甘肃省武威市第六中学2018届高三数学下学期第六次诊断考试试题 文

武威六中2017~2018学年度高三第六次诊断考试
数学（文科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上.
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题卡上完成，试卷上答题无效.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}
{}2
90,3,0,1A x N x B =∈-<=-，则
A ．=A
B ⋂∅
B ．B A ⊆
C ．{}0,1A B ⋂=
D ．A B ⊆
2．已知i 为虚数单位，若复数z 满足()12i z i z +=-，则在复平面内的对应点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．“
p q ∧为假”是“p q ∨为假”的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
4．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如下图），
四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实）．若直角三角形中一条较长的直角边为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（ ） A ．
14 B ．13 C ．1
25
D ．2573 5．如图的程序框图，则输出y 的最大值是（ ）
A ．3
B ．0
C ．15
D ．8
6．将函数3sin 2y x =的图象向左平移2
π
个单位长度，所得图象对应的函数 A 在区间[,]44
ππ
-
上单调递减
B 在区间[,]44
ππ
-
上单调递增 C 在区间[,]22
ππ
-上单调递减 D 在区间[,]22
ππ
-
上单调递增 7．设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≤+1133y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1 D
52
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2π+
B ．1+π
C ．2+2π
D ．12π+
9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F
，离心率为3，过2
F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点．若1AF B ∆
的周长为C 的方程为 ( )
A ．
22132x y += B ．22
13x y += C ．221128x y += D ．221124
x y += 10．设函数x
e
x f x ++
-=+24
)(3
2，则不等式)3()52(x f x f -<-成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（-1,5）
B ．（-∞，-1）∪（5，+∞） C.（-5,1） D ．（-∞，-5）∪（1，+∞）
11．已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ，第一象限的点M 在双曲线C 的渐近线
上且OM a =，若直线MF 的斜率为b
a
-，则双曲线C 的离心率为 A ．
B
C ．
D
正视图
侧视图
12.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面D D AA 11内一点，若//EF 平面D D BB 11，则EF 长度的范围为 A. ]3,2[ B. ]5,2[ C. ]6,2[ D. ]7,2[
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()()2,1,4,,//a b m a b =-=若，则实数m =_________．
14．已知直线210ln x y y x a -+==+与曲线相切，则实数a 的值是_________． 15. 甲、乙、丙三个同学在看c b a ,,三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”（冠军唯一）。

赛
前，对于谁会得冠军，甲说：不是,b 是,c 乙说：不是,b 是,a 丙说：不是,c 是.b 比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 .
16. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ,若n
n n a S 22-=,则=n S .
三、解答题：
17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2
cos c
C a b =-. （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若6=+c b ，ABC ∆的面积为32，求a .
18．（本小题满分12分）在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得
到如下的22⨯列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
5
4. （Ⅰ）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有%9.99的把握认为“超市
购物用手机支付与年龄有关”？
（Ⅱ）现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中
抽取得到一个容量为5的样本，设事件A 为“从这个样本中任选3人，这3人中至少有2人是使用手机支付的”，求事件A 发生的概率？
22
⨯列联表
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
19．（本小题满分12分）
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD,E,P,Q分别是棱AD,SC,AB的中点.
（I）求证：//
PQ平面SAD；
（II）求证：AC⊥平面SEQ；
（III）如果SA=AB,求直线PQ与平面ABCD所成角.
20．已知点(40)F ，，点Q 是直线4x =-上的动点，过点Q 作y 轴的垂线与线段FQ 的垂直平分线交于点P .
（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若直线:l y x m =+与曲线C 交于,A B 两点，点M 是曲线C 上一点，且点M 的横坐标(1,4)t ∈，若MA MB ⊥，求实数m 的取值范围.
21．(本小题满分12分) 已知函数2
1
()(2)x f x x x e
-=-
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若对任意1x ≥,都有()-10f x mx m -+≤恒成立,求实数m 的取值范围
选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 过点)2,1(-P ，倾斜角为
4
π
. 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 与曲线C 交于B A ,两点.
（Ⅰ）求直线l 的参数方程（设参数为t ）和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求
PB
PA 1
1+的值.
