江苏省连云港市九年级上学期 期末模拟数学试题
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江苏省连云港市九年级上学期 期末模拟数学试题
一、选择题
1.在平面直角坐标系中,如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a +b +c =0;②b >2a ;③方程ax 2+bx +c =0的两根分别为﹣3和1;④b 2﹣4ac >0,其中正确的命题有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
2.二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图像如图所示,它的对称轴为直线1x =,与x 轴交点
的横坐标分别为1x ,2x ,且110x -<<.下列结论中:①0abc <;②223x <<;③421a b c ++<-;④方程()2
200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根;⑤13
a >
.其中正确的有( )
A .②③⑤
B .②③
C .②④
D .①④⑤
3.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A ,B ,C ,D 都在格点上,点E 在AB 的延长线上,以A 为圆心,AE 为半径画弧,交AD 的延长线于点F ,且弧EF 经过点C ,则扇形AEF 的面积为( )
A 5
B .58
π
C .54
π
D 5 4.如图,在平行四边形ABCD 中,点
E 在边DC 上,DE :EC=3:1,连接AE 交BD 于点
F ,则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )
A .3:4
B .9:16
C .9:1
D .3:1
5.如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是
A .
B .
C .
D .
6.把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位后的函数关系式是( )
A .22(3)2y x =-+
B .22(3)2y x =++
C .22(3)?2y x =-
D .22(3)?2y x =+
7.某中学篮球队12名队员的年龄情况如下: 年龄(单位:岁)
14 15 16 17 18 人数
1
5
3
2
1
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A .15,16
B .15,15
C .15,15.5
D .16,15
8.如图,P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点,P 在OA 上,Q 在OB 上,PC ⊥AB 交⊙O 于C ,QD ⊥AB 交⊙O 于D ,弦CD 交AB 于点E ,若AB=20,PC=OQ=6,则OE 的长为( )
A .1
B .1.5
C .2
D .2.5 9.用配方法解方程2890x x ++=,变形后的结果正确的是( ) A .()2
49x +=- B .()2
47x +=-
C .()2
425x +=
D .()2
47x +=
10.如图,
O 的半径为2,弦2AB =,点P 为优弧AB 上一动点,60PAC ∠=︒,交直
线PB 于点C ,则ABC 的最大面积是 ( )
A.1
2
B.1 C.2 D.2
11.如图,如果从半径为6cm的圆形纸片剪去1
3
圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个
圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的底面半径为( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
12.如图,随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球,则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为()
A.1
2
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
9
13.下列说法正确的是()
A.所有等边三角形都相似B.有一个角相等的两个等腰三角形相似C.所有直角三角形都相似D.所有矩形都相似
14.如图,AB,AM,BN 分别是⊙O 的切线,切点分别为 P,M,N.若 MN∥AB,∠A=60°,AB=6,则⊙O 的半径是()
A.3
2
B.3 C.
3
2
3D3
15.一组数据10,9,10,12,9的平均数是()
A.11 B.12 C.9 D.10二、填空题
16.如图是测量河宽的示意图,AE 与BC 相交于点D ,∠B=∠C=90°,测得BD=120m ,DC=60m ,EC=50m ,求得河宽AB=______m .
17.已知∠A =60°,则tan A =_____.
18.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m ,与树相距
15m ,则树的高度为_________m.
19.如图,若抛物线2
y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ,()2,B n -两点,则不等
式2ax b kx h -<-的解集是______.
20.设1x ,2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根,则1212x x x x ++=______. 21.关于x 的方程(m ﹣2)x 2﹣2x +1=0是一元二次方程,则m 满足的条件是_____. 22.如图,AB 是半圆O 的直径,AB=10,过点A 的直线交半圆于点C ,且sin ∠CAB=
45
,连结BC ,点D 为BC 的中点.已知点E 在射线AC 上,△CDE 与△ACB 相似,则线段AE 的长为________;
23.在△ABC 中,∠C =90°,cosA =
3
5
,则tanA 等于 . 24.如图,已知正方ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为13+,则这个正方形的边长为_____________
25.某一时刻,一棵树高15m ,影长为18m .此时,高为50m 的旗杆的影长为_____m . 26.已知关于x 的方程a (x +m )2+b =0(a 、b 、m 为常数,a ≠0)的解是x 1=2,x 2=﹣1,那么方程a (x +m +2)2+b =0的解_____.
