2014-2015学年高中数学 第1章 §5二项式定理同步测试 北师大版选修2-3

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 §5二项式定理同步
测试 北师大版选修2-3
一、选择题
1．(2013·江西理，5)(x 2
－2x
3)5展开式中的常数项为( )
A ．80
B ．－80
C ．40
D ．－40
[答案] C
[解析] T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r
(－2x
3)r ＝C r 5x 10－2r ·(－2)r ·x －3r
＝C r
5(－2)r
·x
10－5r
.
令10－5r ＝0，∴r ＝2，常数项为C 2
5×4＝40.
2．在(1－3x )n
的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为( ) A ．5670 B ．－5670x 4
C ．5670x 4
D ．1670x 4
[答案] C
[解析] 偶数项的二项式系数的和为2n －1
＝27，即n ＝8，中间项为T 5＝C 48(－3x )4
＝
5670x 4
，故选C 项．
3．(2012·重庆理，4)(x ＋12x )8
的展开式中常数项为( )
A.3516
B.358
C.354
D ．105
[答案] B
[解析] 本题考查了二项式定理展开通项公式，T r ＋1 ＝C r
8(x )8－r
(
12x
)r ＝C r
8·
12
r ×x 8－2r 2
，当r ＝4时，
T r ＋1为常数，此时C 48×1
24＝
358
，故选B. 要熟练地掌握二项展开式的通项公式． 二、填空题
4．(2014·湖北理改编)若二项式(2x ＋a x
)7的展开式中1
x
3的系数是84，则实数a ＝
________
[答案] 1
[解析] 二项式(2x ＋a x
)7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )
7－r
(a x
)r ＝C r 72
7－r a r x 7－2r
，令7－2r ＝－
3，得r ＝5.故展开式中1x
3的系数是C 5722a 5
＝84，解得a ＝1.
5．(2014·新课标Ⅰ理，13)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7
的系数为________．(用数字填写答案)
[答案] －20
[解析] 本题考查二项式定理和二项展开式的通项公式，满足x 2y 7
的二项式系数是C 1
8－C 2
8＝－20.解答本题可以直接将(x ＋y )8
的展开后相乘得到x 2y 7
的二项式系数，要注意相乘时的符号．
三、解答题 6．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
x
－
x 29
的展开式中x 3
的系数为9
4，求常数a 的值． [解析] T r ＋1＝C r
9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x
9－r ⎝
⎛
⎭
⎪⎫－x 2r
＝C r
9(－1)r
·2－r
2
·a
9－r
·x 3
2
r －9 令3
2r －9＝3，即r ＝8. 依题意，得 C 8
9(－1)8
·2－4
·a 9－8
＝94
. 解得a ＝4.
[点评] 解决此类问题往往是先写出其通项公式，然后根据已知条件列出等式进行求解.
一、选择题
1．(2014·浙江理，5)在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中，记x m y n
项的系数为f (m ，n )，则
f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
[答案] C
[解析] f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 3
6＋C 2
6C 1
4＋C 1
6C 2
4＋C 3
4＝20＋60＋36＋4＝120，选C.
注意m ＋n ＝3.即求3次项系数和． 2．若(1－2x )2015
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2015x
2015
(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2015
22015的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2
[答案] C
[分析] 由二项展开式可采用赋值法：令x ＝0，可得等式左边为(1－2×0)2015
＝1，右
边为a 0，等式即a 0＝1；令x ＝12，可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2015
2
2015＝0，易求值．
[解析] 对于(1－2x )
2015
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2015x
2015
(x ∈R )，
令x ＝0，可得a 0＝1，
令x ＝12，可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a
2015
22015＝0，
所以a 12＋a 222＋…＋a 2015
2
2015＝－1.故选C. 3．设(1＋x )8
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
[答案] A
[解析] (1＋x )8
＝C 0
8＋C 1
8x ＋C 28x 2
＋…＋C 88x 8
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8
，即a i ＝C i
8(i ＝0,1,2，…，8)．由于C 0
8＝1，C 1
8＝8，C 2
8＝28，C 3
8＝56，C 4
8＝70，C 5
8＝56，C 6
8＝28，C 7
8＝8，C 8
8＝1，可得仅有C 0
8和C 8
8两个为奇数，所以a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为2.
4．(2012·湖北理，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012
＋a 能被13整除，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12
[答案] D
[解析] 本题考查二项展形式的应用． 51
2012
＝(52－1)
2012
＝52
2012
－…＋1，若想被13整除须加12，∴a ＝12，整除问题是二项
展开式的重要应用．
5．(2013·长春十一高中高二期中)若a 为正实数，且(ax －1x
)2014
的展开式中各项系数
的和为1，则该展开式第2014项为( )
A.