23．（本题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]
已知函数()()1f x x m x m R =-++∈的最小值为4． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若()1
11
,,0,23323a b c a b c m a b c
∈+∞++=+
+≥,且，求证：．
2018年六诊文科数学参考答案
一、 选择题
C A B C C A
D AA C A C 二、填空题
13.-2 14. 2ln 2+ 15.c
16. .2n
n
三、解答题
17、解：（Ⅰ）∵2
cos c
C a b =
- ∴由正弦定理知，C C A B sin 2
1
cos sin sin =-..................................2分 ∵π=++C B A
∴A C C A C A B cos sin cos sin )sin(sin +=+= ∴C A C sin 2
1
cos sin =
∵),0(π∈C
∴0sin >C ，故2
1
cos =A ....................................................5分 ∵),0(π∈A ∴3
π
=
A ...................................................................6分
（Ⅱ）由（1）知，324
3sin 21===∆bc A bc S ABC ............................8分 ∴8=bc
∵6=+c b ，A bc a c b cos 22
22=-+ ∴12cos 22)(2
2
=--+=A bc bc c b a
∴32=a ................................................................12分 18、解：(Ⅰ)
从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
5
4
∴使用手机支付的人群中的青年的人数为48605
4
=⨯人，
则使用手机支付的人群中的中老年的人数为124860=-人，所以22⨯列联表为:
()828.105260
0404601212-28481002
2
>=⨯⨯⨯⨯⨯=κ
故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.
(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中： 使用手机支付的人有60
53100
⨯
=人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b ， 则从这个样本中任选2人有
(1,2,3)(1,2,a)(1,2,b)(1,3,a)(1,3,b)(1,a,b)(2,3,a)(2,3,b)(2,a,b)(3,a,b)共10种 其中至少有2人是不使用手机支付的
(1,2,a) (1,2,b) (1,3,a)(1,3,b)(2,3,a)(2,3,b)(1,2,3)共7种， 故7
()10
P A =
.
19、
(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程可得，直线与抛物线相交可得，设
，由题意可得，，则，据此可得
，故，结合韦达定理可得
即，
因为，
所以，
即，
所以，当时，，
当时，,
所以实数的取值范围是.
21．( Ⅰ ) f(x)在( -∞ ,- )上单调递减,在(- , )上单调递增,在( 2 ,+∞ )上单调
递减 .
( Ⅱ ) [1,+∞).
【解析】分析：第一问死死咬住导数大于零，函数单调增，导数小于零，函数单调减，从而确定出函数的单调区间，第二问先用个别值将参数的范围给缩小，之后分两种情况来说明，最后得出结果.详解：( Ⅰ )由已知得
'(x ) = ( -x 2 +2 )e
x -1 ,当 f'(x )0 ,即- x 2 +2
0 时,x<- 或x > ; 当f'(x) >0 ,即 -x 2 +2>0 时,-<x< ,所以f(x)在( -∞ ,- )上单调递减,在(- , )上单调递增,在( ,+∞ )上单调递减 .
( Ⅱ )令g(x) = ( 2 x - x 2 ) - mx -1+ m,x ≥1 ,
由已知可得 g (2 ) ≤0 ,即 m ≥-1 ,下面只要考虑 m ≥-1 的情况即可 . 7 分 g'(x) = ( 2- x 2 )
- m ,令 h (x) = ( 2- x 2 ) - m ,则 h'(x) =- ( x 2 +2x -2 ) , 因为 x ≥1 ,所以 x 2 +2x -2>0 ,所以 h'( x ) <0,
所以 h (x)在[ 1 , +∞ )上单调递减,即g'(x)在[ 1 , +∞ )上单调递减,则
g'(x)≤g'(1) =1- m .
① 当 1- m ≤0 ,即 m ≥1 时,此时g'(x) ≤0 ,所以 g (x)在[ 1 , +∞ )上单调递减,所以g(x) ≤ g (1) =0 ,满足条件;
② 当1- m >0 ,即 -1≤ m <1 时,此时g'(1) >0 ,g'(2) =-2e-m <0 ,所以存在 x 0∈ (1 ,2),使得g'(x 0) =0 ,则当1< x<x 0 时,g'(x) >0 ;当 x>x 0时,g'(x ) <0 ,所以g(x)在[ 1 ,x 0]上单调递增,在(x 0 ,+∞)上单调递减,所以当x ∈ [1 ,x 0]时,g(x) ≥ g (1) =0 ,此时不满足条件
综上所述,实数 m 的取值范围为[1,+∞)
22.解：（Ⅰ）∵直线l 过点)2,1(-P ，倾斜角为4
π ∴直线l 以t 为参数的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 222221（t 为参数）......................3分
∵曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=
∴曲线C 的普通方程为4)2(2
2=+-y x ........................................5分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得01232=+-t t .............6分 设B A ,两点对应的参数为21,t t
∵点P 在曲线C 的左下方 ∴21,t PB t PA ==..........................................................8分 ∴2311112
12121=+=+=+t t t t t t PB PA ........................................10分 23.解：（Ⅰ）()1()(1)1f x x m x x m x m =-++≥--+=+, ………………3分 所以14m +=，解得5m =-或3m =. …………………………………5分
（Ⅱ）由题意，233a b c ++=. 于是
1111111(23)()23323a b c a b c a b c
++=++++ ……………………7分 12332(3)32323b a c a c b a b a c b c =++++++
1(333≥+=， ……………………9分 当且仅当23a b c ==时等号成立，即1a =，12
b =，13
c =时等号成立. ……………………10分。