KS5U2020浙江省高考压轴卷 数学 Word版含解析

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KS5U2020浙江省高考压轴卷
数 学
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =
A ．{0,1}
B ．{0,1,2}
C ．{1,0,1}-
D ．{1,0,1,2}-
2．复数2
1+i （i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．−1+i
B ．1−i
C ．1+i
D ．−1−i
3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )
A
．B ．8 C
D ．83
5．若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪
-⎨⎪-⎩
，则3x y -( )
A ．有最大值2-，最小值83
- B ．有最大值83
，最小值2 C ．有最大值2，无最小值
D ．有最小值2-，无最大值
6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．函数()()
1
1x x e f x x e
+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）
A ．11a b
<
B ．sin sin a b >
C ．1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．22a b >
9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥
P AEMF -的体积的取值范围为（ ）
A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．43,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]1,2
10若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤
C ．4a ≤或6a ≥
D ．6a ≥
第II 卷（非选择题)
二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分
11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.
12．二项式5
2
1)x 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．
13．设双曲线()22
2210x y b a a b
-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，
已知原点到直线l
，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________.
14．已知函数22,0
()log (),0
x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若
()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____.
15．设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则
(1)a b c λλ++-的最大值是________．
16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．
17．已知函数()2122,01
()2,10
x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一
个解，则实数m 的取值范围为______．
三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡
18．已知函数()()2
22cos 1x R f x x x =-+∈.
(1)求()f x 的单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时,求()f x 的值域. 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =，1A O ⊥底
面ABCD ，12AA AB ==.
（1）求证：平面1
ACO ⊥平面
11BB D D ；
（2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.
20．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A
x y 和()22,B x y ，焦点为F.
线段AB 的中点为()03,M y ，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AE 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.
22．已知函数2()(1)(0)x f x x e ax x =+->.
（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围； （ⅱ）求证：
12011111
x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）
参考答案及解析
1．【KS5U 答案】C
【KS5U 解析】 由
，得，选C.
2．【KS5U 答案】C
【KS5U 解析】
因为2
1+i =1−i ,所以其共轭复数是1+i ，选C. 【点睛】
本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．【KS5U 答案】C
【KS5U 解析】
设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11
2724,61548a d a d +=⎧⎨
+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+. 4．【KS5U 答案】C
【KS5U 解析】
根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2, 画出图形，如图所示；
所以该四棱锥的底面积为224S ==
，高为h =；
所以该四棱锥的体积是11433V Sh ==⨯=
. 故选：
C.
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【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题． 5．【KS5U 答案】C
【KS5U 解析】
画出不等式组0
2222y x y x y ⎧⎪
-⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域，如图阴影所示；
设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线；
当直线过点A 时，z 有最大值，由0
22
y x y =⎧⎨
-=⎩，得(2,0)A ；
所以z 的最大值为3202x y -=-=，且z 无最小值. 故选：C.
6．【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】
直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C
7．【KS5U 答案】A
【KS5U 解析】
∵f （﹣x ）()()()
111
111x x x x x x
e e e x e x e x e
--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 1
11e
f +=-<0， ∴排除B ，
故选A ．
8．【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】
对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但
11
a b
>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；
对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，若a b >，则1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项
正确；
对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C.
9. 【KS5U 答案】D 【KS5U 解析】
依题意34349
343495
5
x y a
x y x y a x y -+---++--=
+
表示(),P x y 到两条平行
直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线
340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，
故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415
a
d -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.
10．【KS5U 答案】B
【KS5U 解析】
首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C
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则
111111
S A B C S ABC
V SA SB SC V SA SB SC
--⋅⋅=
⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，
111111111111
11
sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕.
四棱锥P ABCD -中，设,PE PF x y PB PD ==，21
2343
P ABCD V -=⨯⨯=
12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF
P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC
V V V V V V
V V V V V V V -------------⎛⎫
+==+=+ ⎪⎝⎭
111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭
所以3P AEMF V xy -=
又
12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF
P ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DAC
V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫
+==+=+ ⎪⎝⎭
11112222
PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭
所以P AEMF V x y -=+ 即3,31x x y xy y x +==
-，又01,0131
x
x y x ≤≤≤=
≤-， 解得
1
12
x ≤≤ 所以体积231
3,[,1]312
x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈
2(1)111
()(2),[,2]332
t V t t t t t +==++∈
根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2
t ∈递减，在[1,2]t ∈递增 所以函数()V t 最小值4(1)3V =
，最大值13(2)()22
V V ==， 四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选：B
11．【KS5U 答案】
10
31
165 【KS5U 解析】
设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()515
12512
a S -==-，解得15
31
a =
， 所以2110231a a ==，()1010
5
123116512
S -==-. 故答案为：10
31
，165. 【点睛】
本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12．【KS5U 答案】5 32
【KS5U 解析】
展开式的通项为55522
15
521()r r
r
r r r T C C x
x
--+==， 令
55
022
r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1
255T C ==，
令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.
点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.
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13．【KS5U 答案】2
y =
【KS5U 解析】 由题可设直线l 方程为：
1x y
a b
+=，即0bx ay ab
，则原点到直线的距离4
ab d c =
=
=
，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224
163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4
a 得：2416163e e -=，整理得(
)(
)
2
2
3440e e --=，解得2
4
3
e =
或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以2
4,2c
e e a
==
=；
b a a a
===
b y x a =±=
故答案为：2
；y =
14．【KS5U
答案】1 [1,0)-
【KS5U 解析】
(1)(1)f f -=，
122log (1)a -∴=-，
1
2
12a ∴-=，
1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)x
f x =∈；
又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需2
()0a log a ->⎧⎨-⎩，
解得：10a -<.
