2020年 名师讲解高考数学总复习 第12章 12.2 第1课时 坐标系

§12.2坐标系与参数方程
第1课时坐标系
考情考向分析
极坐标方程与直角坐标方程互化是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，属于低档题．
1．平面直角坐标系
在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M 为平面内的任一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ或⎩
⎪
⎨⎪⎧
ρ2＝x 2＋y 2，
tan θ＝y x
(x ≠0)，
这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( × )
(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π
3.( √ ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × ) 题组二 教材改编
2．[P11例5]在直角坐标系中，若点P 的坐标为(－2，－6)，则点P 的极坐标为________．
答案 ⎝
⎛⎭⎫22，4π3 解析 ρ＝(－2)2＋(－6)2＝22，tan θ＝－6
－2＝3，
又点P 在第三象限，得θ＝4π
3
，即P ⎝⎛⎭⎫22，4π3. 3．[P32习题T4]若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为________________________． 答案 ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2 解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝
⎛⎭⎫0≤θ≤π2. 4．[P32习题T5]在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ(ρ≥0,0≤θ<2π)的圆心的极坐标是________． 答案 ⎝
⎛⎭⎫1，3π
2 解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，3π
2. 题组三 易错自纠
5．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π
6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是________． 答案 ρsin θ＝1
解析 先将极坐标化成直角坐标，P ⎝⎛⎭⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π
6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π
6＝1，即P (3，1)，过点P (3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ
＝1.
6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为____________． 答案 x 2＋y 2－2y ＝0
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 7．在极坐标系下，若点P (ρ，θ)的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫4，2π3，求以⎝⎛⎭⎫ρ2，θ
2为坐标的不同的点的极坐标．
解 ∵⎝⎛⎭⎫4，2π
3为点P (ρ，θ)的一个极坐标． ∴ρ＝4或ρ＝－4.
当ρ＝4时，θ＝2k π＋2π
3(k ∈Z )，
∴ρ2＝2，θ2＝k π＋π
3(k ∈Z )． 当ρ＝－4时，θ＝2k π＋5π
3(k ∈Z )，
∴ρ2＝－2，θ2＝k π＋5π
6(k ∈Z )． ∴⎝⎛⎭⎫ρ2，θ2有四个不同的点：
P 1⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )，P 2⎝⎛⎭⎫2，2k π＋4π
3(k ∈Z )， P 3⎝⎛⎭⎫－2，2k π＋5π6(k ∈Z )，P 4⎝
⎛⎭⎫－2，2k π＋11π
6(k ∈Z )．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1．(2018·南京模拟)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π3，圆心C 为直线ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ－π3＝－3
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为y ＝3x －23，点P 的直角坐标为(1，3)， 令y ＝0，得x ＝2，所以C (2,0)，
所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2＋(0－3)2＝2，
所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
2．(2019·江苏省徐州一中月考)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，求实数a 的值．
解 因为圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2a ＝0， 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |
2＝|1＋a |，
因为圆C 被直线l 截得的弦长为23，所以r 2－d 2＝3. 即4－(1＋a )2＝3，解得a ＝0或a ＝－2.
3．(2018·苏州期中)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos θ＋2，
y ＝r sin θ＋2(θ
为参数，r >0)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＋1＝0. (1)求圆C 的圆心的极坐标；
(2)当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．
解 (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos θ＋2，
y ＝r sin θ＋2，
得(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，
∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆， ∴圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π
4. (2)由直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＋1＝0， 得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＋1＝0， 从而圆心(2,2)到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝52
2.
∵圆C 与直线l 有公共点，∴d ≤r ，即r ≥52
2
.
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半
轴重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
题型二 求曲线的极坐标方程
例1 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．
解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的任一点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1，
y ＝2y 1.
由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的标准方程为
x 2＋
y 2
4
＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
4＝1，2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝1
2， 于是所求直线方程为y －1＝1
2⎝⎛⎭
⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝3
4sin θ－2cos θ.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.
(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；
(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解 (1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
∴圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4. 又直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t ，
y ＝t (t 为参数)，
消去t 后得y ＝x ＋1，
∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1
ρ.
(2)当θ＝3π
4时，OP ＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝22， ∴点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π
4，OQ ＝122＋2
2
＝2
2
， ∴点Q 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫
22，3π4，故线段PQ 的长为322.
