高三精品椭圆双曲线测试题答案及解析详解

一、选择题
1. 〔2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点
分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为〔
A.
6 B. 13 C.1
2
D. 3 [解题指南]利用已知条件解直角三角形,将12,PF PF 用半焦距c 表示出来,然后借助椭圆的定义,可得a,c 的关系,从而得离心率.
[解析]选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,
所以2122tan 30,33
PF c PF c ==
=。

又
122PF PF a +=
=,所以3c a ==,
即椭圆的离心率为
3
,选D. 2.<2013·大纲版全国卷高考理科·T8>椭圆C:13
42
2=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 < > A.1324
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
B.3384
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C.112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， [解题指南]将),(00y x P 代入到13
42
2=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.
[解析]选B.设),(00y x P ,则
2
20
014
3
x y ,2002
-=
x y k PA ,2
00
1+=x y k PA
1PA k 2
2200
22
033344
4
4PA x y
k x x ,故1
PA k 2
143PA k -=.因为]1,2[2
--∈PA k ,所以]4
3
,83[1∈PA k
3. 〔2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8已知F 1〔-1,0,F 2〔1,0是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且
=3,则C 的方程为 < >
A.
2212x y += B.22
132
x y
+= C.22143x y += D.22154x y += [解题指南]由过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 2
2求解.
[解析]选C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,由题意知23
2=a b ,又1222=-=b a c ,解得2=a 或2
1-=a 〔舍去,而32
=b ,故椭圆得方程为13422=+y x . 4.〔2013·XX 高考文科·Ｔ9从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰
为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP 〔O 是坐标原点,则该椭圆的离心率是〔 A.
24 B. 1
2
C. 22
D. 32
[解题指南]本题主要考查的是椭圆的几何性质,解题时要注意两个条件的应用,一是1PF 与x 轴垂直,二是//AB OP
[解析]选C,根据题意可知点P 0(,)c y ,代入椭圆的方程可得22
2
2
02b c y b a
=-,根据//AB OP ,
可知11PF BO F O OA =,即0y b c a =,解得0bc y a
=,即22222
22b c b c b a a -=,解得22c e a ==,故选C.
5. 〔2013·XX 高考文科·Ｔ9已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于2
1
,则C 的方程是〔
A ．14322=+y x
B ．13
42
2=+y x C ．12422=+
y x D ．13422=+y x
[解题指南]本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质,用好,,,a b c e 的关系即可.
[解析]选D.设C 的方程为2
2
2
2
10x y a b a b ，（）
,则1
1,,2,32
c c e a b a =====,C 的方程是13
42
2=+y x . 6. 〔2013·XX 高考文科·Ｔ11已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F,C 与过原
点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=4
5
,则C 的离心率为 < >
A.
35 B.57 C.45 D.67
[解题指南] 由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质〔对称性求出点到右焦点的距离,进而求得,a c
[解析]选B.在三角形ABF 中,由余弦定理得
222
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又4
10,8,cos 5
AB BF ABF ==∠=
解得 6.AF =在三角形ABF 中,2
2
2
2
2
2
1086AB BF AF ==+=+,故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F ',连接,AF BF '',根据椭圆的对称性,四边形AFBF '为矩形,
则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==,即焦距210,c =
又据椭圆的定义,得2AF AF a '+=,所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率
25.27
c c e a a =
== 1. 设
是双曲
的两个焦点, 是
上一点, 若
且
的最小内角为
, 则
的离心率为< >
A. B. C. D.
[解析] 1.不妨设点在左支上,则又所以
,在中由余弦定理得
,整理得,即
,得.
2.已知F是双曲线的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是
A．15° B．25° C．60°D．165°
[解析] 2.因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线与轴的夹角为,因为是双曲线的右焦点,是双曲线C上一点,所以或
,所以的大小不可能为.
3.已知双曲线的一条渐近线与曲线相切,且右焦点F 为抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为
<A> <B><C> D>
[解析] 3.因为双曲线的渐近线为,与联立得,由渐近线与曲线相切得,又由的焦点为得,所以,双曲线的方程为.
4.已知双曲线的离心率为3,且它有一个焦点与抛物线的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为〔
[解析] 4.设双曲线的方程为,抛物线的焦点为,由题意知,解得,双曲线方程为,所以双曲线的渐近线方程为..
5.点P是双曲线左支上的一点, 其右焦点为, 若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为, 则双曲线的离心率的取值范围是< A．B． C． D．
[解析] 5.设双曲线的左焦点为,因为点是双曲线左支上的一点。

