工程光学
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现通过P点，并以A和B为焦点作一椭圆N。 设Q为M上除P点外的任意一点,则经Q反射的光程
R
B
SQ n( AQ QB )
延长AQ交N于R点,并连接RB。由于椭圆上的点与两 焦点间线段长度之和为定值,即总有AP+PB=AR+RB,
因此有，
S P n( AR RB ) n AQ (QR RB ) n( AQ QB ) SQ
得到物像距公式, 且像点位置L'与d无关, 这表明物点A在傍轴条件下完 善成像于像点A'.
习题： 例1：物体放在凹面反射镜的何处，可产生大小与物体相等 的倒立实像？
解：由反射镜放大率公式
=y’/y=-l’/l=-1，
求得像距l’=l。代入反射镜成像公式求得
1 1 2 l r l' l r
在傍轴近似下, d<<l, l'和 r, 进行泰勒展开并略去二阶无穷小量,有
(l r ) AE l 1 d 2 l
(l ' r ) EA ' l ' 1 d l '2
成立, 即
由物象之间的等光程性, 有 S ( AEA ') S ( AOA ')
2 n1 d12 x 2 n2 d 2 ( L x)2
根据费马原理，光程应取极值，即
dS x Lx n1 n2 0 2 2 2 2 dx d1 x d 2 ( L x)
如图定义入射角和折射角，则光程取极值必有
即折射定律
dS n1 sin 1 n2 sin 2 0 dx
例4：设光导纤维玻璃芯和外包层的折射率分别为n1和n2(n1>n2)， 垂直端面外的媒质的折射率为n0。试证明：能使光线在纤芯内发生 全反射的入射光束的最大孔径角满足
2 n0 sin i n12 n2
（
n0 sin i
称为纤维的数值孔径）。
1.光的直线传播定律：
证明：在各向同性均匀介质(折射率为常数)中，两点间的光程为
根据费马原理，APB为实际反射光路,且光程为极大值。 证毕。
5.光程恒定的情况：
考察内表面反射的椭圆反射器。设A和B为 椭圆的两个焦点,试证明光线经单次反射,从 A到B传播,其光程是一个不随反射点位置而 变化的稳定值。 证明：由于椭圆具有这样的特性：椭圆表面 上的任何一点与两焦点间线段长度之和为定 值，即总有AP+PB=AQ+QB成立。由此可见，
基本定律的应用：
例1：在水中深度为y处有一发光点Q,作QO垂直于水面，求射出水 面折射光线的延长线与QO交点Q’的深度y’与入射角i的关系。 例2：证明：光线相继经过几个平行分界面的多层媒质时，出射光线 的方向只与两边的折射率有关，与中间各层媒质无关。
例3：顶角a很小的棱镜称为光楔。证明光楔使垂直入射的光线产生 偏向角 (n 1) ，其中n是光楔的折射率。
M
C P Q
S n( DQ BQ)
D
由两点间直线距离最短，故最小光程对应的 Q点必位于D点和B点的连线上。因此光路必 定是APB，P点为直线BD与反射面的交点。 显然，P点必包含在A,C,D和B构成的平面 内，所以入射光线AP，反射光线PB，及法 线PN共面。其次，由于AP=DP，且DPB为 直线，故入射角等于反射角。证毕！
2 2 1/ 2
2
EA ' h DA ' h 2 (l ' d ) 2 l '2 2d (l ' r ) (l ' r ) l ' 1 2d l '2
1/ 2
考虑符号规则, 经E点折射的光程为
S ( AEA ') n( AE ) n ' EA '
D
解:设OD=d, 则光线矢高为
h2 r 2 (r d )2 d (2r d )
由几何关系可得入射光线和折射光线几何长度,
AE h 2 AD h 2 (l d )2 l 2 2d (l r ) (l r ) l 1 2d 2 l
3.光的折射定律：
证明：设MN为折射率为n1 和n2 的两种各向 同性均匀介质的分界面。光线由 A点入射，在 P点折射并前进到B点。令M和N分别表示从A 和B点在街面上的垂足，并设MN=L。设MP距 离为x。则A到B的光程为
A N d1 M x n2
L
n1 1 P N 2 B d2
S n1 AP n2 PB
(l r ) (l ' r ) nl 1 d 2 n ' l ' 1 d nl n ' l ' 2 l l' (l r ) (l ' r ) n n' 0 l l' n ' n n ' n l' l r
从焦点A发出的光线经一次反射后通过焦点B的
诸光线具有相同的光程长。根据费马原理，经 表面任意一点反射的光路都是可能的,且光程为 稳定值。
P QБайду номын сангаас
A
O
B
此外，借助解析几何可以证明，任何光 线从一个焦点出发，经表面上任何一点反射 后必通过另一个焦点，其条件是入射角等于 反射角。
习题：利用费马原理推导傍轴条件下 单球面折射成像的物像距关系．
因此,物体应放在凹面反射镜的球心处.