题型三 极坐标方程的应用
例2 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足OM ·OP ＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π
3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知OP ＝ρ，OM ＝ρ1＝4
cos θ
.
由OM ·OP ＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题意，知OA ＝2，ρB ＝4cos α， 于是△OAB 的面积S ＝1
2
·OA ·ρB ·sin ∠AOB
＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 思维升华 极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．
跟踪训练2 在极坐标系中，求直线ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝2被圆ρ＝4截得的弦长． 解 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2
2(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，
圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|
2＝2，
由圆中的弦长公式，得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.
1．(2018·江苏省南京师范大学附属中学模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线
l ：θ＝π
4
(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解 圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝2，
直线l ：θ＝π
4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，
圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|
2＝1，
所以AB ＝2(2)2－1＝2.
2．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π2，B ⎝⎛⎭⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△P AB 面积的最小值．
解 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋43x －4y ＋13＝0， 即(x ＋23)2＋(y －2)2＝3，
由题意，得A (0，－1)，B (0，－3)，所以AB ＝2. P 到直线AB 距离的最小值为23－3＝3， 所以△P AB 面积的最小值为1
2
×2×3＝ 3.
3．(2018·江苏省姜堰、溧阳、前黄中学联考)圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程．
解 圆C ：ρ2＝2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 所以x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 所以圆心C ⎝⎛
⎭⎫
22
，22，与极轴交于A (2，0)． 直线CA 的直角坐标方程为x ＋y ＝2， 即直线CA 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝1. 4．在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝2
1－sin θ
.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若OP ＝3OQ ，求直线l 的极坐标方程． 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝2
1－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.
(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意知21－sin θ0＝3·2
1－sin (θ0＋π)，
解得θ0＝π6或θ0＝5π
6
，
∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π
6
(ρ∈R )．
5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6上的动点，求PQ 的最大值．
解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化，
∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.
对曲线C 2的极坐标方程进行转化， ∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
6， ∴ρ2＝12ρ⎝
⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.
6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π
4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为1
2
.
7．(2018·江苏江阴中学调研)在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π
4(ρ∈R )交于A ，
B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．
解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x .
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝2， 所以交点的坐标分别为(0,0)，(2,2)．
所以以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．
8．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－2π
3＝－3，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (1)求直线l 和⊙C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解 (1)直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－2π
3＝－3， ∴ρ⎝⎛⎭⎫sin θcos 2π3－cos θsin 2π
3＝－3， ∴y ·⎝⎛⎭⎫－12－x ·3
2＝－3，即y ＝－3x ＋2 3. ⊙C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4x ＋2y ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0.
(2)⊙C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5. ∴圆心C (2,1)，半径R ＝5， ∴⊙C 的圆心C 到直线l 的距离 d ＝|1＋23－23|(3)2＋12＝12，
∴AB ＝2R 2－d 2＝2 5－⎝⎛⎭⎫122
＝19.
∴弦AB 的长为19.
9．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ
，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标． 解 (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2
＝1，
点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，
根据题意，设PQ ＝2－3cos θ，QR ＝2－sin θ， ∴PQ ＋QR ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π
6时，PQ ＋QR 取最小值2，
∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫
32，12.
10．(2018·江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为
ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，
则直线l 过点A (4,0)，且倾斜角为π6，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π
6.
如图，连结OB .
因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π
2，
所以AB ＝4cos π
6
＝2 3.
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.
11．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋5cos α，
y ＝1＋5sin α
(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 解 (1)曲线C 的参数方程为
⎩
⎨
⎧
x ＝2＋5cos α，
y ＝1＋5sin α(α为参数)， ∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.
(2)∵l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0， ∴圆心C (2,1)到直线l 的距离d ＝2
2
＝2， ∴弦长为25－2＝2 3.
12．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3
2，C 与l 有且仅有一个公共点． (1)求a ；
(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π
3，求OA ＋OB 的最大值．
解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形为ρ2＝2aρcos θ， 化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2， ∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆． 由l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32， 展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝3
2，
∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0. 由题意，知直线l 与圆C 相切，即|a －3|2＝a ，
又a >0，∴a ＝1.
(2)由(1)知，曲线C ：ρ＝2cos θ.
不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π
3，
则OA ＋OB ＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 当θ＝11π
6
时，OA ＋OB 取得最大值2 3.。