1
x
2014
B ．－
1
x
2014
C.
4028x 2012
D ．－4028x
2012
[答案] D
[解析]由条件知，(a －1)2014
＝1，∴a －1＝±1，
∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2014项为：
T 2014＝C 20132014·(2x )·(－1
x
)
2013
＝－2C 12014·x －2012
＝－4028x
－2012
，故选D.
二、填空题
6．(2012·全国大纲理，15)若(x ＋1x
)n
的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
则该展开式中1
x
2的系数为______．
[答案] 56
[解析] 本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：C 2
n ＝C 6
n ，得：n ＝8.∵(x ＋1x
)8展开式中通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－2r ，∴令8－2r ＝－2，即r ＝5，∴C 5
8＝56，即为所
求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．
7．(2014·山东理，14)若(ax 2
＋b x
)6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2
的最小值为________．
[答案] 2 [解析] T r ＋1＝C r 6a
6－r b r x 12－3r
令12－3r ＝3，∴r ＝3， ∴C 36a 3b 3
＝20， 即ab ＝1 ∴a 2
＋b 2
≥2ab ＝2 三、解答题
8．(1)在(x －3)10
的展开式中，求x 6
的系数． (2)求(1＋x )2
·(1－x )5
的展开式中x 3
的系数． [解析] (1)(x －3)10
的展开式的通项是
T k ＋1＝C k 10x
10－k (－3)k
. 令10－k ＝6，∴k ＝4.
由通项可知含x 6
项为第5项，即
T 4＋1＝C 410x
10－4(－3)4＝9C 410x 6
. ∴x 6的系数为9C 4
10＝1 890.
(2)解法一：(1＋x )2
·(1－x )5
＝(1－x 2)2
(1－x )3
＝(1－2x 2
＋x 4
)·(1－3x ＋3x 2
－x 3
)， ∴x 3
的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5. 解法二：∵(1＋x )2
的通项是T r ＋1＝C r 2·x r
， (1－x )5
的通项是T k ＋1＝(－1)k ·C k 5·x k
，
∴(1＋x )2
·(1－x )5
的通项：(－1)k ·C r 2·C k 5·x k ＋r
(其中r ∈{0,1,2}，k ∈
{0,1,2,3,4,5})．令k ＋r ＝3，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，r ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝2，
r ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝3，
r ＝0.
故x 3
的系数为－C 1
5＋C 1
2·C 2
5－C 3
5＝5.
[点评] 本题解法一仅适用于幂指数较小的二项式乘积的展开式，而解法二的双通项法则是解决这类问题的通法．所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a ＋
bx )n ·(r ＋tx )m 的展开式中的一般项为T r ＋1T k ＋1＝C r n a n －r ·(bx )r C k m r m －k ·(tx )k ＝C r n C k m a n －r b r r m －
k t k x r ＋k
(注意这里含有x r ＋k 的项不一定只有一项)，再根据题目中的字母的指数的特殊要求，
确定r 与k 所满足的条件，进而求出r 、k 所取的值的情况．从而使问题顺利地解决．
9．求(1＋2x )12
展开式中系数最大的项．
[解析] ∵原式不是(a ＋b )n
的标准二项式，∴不一定是中间项系数最大． 设第r ＋1项系数最大，
有⎩⎪⎨⎪
⎧
第r ＋1项系数≥第r 项系数，第r ＋1项系数≥第r ＋2项系数.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
C r
12·2r
≥C r －1
12·2r －1
，C r 12·2r ≥C r ＋112·2r ＋1
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
r ≤26
3
，
r ≥23
3.
∵r 是非负整数，
∴r ＝8.
∴第9项系数最大，第9项为C 812(2x )8＝146 720x 8
.
[点评] 在(a ＋b )n 的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a 、b 的系数不是1时，最大的系数项的位置就不一定在中间了，此时需要利用通项公式列出不等式组来予以解决．
10．设(1－2x )2014
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2014x
2014
(x ∈R )．
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2014的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2013的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2014|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2014＝(－1)2014＝1①
(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2014＝32014
②
与①式联立，①－②得： 2(a 1＋a 3＋…＋a 2013)＝1－3
2014
，
∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2013＝
1－3
2014
2.
(3)∵T r ＋1＝C r
2014·1
2014－r
·(－2x )r
＝(－1)r
·C r 2014·(2x )r
， ∴a 2k －1<0(k ∈N *
)，a 2k >0(k ∈N *
)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2014| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2014，
所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2014＝3
2014
.。