湘教版八年级下册数学勾股定理的逆定理同步测试题

1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第3课时勾股定理的逆定理
一、选择——基础知识运用
1．在△ABC中，AB=，BC=，AC=，则（）
A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．∠A=∠B
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3
C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=3
4．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。

其中直角三角形有（）个。

A．4 B．3 C．2 D．1
5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）
A．∠A+∠C=∠B
B．a=，b=，c=
C．（b+a）（b-a）=c2
D．∠A：∠B：∠C=5：3：2
二、解答——知识提高运用
6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积。

7．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。

8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，
求四边形ABCD的面积。

9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。

工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。

（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积。

10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由。

11．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和
龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？。

12．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】∵AB2=（）2=2，BC2=（）2=5，AC2=（）2=3，
∴AB2+AC2=BC2，
∴BC边是斜边，
∴∠A=90°。

故选A．
2．【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。

3．【答案】D
【解析】A、因为1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为22+42≠52，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为42+32=52，所以三条线段能组成直角三角形。

故选：D。

4．【答案】A
【解析】①因为12+12=（）2三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
③设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，则三角分别为30°，60°，90°，故是直角三角形；
④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。

所以有4个直角三角形。

故选：A。

5．【答案】B
【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；
B、设a=20k，则b=15k，c=12k，
∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，
故不能判定是直角三角形；
C、∵（b+a）（b-a）=c2，
∴b2-a2=c2，
即a2+c2=b2，
故是直角三角形，正确；
D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，
∴∠A=×180°=90°，
故是直角三角形，正确．
故选：B。

二、解答——知识提高运用
6．【答案】120cm2
【解析】设该三角形的三边是5k，12k，13k．
因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，
所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．
根据题意，得5k+12k+13k=60，
解得k=2，
则5k=10，12k=24，
则该直角三角形的面积是120。

故答案为：120cm2
7．【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，∴b2-4ac=16-4b=0
解得：b=4，
∵a=3，c=5，
∴32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．。

8．【答案】连接BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∵BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，
∵BD＞0，
∴BD=，
在△ABD中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6．故四边形ABCD的面积是6。

9．【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求。

（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36。

10．【答案】能检查。

作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B。

（2）连接AB得△PAB。

（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P 就不是直角。

理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52．
若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角。

11．【答案】龙梅走的路程：×4×60=120（米），
玉荣走的路程：×4×60=160（米），
∵1202+1602=2002，
∴她们走的方向成直角，
以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（+）=200÷= =171（秒）；
答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相遇．
12．【答案】BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，
BM2+BP2=PM2，
∴∠MBP=90°，
180°-90°-60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行。

