浙东北三校2010-2011学年高二下学期期中考试(数学文)

2010-2011学年第二学期浙东北（ZDB ）三校期中考试
高二数学试卷（文科）
命题 元济高级中学 马喜君 钟董甫
总分100分 考试时间120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均得零分）
1．已知集合2|{-<=x x A ，或}1>x ，{}
03<≤-=x x B ，则B A ⋂等于（ ）
A ．{}02<≤-x x
B ．{}02<<-x x
C ．{}23-<≤-x x
D ．{}13<≤-x x
2．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ）
A ．x
y 2log -=
B ．x x y +=3
C ．x
y )2
1(=
D ．x
y 1=
3．一个物体的运动方程为2
1t t s ++=，其中s 的单位是米、t 的单位是秒，那么物体在3秒时的瞬时速度是（ ）
A 5米／秒
B 6米／秒
C ．7米／秒
D ．8米／秒 4．若复数i m m m m z )()34(2
2
-++-=为纯虚数，则实数m 等于（ ）
A ．0或1
B ．1
C ．1或3
D ．3
5．若函数322+-=x x y ，则函数图象在点)3,2(处的切线方程为（ ）
A ．1+=x y
B ． 12+=x y
C ．12-=x y
D ．33-=x y 6．已知函数x x f =)(，)(x g 是定义在R 上的偶函数，当0>x 时，x x g ln )(=，则
函数)()(x g x f y ⋅=的大致图像为（ ）
7．函数344
+-=x x y 在区间]3,2[-上的最大值为（ ） A 72 B 8 C 27 D 0 8．函数1
1
2+--=
x x y 在区间),(a -∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．]0,(-∞
B ．]1,(--∞
C ．),0[+∞
D ．),1[+∞- 9．函数6)(2
++=bx ax x f )0(≠ab 满足条件)3()1(f f =-，则)2(f 的值为（ ）
A.5
B.6
C.8
D.与b a 、值有关
10．已知函数)()(,cos )(010x f x f x x f '==，)()(12x f x f '=，)()(,1x f x f n
n '=+ ，N n ∈，则=)(2011x f （ ）
A.x sin
B.x sin -
C.x cos
D.x cos -
11．下列求导数运算正确的是（ ）
A ．2ln 2)2(x x
=' B ．2
ln 1
)(log 2x x ='
C ．x
x x 1
1)1(+='-
D ．x x x x x 2cos 2sin )2sin (+=' 12．若函数a ax x x f +-=2)(2
在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x
x f )
(在区间),1(+∞ 上（ ）
A ．有两个零点
B ．有一个零点
C ．无零点
D ．无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，请将答案写在答卷上）
13．若3
)(x x f =，3)(0='x f ，则0x 的值为 ▲ ．
14．若数列}{n a 、}{n b 都是等差数列，则数列}{n n b a +、}{n n b a -均为等差数列．类
比上述性质，若数列}{n a 、}{n b 都是等比数列，则数列 ▲ 均为等比数列．
15．已知复数i z -=1，则
=--1
22z z
z ▲ ． 16．函数)(x f y =的图象在点1=x 处的切线方程是8+-=x y ，)1()1(f f '+=▲． 17．点P 是曲线x x y ln 2
-=上任意一点, 则点P 到直线2-=x y 的距离的最小
值 ▲ ．
18．已知函数|log |)(3x x f =，正实数m ，n 满足n m <，且)()(n f m f =，若)(x f 在
区间],[2
n m 上的最大值为2，则=+n m ▲ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分，请将解答过程写在答卷上）
19．（本题6分）
求垂直于直线0162=+-y x 并且与曲线532
3-+=x x y 相切的直线方程．
20．（本题6分）
已知函数12)(2
--+=x x x f ，R x ∈．
（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的最小值．
21．（本题8分）
已知一长方形纸片，它长与宽分别为6和4，现将纸片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成无盖长方体盒子．
（1）试把长方体盒子的容积V 表示为x 的函数； （2）x 多大时，长方体盒子的容积V 最大？
22．（本题8分）
已知函数13)(2
3
+-+=x x ax x f ． （1）若9=a ，求函数)(x f 的极大值；
