湖南湘潭市初中毕业学业数学考试

2010年湖南湘潭市初中毕业学业数学考
试
年湖南湘潭市初中毕业学业考试
根据统计图提供的信息，解答以下问题：
(1)小强本次共调查了多少名七年级同学的成绩？被调查的学生中成绩合格的频率是多少?
(2)该市若有10000名七年级学生，请你根据小强的调查统计结果估计全市七年级学生中有多少名学生竞赛成绩
合格？对此你有何看法？
(3)填写下表：
成绩
不合格
合格但不优秀
合格且优秀
频率
0.2
25．（本题满分10分）
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A 向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由
B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0t5)．（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值．
25题图
26．（本题满分10分）如图，直线与x轴交于点A，与y 轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O 三点．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)过点B 作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C 的切线；(3)抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A 为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
26题图
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，满分24分）
题号[来源:学+科+网]
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｃ
Ｂ
二、填空题（每小题3分，满分24分）9．2；10．；11．100；12．；13．圆锥；14．4；15．5；16．三、解答题
17．（本题满分6分）[来源:Zxxk.]解：原式=(cos60o 占2分)………………………4分
=1………………………6分18．（本题满分6分）解:………………………1分
………………………2分
………………………4分它的非负整数解为0，1，2.………………………6分19．（本题满分6分）解:在Rt△ABC中，∠C=90O，BC=1800，
∠ABC=30O，.....................1分 (3)
分
从而=600………………………4分
≈1039………………………5分
答：C处与灯塔A的距离为1039米．………………………6分20．（本题满分6分）
原式=………………………１分
=...........................2分=...........................３分=...........................4分当时，= (6)
分21．（本题满分6分）
解：设平均年增长率为........................1分依题意得：........................3分解得：........................5分答：平均每年增长的百分率为10﹪ (6)
分22．（本题满分6分）解：（1）200 (2)
分（2）5………………………3分（3）设线段BC解析式为：y=kx+b,………………………4分依题意
得：………………………5分解得：k=200,b=﹣1000所以解析式为y=200x﹣1000………………………6分23．（本题满分8分）证：（1）……………………1分∴AB=CF，AC=BF……………………2分
∴四边形ABCF为平行四边形……………………3分（用其它判定方法也可）（2）OP=OQ……………………4分理由如下：
……………………6分
∴OP=OQ……………………7分
(用平行四边形对称性证明也
可)(3)90o……………………8分
24．（本题满分8分）(1)400+100=500 (1)
分……………………3分[来源:学#科#网] (2)……………………5分
还有2000人成绩不合格,中学生要加强安全知识学习(意思差不多即可)……………………6分
(3)
成绩
不合格
合格但不优秀
合格且优秀
频率
0.2
0.72
0.08
(每空一分)........................8分25．（本题满分10分）解：（1）∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA (1)
分[来源:Zxxk.]又
AC⊥BC,∠ACB=90o∴∠D=∠ACB=90o (2)
分∴△ACD∽△BAC……………………3分（2）……………………4分
∵△ACD∽△BAC∴……………………5分即解得：……………………6分
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∴△ACB∽△EGB……………………7分∴即故…………………8分=……………………9分=故当t=时，y的最小值为19………………10分（其它方法仿此记分）26．（本题满分10分）解：（1）A（6，0），B（0，6）……………………1分连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．过
C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）……………………2分抛物线过点O，所以c=0,又抛
物线过点A、C，所以，解得：所以抛物线解析式为…………………3分（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6……………………4分
所以OD=OB=OA，∠DBA=90o．……………………5分
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 (6)
分
（通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，则
∠CAP=90o或∠COP=90o,……………………7分
若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
又AP过点A（6，0），则b=－6,……………………8分方程y=x－6与联立解得：，，故点P1坐标为（－3，－9）……………………9分若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）(用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分。