27.一种药品经过两次降价,药价从每盒80元下调至45元,平均每次降价的百分率是__.
28.如图,点G 为△ABC 的重心,GE ∥AC ,若DE =2,则DC =_____.
29.如图,在⊙O 中,分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠,折叠后的弧均过圆心,若⊙O 的半径为4,则四边形ABCD 的面积是__________________.
30.甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米,方差分别是2
S 甲、2
S 乙,且
22S S >甲乙,则队员身高比较整齐的球队是_____.
三、解答题
31.已知二次函数2
16y ax bx =++的图像经过点(-2,40)和点(6,-8),求一元二次
方程2160ax bx ++=的根.
32.如图,二次函数2
y x bx c =-++的图像经过()0,3M ,()2,5N --两点.
(1)求该函数的解析式;
(2)若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点,求ABM ∆的面积;
(3)若点P 在二次函数图像的对称轴上,当MNP ∆周长最短时,求点P 的坐标. 33.如图,宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB ,某人从C 点测得吊灯顶端A 的仰角为
35︒,吊灯底端B 的仰角为30,从C 点沿水平方向前进6米到达点D ,测得吊灯底端B 的仰角为60︒.请根据以上数据求出吊灯AB 的长度.(结果精确到0.1米.参考数据:
sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,2≈1.41,3≈1.73)
34.定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等...
),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解:
(1)如图1,已知Rt △ABC 在正方形网格中,请你只用无刻度的直尺......在网格中找到一点 D ,使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形(画出1个即可);
(2)如图2,在四边形ABCD 中,80,140ABC ADC ︒︒
∠=∠=,对角线BD 平分∠ABC .
求证: BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”; 运用:
(3)如图3,已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”,∠EFH=∠HFG=30.连接EG,若△EFG的面积为43,求FH的长.
35.我们不妨约定:如图①,若点D在△ABC的边AB上,且满足∠ACD=∠B(或
∠BCD=∠A),则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”.
(1)如图①,若点D是△ABC的边AB的中点,AC=22,AB=4.试判断点D是不是△ABC 边AB上的“理想点”,并说明理由.
(2)如图②,在⊙O中,AB为直径,且AB=5,AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”,求CD的长.
(3)如图③,已知平面直角坐标系中,点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点,且满足
∠ACB=45°,在y轴上是否存在一点D,使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点”,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
四、压轴题
36.已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O的半径;
(2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明.
37.已知,如图1,⊙O是四边形ABCD的外接圆,连接OC交对角线BD于点F,延长AO 交BD于点E,OE=OF.
(1)求证:BE=FD;
(2)如图2,若∠EOF=90°,BE=EF ,⊙O 的半径25AO =,求四边形ABCD 的面积; (3)如图3,若AD=BC ;
①求证:22•AB CD BC BD +=;②若2•12AB CD AO ==,直接写出CD 的长.
38.抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ,作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4. (1)请直接写出a 的值____________; (2)若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等, ①求b 的值;
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴,交抛物线于M 、N 两点,且4QM QN +=,求
c 的取值范围;
(3)若1c b =--,2727b -<<,设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ,将抛物线绕原点逆时针旋转α,且1
tan 2
α=
,此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点,若点D 在点C 上方,请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上,并求CD 的最大值.
39.如图1,ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形,点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点,射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ,连结BD 交AC 于点F . (1)求证:ADB CDE ∠=∠;
(2)若7BD =,3CD =,①求AD DE •的值;②如图2,若AC BD ⊥,求
tan ACB ∠;
(3)若5
tan 2
CDE ∠=
,记AD x =,ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ,直接写出y 关于x 的函数关系式.
40.如图,抛物线y =﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧),与y 轴交于点C ,⊙P 是△ABC 的外接圆.