（2）若函数)(x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围．
23．（本题8分）
已知函数23
3
1)(x x x f +=
． （1）设函数mx x f x g +=)()(，若)(x g 的极值存在，求实数m 的取值范围；
（2）设}{n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中)1(1f a '=．若点)2,(12
1++-n n n a a a
)(*∈N n 在函数)(x f y '=的图象上，求证：点),(n S n 也在)(x f y '=的图象上．
24．（本题10分）
已知函数x ax x f 22
1)(2
+=
，x x g ln )(=． （Ⅰ）如果函数)(x f y =在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数0>a ，使得方程
)12()()(+-'=a x f x x g 在区间),1
(e e
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的a 取值范围；若不存在，请说明理由．
2010-2011学年第二学期浙东北（ZDB ）三校期中考试
高二数学答案（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C ； 6．A ；
7．A ；
8．B ；
9．B ；
10．A ；
11．B ； 12．C ．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．1±；
14．{}n n b a ⋅，⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a ； 15．i 2-； 16．6； 17．2； 18．3
10 三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．解：设切点坐标),(00y x ，∵x x y 632
+='，∴02
063x x k +=………2分
又∵切线垂直于直线0162=+-y x ， ∴36302
0-=+=x x k ，得10-=x ，
……………4分
∴切点坐标)3,1(--，故切线方程为63--=x y ．
…………………6分
21．解：（1）)26)(24(x x x V --=)20(<<x ……………3分
（2）令0)6103(42
=+-='x x V ，得375-=
x （3
7
5+舍去）， ………5分 又当3750-<
<x 时，0>'V ；当
23
7
5<<-x 时，0<'V ， ∴当3
7
5-=
x 时，V 有最大值． ………………8分
23..解：（1）∵=
)(x g mx x x ++23
3
1，∴m x x x g ++='2)(2， ∵)(x g 的极值存在，∴044>-=∆m ，∴m 的取值范围是1<m ； ………3分 （2）∵x x x f 2)(2
+='，∴3)1(1='=f a ，
又n n n n a a a a 222
121+=-++，∴0))(2(11=+--++n n n n a a a a ，
∵0>n a ，∴21=-+n n a a ，
∴}{n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴12+=n a n ，从而n n S n 22
+=，
∴点),(n S n 也满足x x x f 2)(2
+='，所以也在)(x f y '=的图象上．…………8分 24. 解：（1） 当0=a 时，x x f 2)(=在),1[+∞上是单调增函数，符合题意
当0>a 时，)(x f y =的对称轴方程为a
x 2
-
=，
由于)(x f y =在),1[+∞上是单调增函数， 所以12
≤-
a
，解得02>-≤a a 或，所以0>a 当0<a 时，不符合题意综上，a 的取值范围是0a ≥……5分 （2）把方程
)12()()(+-'=a x f x x g 整理为)12(2ln +-+=a ax x
x
， 即为方程0ln )21(2
=--+x x a ax 设)0(ln )21()(2
>--+=x x x a ax x H ，
原方程在区间),1(e e 内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数)(x H 在区间),1(e e
内有且只有两个零点 x
a ax x H 1
)21(2)(-
-+='
x x a ax 1)21(22--+=x
x ax )1)(12(-+=
令0)(='x H ，因为0>a ，解得1=x 或a
x 21
-
=（舍） 当)1,0(∈x 时, 0)(<'x H , )(x H 是减函数； 当),1(+∞∈x 时, 0)(>'x H ，)(x H 是增函数
)(x H 在),1
(e e
内有且只有两个不相等的零点, 只需
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧><>0
)(0)(0)1(min e H x H e H ∴1212-+<
<e e
e a ……………………10分。