高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课堂导学案 新人教A版选修4-

4.2 用数学归纳法证明不等式
课堂导学
三点剖析
一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）
【例1】 对于n∈N ,证明131
2111++
++++n n n >1. 证明：当n=1时，左边=12
13
>1=右边；
设n=k 时，有1
31
2111++
++++k k k >1; 当n=k+1时，左边
1313121++++++k k k ++++=+++++=2
1
11)431331231(k k k k k 3
32
4312311)11431331231(131+-
++++>--++++++++k k k k k k k k )
43)(33)(23(2
1++++
=k k k >1=右边.
所以对一切自然数n 不等式均成立. 温馨提示
解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n=k 到n=k+1增减的项. 各个击破 类题演练1
对于n∈N ，试比较2n 与n 2
的大小. 解析：
先验算n=1时，2n >n 2，n=2和n=4时，2n =n 2,n=3时,2n <n 2
.
而当n=5时，有2n >n 2,猜测对n≥5有2n >n 2
. 用数学归纳法证明如下： （1）当n=5时，已证.
（2）设当n=k(k≥5)时，2k >k 2且k 2
>2k+1.
当n=k+1时，2k+1=2·2k >2k 2>k 2+2k+1=(k+1)2
, 即n=k+1时成立. 由（1）、（2），知猜测正确. 变式提升1 求证：1+
2
1213121n n >-+++ . 证明：用数学归纳法.当n=1时，显然不等式成立.
根据归纳假设，当n=k 时，命题成立，即 1+
2
1213121k k >-+++ .① 要证明n=k+1时，命题也成立，即
1+
21
1
211212112131211+>
-+++++-++++k k k k k .② 要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（1
21
121211
-+++++k k k ）,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证121121211
-+++++k k k ≥2
1
.③ ③式左边共有2k
项，且1
21
1-+k 最小，故21
2212212112121111=>->-+++++++k k k k k k
k ,这就证明了③式成立.
综上，知不等式成立.
二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二） 【例2】 已知n 是大于1的自然数，求证：
(1+
31)(1+51)(1+71)…(1+121-n )>122
1+n . 证明：假设n=k(k≥2)时，原不等式成立，即（1+31）(1+51)(1+71)…(1+121-k )>122
1
+k .
则当n=k+1时，左边=（1+31）（1+51）（1+71）…（1+121-k ）·(1
21
+k )>
122
1
+k ·(1+
1
21+k )=
2
1(
1
2112++
+k k ).现在关键证
21(1
2112+++k k )>1)1(221
++k ,直接证较繁,下面用分析法证之. 欲证2
1
（1
2112++
+k k ）>
1)1(221
++k ,即证321
2112+>++
+k k k ,只需证2k+1+
121+k +2>2k+3,即1
21
+k >0.这显然是成立的，故当n=k+1时，原不等式成立. 综上，当n 为大于1的自然数时，原不等式成立.
温馨提示
用数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n=k+1时不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需n=k 时，A （k ）≥B(k)成立,然后有A （k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 类题演练2
在数列{a n }中，|a n |<2,且a n+1a n -2a n+1+2a n <0, 求证：a n >n
2
-
(n∈N ). 证明：∵|a n |<2, ∴-2<a n <2.∴2-a n >0. 由题设a n+1(2-a n )>2a n ,则a n+1>
n
n
a a -22.
1°当n=1时，由|a n |<2,得a 1>-2=1
2
-成立. 2°假设当n=k 时，有a k >k
2
-成立.（下证a k +1>12+-k 成立）
设f(x)=x
x
-22,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又a k +1>f(a k ),由归纳假设,可知a k >k
2-
, ∴a k+1>f(a k )>f(k
2-)=1222)
2(2+-=+
-•k k
k ,即当n=k+1时，a k+1>12+-k 成立.故对任意n∈N ，
a n >n
2
-成立.
变式提升2
设a,b∈R *
,n∈N *
,求证：2n n b a +≥(2
b a +)n
.
证明：①n=1时，左边=右边=
2
b
a +,原不等式成立. ②设n=k 时,原不等式成立，即2k k
b a +≥(2b a +)k
成立.
∵a,b∈R +
,∴2
b a +·2k
k b a +≥2)(1++k b a 成立.
∴要证明n=k+1时原不等式成立，即证明
)2(211b a b a k k +≥+++k+1
成立. 只需证明:2
2211k
k k k b a b a b a +•+≥+++成立.