(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴; (2)求⊙P 的半径;
(3)点D 在抛物线的对称轴上,且∠BDC >90°,求点D 纵坐标的取值范围;
(4)E 是线段CO 上的一个动点,将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ,求线段OF 的最小值.
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一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象可知抛物线开口向上,对称轴为x =﹣1,且过点(1,0),根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为(﹣3,0),把(1,0)代入可对①做出判断;由对称轴为x =﹣1,可对②做出判断;根据二次函数与一元二次方程的关系,可对③做出判断,根据根的判别式解答即可. 【详解】
由图象可知:抛物线开口向上,对称轴为直线x =﹣1,过(1,0)点, 把(1,0)代入y =ax 2+bx +c 得,a +b +c =0,因此①正确; 对称轴为直线x =﹣1,即:﹣
2b
a
=﹣1,整理得,b =2a ,因此②不正确; 由抛物线的对称性,可知抛物线与x 轴的两个交点为(1,0)(﹣3,0),因此方程ax 2+bx +c =0的两根分别为﹣3和1;故③是正确的; 由图可得,抛物线有两个交点,所以b 2﹣4ac >0,故④正确; 故选C . 【点睛】
考查二次函数的图象和性质,抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴,y 轴的交点,以及增减性上寻找其性质.
2.A
解析:A 【解析】 【分析】
利用抛物线开口方向得到a <0,利用对称轴位置得到b >0,利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c <0,则可对①进行判断;根据二次函数的对称性对②③进行判断;利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断,利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.
【详解】
∵抛物线开口向下, ∴a <0,
∵对称轴为直线1x = ∴b=-2a >0
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方, ∴c <-1,
∴abc >0,所以①错误;
∵110x -<<,对称轴为直线1x = ∴
12
12
x x +=故223x <<,②正确; ∵对称轴x=1,∴当x=0,x=2时,y 值相等, 故当x=0时,y=c <0,
∴当x=2时,y=421a b c ++<-,③正确; 如图,作y=2,与二次函数有两个交点,
故方程()2
200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根,故④错误;
∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c >0, 当x=0时,y=c <-1 ∴3a >1,
故1
3a >
,⑤正确; 故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置. 当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右;常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置:抛物线与y 轴交于(0,c ).也考查了二次函数的性质.
3.B
解析:B 【解析】
【分析】 连接AC ,根据网格的特点求出r=AC 的长度,再得到扇形的圆心角度数,根据扇形面积公式即可求解.
【详解】
连接AC ,则r=AC=22251=+
扇形的圆心角度数为∠BAD=45°,
∴扇形AEF 的面积=()2455360
π⨯⨯=58
π 故选B.
【点睛】
此题主要考查扇形面积求解,解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.
4.B
解析:B
【解析】
【分析】
可证明△DFE ∽△BFA ,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形,
∴DC ∥AB ,
∴△DFE ∽△BFA ,
∵DE :EC=3:1,
∴DE :DC=3:4,
∴DE :AB=3:4,
∴S △DFE :S △BFA =9:16.
故选B .
5.B
解析:B
【解析】
【分析】
根据网格的特点求出三角形的三边,再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】
已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 2、210
只有选项B 的各边为125B .
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
6.A
解析:A
【解析】
将二次函数2
2y x =的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位后的函数关系式为:22(3)2y x =-+.
故选A.
7.C
解析:C
【解析】
【分析】
由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得.
【详解】
解:∵这组数据中15出现5次,次数最多,
∴众数为15岁,
中位数是第6、7个数据的平均数,
∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁,
故选:C .
【点睛】
本题考查众数与中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错;众数是一组数据中出现次数最多的数.
8.C
解析:C
【解析】
【分析】 因为OCP 和ODQ 为直角三角形,根据勾股定理可得OP 、DQ 、PQ 的长度,又因为CP //DQ ,两直线平行内错角相等,∠PCE=∠EDQ ,且∠CPE=∠DQE=90°,可证
CPE ∽DQE ,可得
CP DQ =PE EQ
,设PE=x ,则EQ=14-x ,解得x 的取值,OE= OP-PE ,则OE 的长度可得.
