2020年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题分析与教学建议

2020年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题分析与教学建议*
广州市第十六中学(510000)
陈丹霞
摘要本文根据2020年高考全国Ⅰ卷数学选做22题广东省文理考生的作答情况,对该试题的题目、解法及典型错误进行分析,并由此提出中学生计算能力的提升策略与教学建议.
关键词高考数学;坐标系与参数方程;数学运算;分析;建议
2021年起广东省高考数学将采用新课标卷,不分文理,坐标系与参数方程模块作为选修内容,即将在明年的高考新课标卷中被取消.尽管如此,今年试卷中对应于该模块的选做题(全国Ⅰ卷第22题)所体现的“试题源于课本并注重基础、蕴含数形结合和转化化归的数学思想、体现数学运算和逻辑推理的学科核心素养”,却仍将是未来高考考核范畴的重要组成部分.
笔者有幸参加了2020年广东省高考评卷工作,以下结合选做22题的解析和考生的典型错误分析,就如何在教学过程中进行规范性数学表述与提高数学计算能力等,谈谈个人的认识与思考,不足之处敬请批评指正.
一、试题呈现与解析
高考真题(2020年高考全国I 卷文理科第22题)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为
x =cos k t
y =sin k t
(t 为
参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.
(1)当k =1时,C 1是什么曲线?
(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.问题分析试题考查学生对含字母的参数方程与直线极坐标方程的掌握情况,以及能否通过方程组解出公共点坐标的能力,更考查学生对参数方程这一章节的概念理解;同时,考查了学生数形结合、转化化归思想方法的运用与运算求解、逻辑推理的能力.
第一问求曲线是什么,考生只要对参数方程的参数和常数理解正确,正确代入k =1,就可以得到常见的圆的参数方程,也可通过参数方程与普通方程的转化得出C 1是什么样的曲线.第一个问题的提出,考察的是基础知识,也为第二问k =4作了铺垫.
第二问是求当k =4时,两曲线的公共点坐标,考察的是基本技能.考生只要利用数形结合的思想方法,就知道应该将求公共点坐标的问题转化为求方程组的解.而很多考生因为没有见过这么高次幂的参数方程形式,无法获知是哪种曲线或者无法实现降幂消元,便望而却步.实际上,这一问的解题思路很多,学生只要抓住问题本质,愿意尝试,有一定的数学计算能力,定能将问题解决.
解答第一问解法1.当k =1时,C 1:
x =cos t
y =sin t
(t
为参数),故曲线C 1是以原点(0,0)为圆心,以1为半径的圆.
第一问解法2.当k =1时,C 1: x =cos t,
y =sin t,(t 为参
数),由cos 2t +sin 2t =1消参得x 2+y 2=1,故曲线C 1是以原点(0,0)为圆心,以1为半径的圆.
点评第一问源于课本,属于基础题.在选修4-4课本23
页,写道“ x =r cos θ,
y =r sin θ,
(θ为参数)是圆心在原点O ,半径
为r 的圆的参数方程.”因此,学生只要代入k =1,并对参数方程进行识别,就可以得到正确的结论.即使不能直接由参数方程判断,在选修4-4课本25页,又写道“将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型”.这就给学生解决问题提供了第二种方法,也是学生更为熟悉的解法.不仅如此,课本25页例3及习题2.1第4题提出同样的问题“将下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线”的问题.因此学生只要通过方程的辨别,完整描述出曲线的位置与形状,即可完成第一问.
第二问解法1.当k =4时,由C 1:
x =cos 4t
y =sin 4t
(t 为
参数)可得
√x =cos 2t,
√y =sin 2t,
(t 为参数)消去参数t 得C 1的
直角坐标方程为√x +√
y =1.
由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得C 2的直角坐标方程
为4x −16y +3=0.联立 √x +√y =1,
4x −16y +3=0,
消元得
一元二次方程12y +8√y −7=0,解得
√
x =12,
√y =12,
或*
本文是广州市越秀区科技计划项目(教育卫生专项)《中学数学计算能力提升的有效策略研究》(项目编号2018-JY-025)的研究成果之一.
√x =136,√y =−76.(舍去),所以
x =14,y =14.
故C 1与C 2
的公共点的直角坐标为(14,1
4
)
.