只需证明:a k+1
+b k+1
≥ab k
+a k
b 成立. 下面证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k
b 成立.
不妨设a≥b>0,则a k+1+b k+1-ab k -a k b=(a k -b k
)(a-b)≥0. ∴a k+1+b k+1≥ab k +a k
b 成立. 故n=k+1时原不等式成立.
由①②,可知对于任何n∈N *
，原不等式成立. 三、数学归纳法证明不等式的点问题
【例3】 证明n 为一切自然数时，（1+2+…+n）·（1+21+…+n
1）≥n 2
. 证明：
先看下面的证明
（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.
（2）假设n=k(k∈N 且k≥1)命题正确，即(1+2+…+k)·(1+
21+…+k
1)≥k 2
，则n=k+1时， 左边=［1+2+…+k+(k+1)］［1+21+…+111++k k ］=(1+2+…+k)·(1+21+…+k
1
)
+121+++k k +(k+1)·（1+21+…+k 1）+1≥k 2+21k+(k+1)(1+21+…+k 1)+1， ∵1+21+…+k 1≥1+2
1,
∴左边≥k 2+21k+(k+1)(1+21)+1
=k 2+2k+1+2
3≥k 2+2k+1=(k+1)2
.
∴n=k+1时命题正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确.
初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1+
21+…+k 1≥1+2
1
”,此结论成立的前提条件是k≥2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n≥2(n∈N )的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2
时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是： （1）n=1,2时命题正确，
（2）n≥2时，用数学归纳法证明
假设n=k(k∈N 且k≥2)时命题正确，证明n=k+1时命题也正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 温馨提示
对于一个n≥n 0(n∈N )的真命题，如果用数学归纳法证明，第一步总是n=n 0时命题正确的验证.这种想法是不对的，到底“奠基”步中从哪个数字开始，要看问题的条件. 类题演练3
若a i >0(i=1,2,…,n),且a 1+a 2+…+a n =1, 求证：a 12
+a 22
+…+a n 2
≥
n
1
(n∈N 且n≥2). 证明：(1)n=2时，∵a 1+a 2=1,∴a 12
+a 22
=a 12
+(1-a 1)2
=2(a 1-
21)2+21≥2
1. ∴n=2时命题正确.
（2）假设n=k(k≥2)时命题正确，即如果a 1+a 2+…+a k =1且a i >0(i=1,2,…,k), 那么a 12
+a 22
+…+a k 2
≥
k
1
,则n=k+1时， ∵a 1+a 2+…+a k +a k+1=1, ∴a 1+a 2+…+a k =1-a k+1. ∵0<a k+1<1,∴0<1-a k+1<1. ∴k 个正数的和
1
12
11111+++-++-+-k k k k a a a a a a =1,从而由归纳假设得
k
a a a a a a k k k k 1
)1()1()1(
21212211≥-++-+-+++ ,
即a 12
+a 22
+…+a k 2
≥
k 1(1-a k+1)2,从而有a 12+a 22+…+a k 2+a k+12≥k 1(1-a k+1)2+a k+12
. 下面只要证明k 1(1-a k+1)2+a k+12
≥1
1+k ,
即证(k+1)2
a k+12
-2(k+1)a k+1+1≥0，
即证［(k+1)a k+1-1］2
≥0,∴上式成立. 故n=k+1时命题正确. 变式提升3
设x>0，x≠1,求证：
（1+x n ）(1+x)n >2n+1x n
(n∈N ).
证明：（1）n=1时，左边=(1+x)2
,右边=4x,
∵(1+x)2-4x=(1-x)2
>0,
∴(1+x)2
>4x.∴n=1时命题正确.
（2）假设n=k(k∈N 且k≥1)时命题正确，即(1+x k )(1+x)k >2k+1x k ,则n=k+1时，（1+x k+1
）
(1+x)k+1-2k +2x k+1=(1+x k+1)(1+x)k+1-2x·2k+1x k >(1+x k+1)(1+x)k+1-2x(1+x k )(1+x)k
=(1+x)k ［(1+x)(1+x k+1)-2x(1+x k
)］
=(1+x)k (1+x+x k+1+x k+2-2x-2x k+1
)
=(1+x)k (1-x)(1-x k+1
), ∵x>0且x≠1,
∴1-x 与1-x k+1
同号.
∴（1+x ）k ·(1-x)(1-x k+1
)>0.
∴（1+x k+1）(1+x)k+1>2(k+1)+1x k+1
. ∴n=k+1时命题正确.。