例2：凹面反射镜的半径为40cm，物体放在何处可产生放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像?
解: 1) 放大两倍的实像. 此时应有<0, l’与l 同号,物像虚实相同,因此
代入成像公式求得
l' 2 l ' 2l l
1 1 2 3 3 l r (40)cm 30cm l' l r 4 4
n1 sin 1 n2 sin 2
4.光程最大值的情况：
设有一凹面镜M。A和B是与轴等距的两点。 直线AB通过曲率中心并与轴垂直。试证明经一次 反射后从A到达B的光线，其光程比邻近的任何光 程都长。 证明：设P为顶点,经P点反射的光路光程为
N
M n C P
Q
A
S P n( AP PB)
2) 放大两倍的虚像. 此时应有>0, l’与l 异号,物像虚实相反,因此
代入成像公式求得
l' 2 l ' 2l l
1 1 2 1 1 l r (40)cm 10cm l' l r 4 4
S ndl nL
A
B
其中L为两点间光线的几何路径长度。 由于两点间直线距离最短，因此，两点间最短的光程就是连接两
点的直线。根据费马原理，显然光线是沿直线传播的。
2.光的反射定律：
证明：设光路为AQB，Q是反射面上任意 一点，则光程为
A N
B
S n( AQ BQ)
从A点向反射面作垂线，并延长到D点，使 AC=CD。C点为垂足。显然，AQ=DQ，于 是光程
R
B
SQ n( AQ QB )
延长AQ交N于R点,并连接RB。由于椭圆上的点与两 焦点间线段长度之和为定值,即总有AP+PB=AR+RB,
因此有，
S P n( AR RB ) n AQ (QR RB ) n( AQ QB ) SQ
得到物像距公式, 且像点位置L'与d无关, 这表明物点A在傍轴条件下完 善成像于像点A'.
习题： 例1：物体放在凹面反射镜的何处，可产生大小与物体相等 的倒立实像？
解：由反射镜放大率公式
=y’/y=-l’/l=-1，
求得像距l’=l。代入反射镜成像公式求得
1 1 2 l r l' l r
在傍轴近似下, d<<l, l'和 r, 进行泰勒展开并略去二阶无穷小量,有
(l r ) AE l 1 d 2 l
(l ' r ) EA ' l ' 1 d l '2
成立, 即
由物象之间的等光程性, 有 S ( AEA ') S ( AOA ')
2 n1 d12 x 2 n2 d 2 ( L x)2
根据费马原理，光程应取极值，即
dS x Lx n1 n2 0 2 2 2 2 dx d1 x d 2 ( L x)
如图定义入射角和折射角，则光程取极值必有
即折射定律
dS n1 sin 1 n2 sin 2 0 dx
例4：设光导纤维玻璃芯和外包层的折射率分别为n1和n2(n1>n2)， 垂直端面外的媒质的折射率为n0。试证明：能使光线在纤芯内发生 全反射的入射光束的最大孔径角满足
2 n0 sin i n12 n2
（
n0 sin i
称为纤维的数值孔径）。
1.光的直线传播定律：
证明：在各向同性均匀介质(折射率为常数)中，两点间的光程为
根据费马原理，APB为实际反射光路,且光程为极大值。 证毕。
5.光程恒定的情况：
考察内表面反射的椭圆反射器。设A和B为 椭圆的两个焦点,试证明光线经单次反射,从 A到B传播,其光程是一个不随反射点位置而 变化的稳定值。 证明：由于椭圆具有这样的特性：椭圆表面 上的任何一点与两焦点间线段长度之和为定 值，即总有AP+PB=AQ+QB成立。由此可见，
基本定律的应用：
例1：在水中深度为y处有一发光点Q,作QO垂直于水面，求射出水 面折射光线的延长线与QO交点Q’的深度y’与入射角i的关系。 例2：证明：光线相继经过几个平行分界面的多层媒质时，出射光线 的方向只与两边的折射率有关，与中间各层媒质无关。