【详解】
解:∵在⊙O 中,直径AB=20,即半径OC=OD=10,其中CP ⊥AB ,QD ⊥AB , ∴OCP 和ODQ 为直角三角形,
根据勾股定理:,,且OQ=6,
∴PQ=OP+OQ=14,
又∵CP ⊥AB ,QD ⊥AB ,垂直于用一直线的两直线相互平行,
∴CP //DQ ,且C 、D 连线交AB 于点E ,
∴∠PCE=∠EDQ ,(两直线平行,内错角相等)且∠CPE=∠DQE=90°, ∴CPE ∽DQE ,故CP DQ =PE EQ
, 设PE=x ,则EQ=14-x , ∴
68=x 14-x
,解得x=6, ∴OE=OP-PE=8-6=2,
故选:C .
【点睛】 本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径,解题的关键在于证明CPE 与DQE 相似,并得出线段的比例关系.
9.D
解析:D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧,然后两边同时加上一次项系数一半的平方,配方后进行判断即可.
【详解】
2890x x ++=,
289x x +=-,
2228494x x ++=-+,
所以()2
47x +=,
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 10.B
解析:B
【解析】
【分析】
连接OA 、OB ,如图1,由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形,则
60AOB ∠=︒,根据圆周角定理得1302
APB AOB ∠=∠=︒,由于60PAC ∠=︒,所以90C ∠=︒,因为2AB =,则要使ABC 的最大面积,点C 到AB 的距离要最大;由90ACB ∠=︒,可根据圆周角定理判断点C 在D 上,如图2,于是当点C 在半圆的中点时,点C 到AB 的距离最大,此时ABC 为等腰直角三角形,从而得到ABC 的最大面积.
【详解】
解:连接OA 、OB ,如图1,
2OA OB ==,2AB =,
OAB ∴为等边三角形, 60AOB ∴∠=︒,
1302
APB AOB ∴∠=∠=︒, 60PAC ∠=︒
90ACP ∴∠=︒
2AB =,要使ABC 的最大面积,则点C 到AB 的距离最大,
作ABC 的外接圆D ,如图2,连接CD ,
90ACB ∠=︒,点C 在D 上,AB 是D 的直径,
当点C 半圆的中点时,点C 到AB 的距离最大,此时ABC 等腰直角三角形,
CD AB ∴⊥,1CD =,
12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112
=⨯⨯=, ABC ∴的最大面积为1.
故选B .
【点睛】
本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质;记住等腰直角三角形的面积公式.
11.B
解析:B
【解析】
【分析】
因为圆锥的高,底面半径,母线构成直角三角形,首先求得留下的扇形的弧长,利用勾股定理求圆锥的高即可.
【详解】
解:∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形, ∴剩下的扇形的角度=360°×
23=240°, ∴留下的扇形的弧长=
24061880ππ⨯=, ∴圆锥的底面半径248r ππ
=
=cm ; 故选:B.
【点睛】 此题主要考查了主要考查了圆锥的性质,要知道(1)圆锥的高,底面半径,母线构成直角三角形,(2)此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
12.B
解析:B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比.
【详解】
解:∵如图所示的正三角形,
∴∠CAB =60°,
∴∠OAB =30°,∠OBA =90°,
设OB =a ,则OA =2a ,
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为
()2214
2a a ππ=. 故选:B .
【点睛】
本题考查了概率问题,掌握圆的面积公式是解题的关键.
13.A
解析:A
【解析】
【分析】
根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题.
解:A 、等边三角形各内角为60°,各边长相等,所以所有的等边三角形均相似,故本选项正确;
B 、一对等腰三角形中,若底角和顶角相等且不等于60°,则该对三角形不相似,故本选项错误;
C 、直角三角形中的两个锐角的大小不确定,无法判定三角形相似,故本选项错误;
D 、矩形的邻边的关系不确定,所以并不是所有矩形都相似,故本选项错误.
故选:A .
