高考数学一轮复习课时分层训练15导数与函数的极值最值理北师大版

课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值
A 组 基础达标
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝ln(－x )
C ．y ＝x e －x
D ．y ＝x ＋2
x
D [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3
单调递增(无极值)，而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]
2．(·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3
－12x 的极小值点，则a ＝( )
A ．－4
B ．－2
C ．4
D ．2
D [由题意得f ′(x )＝3x 2
－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，
f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上
为减函数，在(2，＋∞)上为增函数． ∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.] 3．函数f (x )＝12
x 2
－ln x 的最小值为( )
【导学号：79140083】
A.12 B ．1 C ．0
D ．不存在
A [f ′(x )＝x －1x ＝x 2
－1
x
且x ＞0.
令f ′(x )＞0，得x ＞1. 令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.
∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，
f (1)＝1
2－ln 1＝12
.]
4．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3
＋27x ＋123(x ＞0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件
D ．4百万件
C [y ′＝－3x 2
＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0＜x ＜3时，y ′＞0；
当x ＞3时，y ′＜0.
故当x ＝3时，该商品的年利润最大．]
5．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2
－4×3(a ＋6)＞0，即a 2
－3a －18＞0， ∴a ＞6或a ＜－3.] 二、填空题
6．(·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.
5 [f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3.
依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根， 所以3×(－3)2
＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值．]
7．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________.
【导学号：79140084】
π
6
＋ 3 [y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0， 结合x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，解得x ＝π6，
易知当x ∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′＜0，故在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，函数y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取最大值
π
6
＋ 3.] 8．设a ∈R ，若函数y ＝e x
＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．
(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x
＋a . ∵函数y ＝e x
＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x
＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x
＜－1.] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 2
＋b (a ，b ∈R )．
(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；
(2)当a <0时，若函数满足f (x )max ＝1，f (x )min ＝－3，试求y ＝f (x )的解析式． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2
＋2ax . 依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，
即2ax ≥3x 2
.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3， 即a 的取值范围是[3，＋∞)．
(2)∵f ′(x )＝－3x 2
＋2ax ＝x (－3x ＋2a )． ∵a ＜0，当x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增．
当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－3
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝1.
∴f (x )＝－x 3
－3x 2
＋1.
10．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，且当x ＝2
3
时，y ＝f (x )取极值．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． [解] (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .
∴f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，① 当x ＝23时，y ＝f (x )取极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.
(2)由(1)可得f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2
＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23
.
当x 在[－3,1]上变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：
∴所求最小值为27
，最大值为13.
B 组 能力提升
11．(·西宁检测(一))设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )
C [由题意可得f ′(－2)＝0，且当x ＜－2时，f ′(x )＜0，则y ＝xf ′(x )＞0，故排除B 和
D ；当x ＞－2时，f ′(x )＞0，所以当x ∈(－2,0)时，y ＝xf ′(x )＜0，当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0，故排除A ，选C.]
12．(·四川宜宾三中期末)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( ) A.14 B.13 C.12
D ．1
D [由f (x )是奇函数，且当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1知，当x ∈(0,2)时，
f (x )的最大值为－1.易知f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1
a
.
∵a ＞12，∴1a ∈(0,2)，当0＜x ＜1
a 时，f ′(x )＞0；
当x ＞1
a
时，f ′(x )＜0.
∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.]
13．(·北京高考改编)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 3
－3x ，x ≤0，
－2x ，x ＞0，则f (x )的最大值为________．
2 [当x ＞0时，f (x )＝－2x ＜0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)，当
x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，
∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.] 14．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2
.
【导学号：79140085】
(1)若当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并求f (x )的单调区间； (2)若f (x )存在极值，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝
1x ＋a ＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32
. 从而f ′(x )＝(2x ＋1)(x ＋1)x ＋32
，且f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞，当－32＜x ＜－1时，f ′(x )＞0；
当－1＜x ＜－1
2时，f ′(x )＜0；
当x ＞－1
2
时，f ′(x )＞0.
∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞上单调递增， 在⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减． (2)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2
＋2ax ＋1
x ＋a .
方程2x 2
＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2
－8，
①若Δ≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，故f (x )无极值．
②若Δ＞0，即a ＜－2或a ＞2，则2x 2
＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根，x 1＝－a －a 2
－22，x 2＝－a ＋a 2
－2
2
.
当a ＜－2时，x 1＜－a ，x 2＜－a ， 故f ′(x )＞0在定义域上恒成立， 故f (x )无极值．
当a ＞2时，－a ＜x 1＜x 2，故f (x )在(－a ，x 1)上递增，(x 1，x 2)上递减，(x 2，＋∞)上递增．
故f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值．
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，＋∞)．。