点评第二问高于课本,属于中档题.解法1通过开方运算将4次方化成熟悉的三角函数式,实现曲线C 1的参数方程转化成普通方程,借助互化公式将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,进而通过联立两个直角坐标方程,消元,解得方程组的解,又通过变量的取值范围限制,最终得到唯一的交点坐标.实际上,消去不同的元,我们可以
得到不同的一元二次方程,如:12x −32√
x +13=0或144y 2−232y +49=0或144x 2−712x +169=0.这里着
重考察了学生的数学运算求解能力,如何消参、如何消元、如何解一元二次方程,每一步都要求学生抓住问题本质,并且有清晰的解题方向,拥有良好的计算能力.事实上,我们通
过曲线C 1的直角坐标方程√x +√
y =1进行变形,可得到方程x 2−2xy +y 2−2x −2y +1=0.这是一个以直线y =x 为对称轴的抛物线方程.又由于在变形过程中,扩大了变量的取值范围,因此曲线C 1普通方程的另一种表达是x 2
−2xy +y 2
−2x −2y +1=0(0 x 1,0 y 1),也即曲线是抛物线的一部分.由此通过数形结合的方法(如图1所示),我们可以验证直线与曲线只有唯一公共点
.
图1
第二问解法2.由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.当k =4时,将C 1:
x =cos 4t
y =sin 4t (t 为参数)代入C 2方程可得
4cos 4t −16sin 4t +3=0.因为cos 2t +sin 2t =1,所以
12cos 4t −32cos 2t +13=0,解得cos 2t =1
2或
136(舍去),所以
x =cos 4t =14,
y =sin 4t =14.
故C 1与C 2
的公共点的直角坐标为(14,14
)
.
点评解法2通过直角坐标系下参数方程与普通方程的联立,整理出关于sin 2t 或cos 2t 的一元二次方程,求解得sin 2t 或cos 2t ,从而回代参数方程,得到公共点的直角坐标.
相对解法1而言,计算量更小.但要求学生能理解直角坐标系下,参数方程与普通方程只是不同的表达方式,依旧可以合二为一.当然,无论解法1还是解法2,解一元二次方程都是解决本问的一个必要途径,学生可以通过十字相乘法或公式法得到方程的根.这里,仍需注意变量的取值范围.第二问解法3.C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.
当k =4时,C 1: x =cos 4t
y =sin 4t
(t 为参数).
由二倍角公式cos 2t =cos 2t +12,sin 2t =
1−cos 2t
2
得4x =(cos 2t +1)2和4y =(1−cos 2t )2
.代入4x −16y +3=0得(cos 2t +1)2−4(1−cos 2t )2+3=0,化简得
3(cos 2t )2−10cos 2t =0,解得cos 2t =0或cos 2t =10
3(舍
去),所以
x =cos 4t =14,
y =sin 4t =14.
故C 1与C 2
的公共点的直角坐标为(14,1
4
)
.
点评解法3先通过二倍角公式将变量x,y 用同一个元cos 2t 表示,再将两曲线方程进行联立,得到关于cos 2t 的一个一元二次方程,从而解得公共点坐标.数学运算讲究的是统一,这样处理,从一开始就将两个变量统一起来,也不失为一个好的想法.当然,易错点在于代入后的展开化简及有没有分类讨论,若直接将化简后的一元二次方程中的cos 2t 约去,没有讨论cos 2t =0的情况,就会造成错解.考生在考试过程中,必须熟悉每一步的运算法则,并且计算正确,才能得到最终正解.
第二问解法4.由C 1的直角坐标方程为√x +√
y =1
且x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得√ρcos θ+√
ρsin θ=1.
联立
√ρcos θ+√ρsin θ=1,
4ρcos θ−16ρsin θ+3=0,消去ρ得
13sin θ−6√cos θsin θ−7cos θ=0,即(13√
sin θ+
7√
cos θ)(√sin θ−√cos θ)=0.从而√sin θ=√cos θ,θ=π4,故极坐标系下交点坐标P (ρ,θ)=(√24,π4)
.此时,
x =ρcos θ=14,
y =ρsin θ=14.
故直角坐标系下交点坐标P (x,y )=
(
14,14
).点评解法4利用极坐标系解决问题.这里需要将C 1的参数方程先转化成普通方程,再利用互化公式,写成极坐标方程.联立过程应采用消去极径ρ更好,进而由sin θ与cos θ的关系,得到交点的极坐标,最后回归直角坐标,回答问题.此解法中,需要注意参数方程中参数t 与极坐标方程中极角θ的定义不同.笔者在评卷过程中发现,不少考生会将参数t
换成熟悉的字母θ,便直接利用极坐标解决问题,这是知识性的错误.因此,还需不断强调概念教学,渗透数学的符号化定义.
第二问解法5.C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.将C 1:
x =cos 4t
y =sin 4t (t 为参数)代入4x −16y +3=0,得4cos 4
t −16sin 4
t +3=0.