【点睛】
本题考查了等边三角形各内角为60°,各边长相等的性质,考查了等腰三角形底角相等的性质,本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键.
14.D
解析:D
【解析】
【分析】
根据题意可判断四边形ABNM 为梯形,再由切线的性质可推出∠ABN=60°,从而判定△APO ≌△BPO ,可得AP=BP=3,在直角△APO 中,利用三角函数可解出半径的值.
【详解】
解:连接OP ,OM ,OA ,OB ,ON
∵AB ,AM ,BN 分别和⊙O 相切,
∴∠AMO=90°,∠APO=90°,
∵MN ∥AB ,∠A =60°,
∴∠AMN=120°,∠OAB=30°,
∴∠OMN=∠ONM=30°,
∵∠BNO=90°,
∴∠ABN=60°,
∴∠ABO=30°,
在△APO 和△BPO 中,
OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
△APO ≌△BPO (AAS ),
∴AP=12
AB=3, ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP
=3
, ∴
.
【点睛】
本题考查了切线的性质,切线长定理,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,关键是说明点P是AB中点,难度不大.
15.D
解析:D
【解析】
【分析】
利用平均数的求法求解即可.
【详解】
这组数据10,9,10,12,9的平均数是1
(10910129)10 5
++++=
故选:D.
【点睛】
本题主要考查平均数,掌握平均数的求法是解题的关键.
二、填空题
16.100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长.
【详解】
解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ABD∽△E
解析:100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长.
【详解】
解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,
∴AB BD EC CD
=,
即
BD EC AB
CD
⨯
=,
解得:AB=12050
60
⨯
=100(米).
故答案为100.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用,用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似;相似三角形的对应边成比例.
17.【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出答案.
【详解】
tanA=tan60°=.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出答案.
【详解】
tan A=tan60°.
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
18.7
【解析】
设树的高度为m,由相似可得,解得,所以树的高度为7m
解析:7
【解析】
设树的高度为x m,由相似可得
6157
262
x+
==,解得7
x=,所以树的高度为7m
19.【解析】
【分析】
观察图象当时,直线在抛物线上方,此时二次函数值小于一次函数值,当或时,直线在抛物线下方,二次函数值大于一次函数值,将不等式变形,观察图象确定x 的取值范围,即为不等式的解集.
【
解析:23x -<<
【解析】
【分析】
观察图象当23x -<<时,直线在抛物线上方,此时二次函数值小于一次函数值,当2x <-或3x >时,直线在抛物线下方,二次函数值大于一次函数值,将不等式变形,观察图象确定x 的取值范围,即为不等式的解集.
【详解】
解:设21y ax h =+,2y kx b =+,
∵2ax b kx h -<-
∴2ax h kx b +<+,
∴12y y <
即二次函数值小于一次函数值,
∵抛物线与直线交点为()3,A m ,()2,B n -,
∴由图象可得,x 的取值范围是23x -<<.
【点睛】
本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题,理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.
20.-5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】
∵,是关于的一元二次方程的两根,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系,如果,是方
解析:-5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】
∵1x ,2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根,
∴12121
4x x x x +=-=-,, ∴()1212145x x x x ++=-+-=-,
故答案为:5-.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系,如果1x ,2x 是方程2
0x px q ++=的两根,那么12x x p +=﹣,12x x q =. 21.【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m 的不等式求解即可.
【详解】
解:∵关于x 的方程(m ﹣2)x2﹣2x+1=0是一元二次方程,
∴m -2≠0,
∴m≠
解析:2m ≠
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax 2+bx+c=0(a ≠0),列含m 的不等式求解即可.
【详解】
解:∵关于x 的方程(m ﹣2)x 2﹣2x+1=0是一元二次方程,
∴m-2≠0,
∴m ≠2.
故答案为:m ≠2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,满足二次项系数不为0是解答此题的关键.
22.3或9 或或
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8,再根据勾股定理求出AC=6,再分情况讨论,从而求出AE.