其右焦点为,若为线段的中点,且到坐标原点的距离为,所以,又因为,,所以,解得. 6.〔XX省XX市2014届高三模拟考试过双曲线的左焦点F〔-c,0<c ＞0>, 作圆的切线,切点为E,延长FE交曲线右支于点P,若
, 则双曲线的离心率为
A．B． C．D．
[解析] 6.因为,所以为的中点,令右焦点为,则为的中点,则,因为为切点,所以,,因为,所以
,在中,,即,所以
.
13．已知动圆M过定点A<－3,0>,并且内切于定圆B：<x－3>2＋y2＝64,求动圆圆心M的轨迹方程.
13.设动圆M的半径为r,则|MA|＝r,|MB|＝8－r,
∴|MA|＋|MB|＝8,且8＞|AB|＝6,
∴动点M的轨迹是椭圆,且焦点分别是A<－3,0>,B<3,0>,且2a＝8,
∴a＝4,c＝3,
∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是.
14．已知B,C是两个定点,|BC|＝8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
14.以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示,由|BC|＝8,可知点B<－4,0>,C<4,0>,c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18,|BC|＝8,得|AB|＋|AC|＝10.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10,但点A不在x轴上.由a＝5,c＝4,得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为<y≠0>.
32.<XX市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考> 已知双曲线的方程是
〔1求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
〔2点在双曲线上,满足,求的大小
[解析] 32.〔1双曲线方程化为标准方程,所以,∴焦点为,离心率为,渐近线方程为；
〔2因为点在双曲线上,所以,在
中,==0,∴=
33.<广西省XX中学2014届高三月考测试题> 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原
点,左、右焦点F1、F2在x轴上,双曲线C的右支上存在一点A,使且的面积为1。

〔1求双曲线C的标准方程；
〔2若直线与双曲线C相交于E、F两点〔E、F不是左右顶点,且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D,求证：直线过定点,并求出该定点的坐标
[解析] 33.〔1由题意知设双曲线的标准方程为,由已知得
,解得,因为,且的面积为1,
所以,,又,
所以,所以,双曲线的标准方程为.
〔2联立,得,显然,否则
直线与双曲线只有一个交点,,
即,设则,
,
因为以为直径的圆经过双曲线的右顶点,所以,
即,所以, 即,
化简整理得,所以或,均满足
,
当时,直线的方程为,直线过定点,已知矛盾,
当时,直线的方程为,直线过定点,符合题意
所以直线过定点.
11. 〔2013·XX 高考文科·Ｔ20
已知动点M <x ,y >到直线l :x =4的距离是它到点N <1,0>的距离的2倍. <1> 求动点M 的轨迹C 的方程;
<2> 过点P <0,3>的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. [解题指南]设出动点M 的坐标,根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立,得出k 与12x x ，的关系式,利用中点坐标即可得斜率.
[解析]<1> 点M<x,y >到直线x=4的距离是它到点N <1,0>的距离的2倍,则
13
4)1(2|4|2
22
2
=+⇒+-=-y x y x x .
所以,动点M 的轨迹为椭圆,方程为13
42
2=+y x . <2> P<0, 3>, 设11221212(x ,y ),(x ,y ),2x 0x 2y 3y A B 由题意知：
，=+=+, 椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m 斜率k 存在。

3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得： 所以,直线m 的斜率2
3±
=k . 12. 〔2013·XX 高考理科·Ｔ20
已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点
41
(,)33
P ． 〔1求椭圆C 的离心率；
〔2设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且
222
211
||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程．
[解题指南]〔1关注椭圆的定义,利用定义求出,a c ,再求出离心率；〔2首先确定椭圆的方程,设出点Q 的坐标,结合已知
222
211
||||||
AQ AM AN =+,找到点Q 的坐标满足的关系.
[解析]<1>由椭圆定义知,2a =|PF 1|+|PF 2|=错误!+错误!=2错误!, 所以a =错误!,又由已知,c =1,
所以椭圆的离心率e =错误!=错误!=错误!.
<2>由<1>知,椭圆C 的方程为错误!+y 2=1, 设点Q 的坐标为<x ,y >.
<ⅰ> 当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于<0,1>,<0,-1>两点,,此时点Q 的坐标为<0,2−错误!>.
<ⅱ> 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =kx +2,因为M,N 在直线l 上,可设点M,N
的坐标分别为1122（x ，kx +2），（x ，kx +2）则
|AM |2=<1+k 2>x 12, |AN |2=<1+k 2>x 22, 又|A Q|2=<1+k 2>x 2, 由错误!=错误!+错误!,得错误!=错误!+错误!, 即错误!=错误!+错误!=错误!, ①
将y =kx +2代入错误!+y 2=1中,得<2k 2+1>x 2+8kx +6=0. ② 由∆=<8k >2−4<2k 2+1>⨯6>0,得k 2>错误!.
由②可知,x 1+x 2=错误!,x 1x 2=错误!, 代入①并化简得x 2=
218
10k 3
-. ③
因为点Q 在直线y =kx +2上, 所以k =错误!, 代入③并化简,得10<y −2>2−3x 2=18. 由③及k 2>错误!,可知0<x 2<错误!,即x ∈<−错误!,0>∪<0,错误!>. 又<0,2−错误!>满足10<y −2>2−3x 2=18, 故x ∈<−错误!,错误!>. 由题意,Q<x ,y >在椭圆C 内,所以−1≤y ≤1,
又由10<y −2>2=3x 2+18有<y −2>2∈[错误!,错误!>且−1≤y ≤1,
则y ∈<错误!,2−错误!].所以,点Q 的轨迹方程为10<y −2>2−3x 2=18,其中x ∈<−错误!,错误!>, y ∈<错误!,2−错误!].。