点A处求取值，即得y=y1+k（x1-x1）=y1。
由定理1中知道，当A点到圆心距离r时，交点处正切为k=r。
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知识点
二.切线的证明方法： 1.作垂直，证半径
条件：圆与直线的公共点没有标明字母 方法：① 则过圆心作直线的垂线段为辅助线
② 再证垂线段的长等于半径的长
知识点
二.切线的证明方法： 2.连半径，证垂直 条件：圆与直线的公共点标明字母 方法：① 则连这个点和圆心得到辅助半径
② 再证所作半径与这条直线垂直
变式练习
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于 点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2， AE= ．3 求证：BC是⊙O的切线；
证明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE= 3，
∴AM=ME2+AE2， AM ME2 AE2
∴△AME是直角三角形，∴∠AEM=90°， 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， 而AB为直径， ∴BC是⊙O的切线；
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． 求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证： 直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
变式练习
如图△ABC中，CA=CB，D为AB中点，以D为圆心的 圆与AC相切于点E，求证：BC与⊙O相切。
C
E
A
D
B
变式练习
如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°， AD+BC=CD，求证：以AB为直径的圆与CD相切
A
D
O
B
C
课堂小结
切线证明的 常用方法
有切点，连半径， 证垂直
无切点，作垂直， 证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ径
下次课见
第一讲
切线证明的常用方法
CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
初中数学知识点精讲课程
P a r t 1 切线证明的常用方法
知识点
一.圆的切线的判定方法有三种： ①．定义法： 直线l 与圆只有唯一的公共点 ②．距离法： 圆心O与直线l 的距离d=r ③．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。