【详解】
∵AB 是半圆O 的直径,
∴∠ACB=90,
∵sin ∠C
解析:3或9 或23或
343
【解析】
【分析】 先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8,再根据勾股定理求出AC=6,再分情况讨论,从而求出AE.
【详解】 ∵AB 是半圆O 的直径,
∴∠ACB=90︒,
∵sin ∠CAB=
45
, ∴45BC AB =, ∵AB=10,
∴BC=8,
∴22221086AC AB BC =
-=-=,
∵点D 为BC 的中点,
∴CD=4.
∵∠ACB=∠DCE=90︒, ①当∠CDE 1=∠ABC 时,△ACB ∽△E 1CD,如图
∴1AC BC CE CD =,即1684
CE =, ∴CE 1=3,
∵点E 1在射线AC 上,
∴AE 1=6+3=9,
同理:AE 2=6-3=3.
②当∠CE 3D=∠ABC 时,△ABC ∽△DE 3C ,如图
∴3AC BC CD CE =,即3
684CE =, ∴CE 3=163
,
∴AE 3=6+163=343
, 同理:AE 4=6-
163=23. 故答案为:3或9 或
23或343
. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质,当三角形的相似关系不是用相似符号连接时,一定要分情况来确定两个三角形的对应关系,这是解此题容易错误的地方.
23..
【解析】
试题分析:∵在△ABC 中,∠C =90°,cosA =,∴.
∴可设.
∴根据勾股定理可得.
∴.
考点:1.锐角三角函数定义;2.勾股定理. 解析:
43
. 【解析】 试题分析:∵在△ABC 中,∠C =90°,cosA =
35,∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==,.
∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33
BC k AC k ===. 考点:1.锐角三角函数定义;2.勾股定理.
24.【解析】
【分析】
将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置,根据旋转的性质可证△AEF 和△ABG 为等边三角形,即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短
EA+EB+EC=GF+E
【解析】
【分析】
将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置,根据旋转的性质可证△AEF 和△ABG 为等边三角形,即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ,表示Rt △GMC 的三边,根据勾股定理即可求出正方形的边长.
【详解】
解:如图,将△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF 的位置,连接EF,GC,BG ,过点G 作BC 的垂线交CB 的延长线于点M.设正方形的边长为2m ,
∵四边形ABCD 为正方形,
∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°,
∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ,
∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,
∴△AEF 和△ABG 为等边三角形,
∴AE=EF,∠ABG=60°,
∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ,
∴GC=13
∵∠GBM=90°-∠ABG =30°,
∴在Rt △BGM 中,GM=m ,3m ,
Rt △GMC 中,勾股可得222GC GM CM =+, 即:222(32)(13)m m m ++=+, 解得:22
m =, ∴边长为22m =
2.
【点睛】 本题考查正方形的性质,旋转的性质,等边三角形的性质和判定,含30°角的直角三角形,两点之间线段最短,勾股定理.能根据旋转作图,得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.
25.60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm ,然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可.
【详解】
解:设旗杆的影长BE为xm,
如图:∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴,
由题意知AB
解析:60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm,然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可.【详解】
解:设旗杆的影长BE为xm,
如图:∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴AB DC
BE CE
=,
由题意知AB=50,CD=15,CE=18,
即,5015
18
x
=,
解得x=60,
经检验,x=60是原方程的解,
即高为50m的旗杆的影长为60m.
故答案为:60.
【点睛】
此题主要考查比例的性质,解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例. 26.x3=0,x4=﹣3.
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x+2看作整体,相当于前面一个方程中的x求解.【详解】
解:∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,m,解析:x3=0,x4=﹣3.
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x+2看作整体,相当于前面一个方程中的x求解.
解:∵关于x 的方程a (x +m )2+b =0的解是x 1=2,x 2=﹣1,(a ,m ,b 均为常数,a ≠0),
∴方程a (x +m +2)2+b =0变形为a [(x +2)+m ]2+b =0,即此方程中x +2=2或x +2=﹣1, 解得x =0或x =﹣3.
故答案为:x 3=0,x 4=﹣3.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解,解题的关键是熟知整体法的应用.