八年级下册数学
期末测试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）
A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11
3．（3分）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D为AB的中点，则CD=（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．（3分）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）
A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm
6．（3分）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
7．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．四条边相等
8．（3分）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，则b= ．
（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．10．
11．（3分）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= ．12．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是．（写一种即可）
13．（3分）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC 长为cm．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，
向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A
1（0，1），A
2
（1，
1），A
3（1，0），A
4
（2，0），…那么点A
4n+1
（n为自然数）的坐标为（用
n表示）．
三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）
17．（6分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A
1O
1
B
1
，请画出△A
1
O
1
B
1
；
（3）在（2）的条件下，A
的坐标为．
1
18．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．
19．（8分）已知一次函数y=（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．
20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
21．（10分）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：
组别次数x 频数（人
数）
第1组80≤x＜100 6
第2组100≤x＜120 8
第3组120≤x＜140 a
第4组140≤x＜160 18
第5组160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
23．（10分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；
（2）货车的平均速度是km/h；
（3）求线段DE对应的函数解析式．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s 的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．
（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；
（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．
2016-2017学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（3分）（2017春•永定区期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）（2017春•永定区期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）
A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵12+12=2=（）2，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
B、∵22+32=25≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵62+82=100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．（3分）（2017春•永定区期末）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：A、（2，3）第一象限，
B、（﹣2，﹣3）第三象限，
C、（﹣2，3）第二象限，
D、（2，﹣3）第四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（3分）（2017春•永定区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D为AB的中点，则CD=（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC=8cm，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵点D为AB的中点，
∴CD=4cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．（3分）（2017春•永定区期末）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）
A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm
【分析】根据题意得出平行四边形的邻边长的和为13cm，进而利用△ABC的周长是18cm求出AC即可．
【解答】解：如图所示：∵▱ABCD的周长是26cm，
∴AB+BC=13cm，
∵△ABC的周长是18cm，
∴AC=18﹣13=5（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出AB+BC=13cm是解题关键．
6．（3分）（2017春•永定区期末）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）
A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．
【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，
∴AB==5．
即这个菱形的周长为：20．
故选B．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．
7．（3分）（2017春•博兴县期末）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．四条边相等
【分析】根据正方形和菱形的性质容易得出结论．
【解答】解：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形和菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键；注意区别．
8．（3分）（2004•四川）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）
A．B．C．D．
【分析】先根据题意列出s、t之间的函数关系式，再根据函数图象的性质和实际生活意义进行选择即可．
【解答】解：根据题意可知s=400﹣100t（0≤t≤4），
∴与坐标轴的交点坐标为（0，400），（4，0）．
要注意x、y的取值范围（0≤t≤4，0≤y≤400）．
故选C．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，首先确定此函数为一次函数，然后根据实际意义，函数图象为一条线段，再确定选项即可．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2017春•永定区期末）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，则b= ﹣1 ．
【分析】直接把点P（3，2）代入一次函数y=x+b即可．
【解答】解：∵P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，
∴3+b=2，解得b=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．（3分）（2016•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
11．（3分）（2017春•永定区期末）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= 8 ．
【分析】首先根据y与x成正比例列出函数关系式，然后代入x、y的值即可求解．
【解答】解：∵y与x成正比例，
∴y=kx（k≠0）．
∵当x=1时，y=2，
∴k=2，
∴y与x之间的函数解析式是y=2x，
∴当x=4时，y=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将一对未知数的值代入解析式，利用方程解决问题．
12．（3分）（2017春•永定区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是AC=BD ．（写一种即可）
【分析】根据“HL”添加AC=BD或BC=AD均可．
【解答】解：可添加AC=BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC=BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
13．（3分）（2017春•永定区期末）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是（﹣1，1）．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：根据题意，知点Q的坐标是（﹣3+2，4﹣3），即（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．（3分）（2017春•永定区期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC
的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16．
故答案为16．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
15．（3分）（2017春•永定区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为 5 cm．
【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积总和为6cm 2，AD=4cm ，则AD ×CD=×4×CD=6，CD=3，在直角三角形ACD 中AD=4，CD=3，由勾股定理得AC=5， ∴对角线AC 长为5cm ． 故答案为5．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，是基础知识比较简单．
16．（3分）（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n+1（n 为自然数）的坐标为 （2n ，1） （用n 表示）．
【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A 4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可．
【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A 5（2，1）， n=2时，4×2+1=9，点A 9（4，1）， n=3时，4×3+1=13，点A 13（6，1）， 所以，点A 4n+1（2n ，1）． 故答案为：（2n ，1）．
【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3
时对应的点A
4n+1
的对应的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）
17．（6分）（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A
1O
1
B
1
，请画出△A
1
O
1
B
1
；
（3）在（2）的条件下，A
1
的坐标为（﹣2，3）．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A
1、O
1
、B
1
的位置，然后
顺次连接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．
【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；
（2）△A
1O
1
B
1
如图所示；
（3）A
1
的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF ⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．
【分析】根据角平分线的性质就可以得出CE=CF，再由HL证明△CEB≌△CFD就可以得出结论．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEB=90°，CE=CF．
在Rt△CEB和Rt△CFD中
，
∴△CEB≌△CFD（HL），
∴BE=DF．
【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，
解答时证明△CEB≌△CFD是关键．
19．（8分）（2017春•永定区期末）已知一次函数y=（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．
【分析】（1）由一次函数图象经过原点，可得出m﹣3=0，解之即可得出结论；（2）由一次函数图象经过一、三、四象限，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过原点，
∴m﹣3=0，
解得：m=3．
（2）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过一、三、四象限，
∴，
解得：﹣＜m＜3．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，找出m﹣3=0；（2）根据一次函数图象与系数的关系，找出关于m的一元一次不等式组．
20．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC==，
在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
=AB•BC+AC•CD，
∴S
四边形ABCD
=×1×2+××2，
=1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
21．（10分）（2017春•永定区期末）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以
测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人
数）
第1组80≤x＜100 6
第2组100≤x＜120 8
第3组120≤x＜140 a
第4组140≤x＜160 18
第5组160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
【分析】（1）本题需先根据表中所给的数据以及频数与频率之间的关系即可求出答案；
（2）本题需根据频数分布表中的数据即可将直方图补充完整；
（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8=14人，然后除以总人数即可求出该校九年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的
概率，然后即可得出人数；
【解答】解：（1）a=50﹣（6+8+18+6）=12；
（2）频数分布直方图如图所示：
（3）抽样调查中不合格的频率为：=0.28，
估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28=280（个）
答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．
【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）（2017春•永定区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形OAB即可解决问题；（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；
【解答】解：（1）菱形ABCD的周长为32cm，
∴菱形的边长为32÷4=8cm
∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），
∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8cm，
∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，
∴BO=4cm，
∴BD=8cm；
（2）菱形的面积=AC•BD=×8×8=32（cm2）．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，属于中考常考题型．
23．（10分）（2017春•永定区期末）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5 h；
（2）货车的平均速度是60 km/h；
（3）求线段DE对应的函数解析式．
【分析】（1）根据点C、D的横坐标，即可求出轿车在途中停留的时间；
（2）根据速度=路程÷时间，即可求出货车的平均速度；
（3）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出线段DE对应的函数解析式．
【解答】解：（1）2.5﹣2=0.5（h）．
故答案为：0.5．
（2）300÷5=60（km/h）．
故答案为：60．
（3）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），
将点D（2.5，80）、点E（4.5，300）代入y=kx+b，
，解得：．
∴线段DE对应的函数解析式为y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用点D的横坐标﹣点C的横坐标，求出停留时间；（2）根据数量关系，列式计算；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出线段DE的函数解析式．
24．（12分）（2017春•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，
点Q从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s 的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．
（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；
（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．
【分析】（1）先判断出AD∥BC，AD=BC=3，再由运动知，AQ=PC=t，即可得出结论；
（2）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；
（3）利用勾股定理表示出BQ，再由BQ=BP建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=3，
由运动知，AQ=t，PC=t，
∴AQ=PC，
∴AD﹣AQ=BC﹣PC，
∴DQ=BP，
∵AD∥BC，
∴四边形BQDP为平行四边形，
（2）由（1）知，四边形BQDP是平行四边形，
∵PC=t，
∴BP=BC﹣PC=3﹣t，
∴S=BP×AB=（3﹣t）×1=﹣t+3
（3）如图，
在Rt△ABQ中，AQ=t，AB=1，
根据勾股定理得，BQ==，
由运动知，CP=t，
∴BP=3﹣t，
∵平行四边形BQDP是菱形，
∴BQ=BP，
∴=3﹣t，
∴t=，
当时，四边形BQDP为菱形．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解（1）的关键是得出AQ=PC，解（2）的关键是利用平行四边形的面积公式求解，解（3）的关键是表示出BQ，用BQ=BP建立方程求解，是一道中等难度的题目．。