故答案为：1-[1,0)-. 15．【KS5U
答案】1
【KS5U 解析】
令()1n b c λλ=+-，则()2
2
11318n b c λλλλ⎡⎤
=
+-=-⎣⎦
12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==n 与a 同向时a n +的模最大，
max 2101a n a n +=+=+
16．【KS5U 答案】36
【KS5U 解析】
把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有42
42A A 48=种，
把“民俗调查”安排在周一，有32
32A A 12⋅=，
∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36．
17．【KS5U 答案】1
|12
m m ⎧
-≤<-
⎨⎩
或1}m = 【KS5U 解析】
当01x ≤≤时，由()1f x =，得()2
21x
x m +=，即212x
x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.
令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01
()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩
与函数
()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.
在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10x
x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩
与2
y x m =+在区间函数
[1,1]-上的大致图象如下图所示：
结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；
当(1)(1),1
1(1)(1)
2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨
-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧
⎫-≤<-
=⎨⎬⎩⎭
或.
18．【KS5U 答案】（1）,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）⎡-⎣. 【KS5U 解析】
(1) 函数()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛
⎫ ⎪=⎝
=
-+-=⎭-，
令222()2
6
2
π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈k x k k Z ，求得()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
故函数f(x)的增区间为,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；
(2)若,64x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f(x)取得最小值为
−2；当26
3
x π
π
-=
时，函数f(x)⎡-⎣. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.
19．【KS5U 答案】（1）证明见解析（2）
7
【KS5U 解析】
（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1
AO BD ⊥， 又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥， 因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，
所以平面1
ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，
则(1,0,0)B
，C
，(0,A ，1(0,0,1)A ，
11(1,A B AB =
=，()
1
0,1AC =-， 设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =
，
由11100
00m A B x m AC
z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1
x =得1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
又(1,0,0)OB =，
所以
cos ,7||||
2OB m
OB m OB m ⋅
=
=
=
，
所以OB 与平面11A B C . 20．【KS5U 答案】（
1）13n n a =
（2）
21
n
n -+ 【KS5U 解析】
（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝92
4a ,所以q 2＝
19
． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13
．
故数列{a n }的通项公式为a n ＝
13n
． （Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()2
1n n +．
故
()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭
． 12
11
1
1111
122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
所以数列1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为21n
n -
+ 21．【KS5U 答案】（1）2
4y x =（2）
9
【KS5U 解析】 （1）由题意知126x x +=,
则1268AF BF x x p p +=++=+=,
2p ∴=,
∴抛物线的标准方程为24y x =
（2）设直线AB :x my n =+（0m ≠）,
由2
4x my n
y x
=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=, 124y y m ∴+=
212426x x m n ∴+=+=,即232n m =-,
即()
212212
16304812m y y m
y y m ⎧∆=->⎪⎪
+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,
12AB y y ∴=-=设AB 的中垂线方程为:()23y m m x -=--,即()5y m x =--, 可得点C 的坐标为()5,0,
直线AB :232x my m =+-,即2
230x my m -+-=,
∴点C 到直线AB
的距离d =
=,
(
)21
412
S AB d m ∴=
⋅=+
令t =则223m t =-
（0t <<,
令()(
)2
44f t t
t =-⋅,
()()2443f t t '∴=-,令()0f t '∴=,
则3t =,
在⎛ ⎝⎭上()0f t '>
；在3⎛ ⎝上()0f t '<, 故f t
在⎛ ⎝⎭单调递增
,⎝单调递减, ∴
当t =,
即m =
,max S =
22．【KS5U 答案】（1
）1
(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝
⎭
；
（2）
（ⅰ）12⎛⎫⋅+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析.
【KS5U 解析】
（1）由2
()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫
'=-
⎪⎝⎭
，
设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()x
x x g x e x
+-'=⋅； 由()0g x '
，解得1x ≥
-，
所以()g x
在1)
上单调递减，在1,)+∞上单调递增，
所以1
min ()1)(2==⋅g x g
因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '
在(0,)+∞恒成立
所以1
(22⋅≥a ；
所以，实数a
的取值范围是：1
(2,2⎛⎫
+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭
. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x
不单调，所以1
(22
a +⋅>
.
因此()0f x '=有两个根，设为10,t t
，且1001t t <<<，
所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，(
)2
2
()(1)(1)x
x
x
f x x e ax a e x
x a e =+-=-++-⋅，
当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即
()2
00
010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220t
f t t e at '=+-=；
所以：()()000002202t
t
t t e t e +-
⋅+<
，解得0t >
1122
+>=a g ； 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a
的取值范围是12⎛⎫
++∞ ⎪
⎪⎝⎭
. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠
211221112
x x x x
nx nx -+<
<-.
证明：不妨设210x x >>
，即证22
12211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，
设211x t x =
>
，()ln g t t =-2(1)()ln 1
t h t t t -=-+，
只需证()0g t <且()0h t >；
因为()0g t '=<，22
(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.
再证原命题
120111
11
x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()
122
112
221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以
()()2
2
122
2
12
11x
x x e x e x x ++=
，两边取对数得：
()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；
即
()()()
()()
212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为
()()()
()(
)
()()
212121211221111112
1111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，
所以1212
2
11
12x x x x +
<
<+++， 因此，要证
12011111
x x t +->+. 只需证1202x x t +<；
因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <； 计算得()()00000()224t
t
r x x t e x x t e x at '=++++-++--；
()()2000()33t x
r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.
由()()20033x
y x t e
x t =+++--在()0,0t -上单调递增，
得()()0
003030y t e t <++--=，
所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减， 所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；
即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.。