例3：顶角a很小的棱镜称为光楔。证明光楔使垂直入射的光线产生 偏向角 (n 1) ，其中n是光楔的折射率。
M
C P Q
S n( DQ BQ)
D
由两点间直线距离最短，故最小光程对应的 Q点必位于D点和B点的连线上。因此光路必 定是APB，P点为直线BD与反射面的交点。 显然，P点必包含在A,C,D和B构成的平面 内，所以入射光线AP，反射光线PB，及法 线PN共面。其次，由于AP=DP，且DPB为 直线，故入射角等于反射角。证毕！
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EA ' h DA ' h 2 (l ' d ) 2 l '2 2d (l ' r ) (l ' r ) l ' 1 2d l '2
1/ 2
考虑符号规则, 经E点折射的光程为
S ( AEA ') n( AE ) n ' EA '
D
解:设OD=d, 则光线矢高为
h2 r 2 (r d )2 d (2r d )
由几何关系可得入射光线和折射光线几何长度,
AE h 2 AD h 2 (l d )2 l 2 2d (l r ) (l r ) l 1 2d 2 l
3.光的折射定律：
证明：设MN为折射率为n1 和n2 的两种各向 同性均匀介质的分界面。光线由 A点入射，在 P点折射并前进到B点。令M和N分别表示从A 和B点在街面上的垂足，并设MN=L。设MP距 离为x。则A到B的光程为
A N d1 M x n2
L
n1 1 P N 2 B d2
S n1 AP n2 PB
(l r ) (l ' r ) nl 1 d 2 n ' l ' 1 d nl n ' l ' 2 l l' (l r ) (l ' r ) n n' 0 l l' n ' n n ' n l' l r
从焦点A发出的光线经一次反射后通过焦点B的
诸光线具有相同的光程长。根据费马原理，经 表面任意一点反射的光路都是可能的,且光程为 稳定值。
P QБайду номын сангаас
A
O
B
此外，借助解析几何可以证明，任何光 线从一个焦点出发，经表面上任何一点反射 后必通过另一个焦点，其条件是入射角等于 反射角。
习题：利用费马原理推导傍轴条件下 单球面折射成像的物像距关系．
因此,物体应放在凹面反射镜的球心处.
例2：凹面反射镜的半径为40cm，物体放在何处可产生放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像?
解: 1) 放大两倍的实像. 此时应有<0, l’与l 同号,物像虚实相同,因此
代入成像公式求得
l' 2 l ' 2l l
1 1 2 3 3 l r (40)cm 30cm l' l r 4 4
n1 sin 1 n2 sin 2
4.光程最大值的情况：
设有一凹面镜M。A和B是与轴等距的两点。 直线AB通过曲率中心并与轴垂直。试证明经一次 反射后从A到达B的光线，其光程比邻近的任何光 程都长。 证明：设P为顶点,经P点反射的光路光程为
N
M n C P
Q
A
S P n( AP PB)
2) 放大两倍的虚像. 此时应有>0, l’与l 异号,物像虚实相反,因此
代入成像公式求得
l' 2 l ' 2l l
1 1 2 1 1 l r (40)cm 10cm l' l r 4 4
S ndl nL
A
B
其中L为两点间光线的几何路径长度。 由于两点间直线距离最短，因此，两点间最短的光程就是连接两
点的直线。根据费马原理，显然光线是沿直线传播的。
2.光的反射定律：
证明：设光路为AQB，Q是反射面上任意 一点，则光程为
A N
B
S n( AQ BQ)
从A点向反射面作垂线，并延长到D点，使 AC=CD。C点为垂足。显然，AQ=DQ，于 是光程