27.25%
【解析】
【分析】
设每次降价的百分比为x ,根据前量80,后量45,列出方程,解方程即可得到答案.
【详解】
设每次降价的百分比为x ,
,
解得:x1=0.25=25%,x2=1.75(不合
解析:25%
【解析】
【分析】
设每次降价的百分比为x ,根据前量80,后量45,列出方程280(1)
45x ,解方程即可
得到答案.
【详解】
设每次降价的百分比为x , 280(1)45x ,
解得:x 1=0.25=25%,x 2=1.75(不合题意舍去)
故答案为:25%.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用,正确理解百分率问题,代入公式:前量(1 x )2=后量,即可解答此类问题.
28.【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG :DG =2:1,然后根据平行线分线段成比例定理可得==2,从而求出CE ,即可求出结论.
【详解】
∵点G 为△ABC 的重心,
∴AG :DG =2:1,
解析:【解析】【分析】
根据重心的性质可得AG:DG=2:1,然后根据平行线分线段成比例定理可得CE
DE
=
AG
DG
=2,从而求出CE,即可求出结论.【详解】
∵点G为△ABC的重心,
∴AG:DG=2:1,
∵GE∥AC,
∴CE
DE
=
AG
DG
=2,
∴CE=2DE=2×2=4,
∴CD=DE+CE=2+4=6.
故答案为:6.
【点睛】
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理,掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.
29.【解析】
【分析】
作OH⊥AB,延长OH交于E,反向延长OH交CD于G,交于F,连接OA、OB、OC、OD,根据折叠的对称性及三角形全等,证明AB=CD,又因AB∥CD,所以四边形ABCD是平行
解析:
【解析】
【分析】
作OH⊥AB,延长OH交O于E,反向延长OH交CD于G,交O于F,连接OA、OB、OC、OD,根据折叠的对称性及三角形全等,证明AB=CD,又因AB∥CD,所以四边形ABCD 是平行四边形,由平行四边形面积公式即可得解.
【详解】
如图,作OH⊥AB,垂足为H,延长OH交O于E,反向延长OH交CD于G,交O于F,连接OA、OB、OC、OD,则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4,
∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠,折叠后的弧均过圆心,
∴OH=HE=1
×4=2
2
,OG=GF=
1
×4=2
2
,即OH=OG,
又∵OB=OD,
∴Rt△OHB≌Rt△OGD,
∴HB=GD,
同理,可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形,
在Rt△OHA中,由勾股定理得:
2222
4223
OA OH
-=-=
∴AB=43
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=434=163
故答案为:3.
【点睛】
本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明,关键是作辅助线,本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形.
30.乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
【详解】
解:∵,
∴队员身
解析:乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
【详解】
解:∵22S S >甲乙,
∴队员身高比较整齐的球队是乙,
故答案为:乙.
【点睛】
本题考查方差.解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量
三、解答题
31.x 1=2,x 2=8.
【解析】
【分析】
把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a 与b 的值,代入方程计算即可求出解.
【详解】
解:将点(-2,40)和点(6,-8)代入二次函数得,
404216836616a b a b =-+⎧⎨-=++⎩
解得:110a b =⎧⎨=-⎩
∴求得二次函数关系式为21016y x x =-+,
当y=0时,210160x x -+=,
解得x 1=2,x 2=8.
【点睛】
此题考查了抛物线与x 轴的交点,抛物线与x 轴的交点与根的判别式有关:根的判别式大于0,有两个交点;根的判别式大于0,没有交点;根的判别式等于0,有一个交点.
32.(1)2y x 2x 3=-++;(2)6;(3)()1,1P
【解析】
【分析】
(1)将M,N 两点代入2
y x bx c =-++求出b,c 值,即可确定表达式;
(2)令y=0求x 的值,即可确定A 、B 两点的坐标,求线段AB 长,由三角形面积公式求解.
(3)求出抛物线的对称轴,确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标,直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点,利用一次函数求出P 点坐标.
【详解】
解:将点()0,3M ,()2,5N --代入2y x bx c =-++中得,。