将3=3(cos 2t +sin 2t )2=3(cos 4t +2cos 2t sin 2t +sin 4t )
代入,得4cos 4
t −16sin 4
t +3cos 4
t +6cos 2
t sin 2
t +3sin 4
t =0,即7cos 4t +6cos 2t sin 2t −13sin 4t =0,同除以cos 4t 可得
13tan 4t −6tan 2t −7=0,解得tan 2t =1或tan 2t =−7
13(舍
去).所以sin 2t =12,cos 2t =12,所以
x =cos 4t =14,
y =sin 4t =14.
故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(
14,14).第二问解法6.当k =4时,有C 1:
x =cos 4t,
y =sin 4t,
(t 为
参数),由x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得C 2的直角坐标方程为
4x −16y +3=0.从而C 2的参数方程为
x =−34+4u,
y =u,
u 为参数.联立得方程组
cos 4t =−34+4u,
sin 4t =u,
消去参数u
得cos 4t =−3
4+4sin 4t ,令a =sin 2t 可得12a 2+8a −7=0,
所以a =sin 2t =12
.从而
x =cos 4t =(1−a )2=14,
y =sin 4t =a 2=14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,1
4
)
.
点评解法5利用三角函数平方关系得齐次式,利用三角函数商数关系化弦为切,从而得到关于tan 2
t 的一元二次方程,最终将问题解决.本解法对考生三角函数模块的公式使用与化“1”的解题技巧要求较高,计算量偏大.解法6给出了将直角坐标系下两组参数方程联立的思路.虽较少用,但对于学生理解两个不同坐标系(直角坐标系与极坐标系)的不同方程形式,以及它们是否能直接产生联系,起到一定的作用.解法5和6在评卷时并不多见,在此列出,供大家教学参考.
二、考生答题情况分析
1答题情况综述
本题是选做题之一,分值为10分,有六分之五的考生选做,考生基本能读懂问题.第一问大部分学生能代入k =1并回答曲线是圆;第二问学生主要采用解法1和解法2,大部分考生能写出直线C 2的普通方程并与曲线C 1联立.但考
生的计算能力有待提高,往往只能表达出联立的步骤,并不能实现消元;或者能够通过消元得到一元二次方程,却无法解得方程的正解.通过典型错误的统计,可以发现学生对这一模块的知识掌握情况并不乐观,主要体现在基本概念不清晰、基本方法不熟练,运算能力、表达能力等方面的欠缺.因此,在数学基本概念的理解教学上,在提高学生的数学计算能力上,我们任重而道远.
2典型错误分析
(1)第一问曲线描述正确但不完整在抽样统计中,有24%的考生只回答“圆”或“半径为1的圆”或“圆心在原点的圆”.反映了考生不知道描述一条曲线不能仅仅说明形状,还应该包含这条曲线的关键要素.也就是说描述应该产生一个唯一确定的结果,即能根据曲线的文字描述将曲线还原.体现了考生的规范意识有所欠缺.
(2)第一问曲线描述不正确或没有回答问题部分考生转化参数方程时,得到错误曲线y =x tan t 或x 2+y 2=t 2,并回答曲线是“直线”或“椭圆、双曲线”等.这部分考生有的不知道如何消参,有的对参数的理解错误,造成转化过程并没有消去参数t ;也有的认为cos t 是cos 乘t ;还有的是对于常见曲线方程的形式不能给出正确判断.反映出考生的基本概念不清晰.
(3)第二问参数方程C 1无法正确消参在抽样统计中,也有22%的考生卡在如何消去参数这个步骤.大部分考生只代入k =4,或者尝试用x −y =cos 2t −sin 2t 就没有后续,或者消参后得到错误的方程x +y =1.究其原因,是考
生对三角恒等式的运用不熟练,不能观察出√
x =cos 2t 与√
y =sin 2t 或者不懂得进一步化成cos 2t 完成消元,进而消参.也有部分考生错用cos 2t +sin 2t =1.体现考生观察能力不佳,解题的基本方法没有掌握.(4)不会求解方程组
√x +√y =1,
4x −16y +3=0.
在抽样统
计中,有14%的考生懂得通过联立求交点坐标,却不知道如何求解方程组.考生的心理素质有待提高,很多学生看到根号就懵了.对代入消元法解方程组没有掌握到位,以至于只能表达出联立步骤.部分考生能通过消元法得到一个一元二次方程,却无法正确使用十字相乘法或公式法求解得方程的根.这正体现了考生的数学运算的学科核心素养的欠缺.
(5)写出4cos 4t −16sin 4t +3=0后不会消元在抽样统计中,约有13%考生看到四次方就不知所措,实际上反映出考生指数运算不过关,不知道可以把cos 4t 看成(cos 2t )2,并利用cos 2t +sin 2t =1实现消元,化成一个一元二次方程.指数运算的不过关还体现在二倍角公式的使用错误,
有些考生将
x =cos 4t =
(cos 2t +12)2
y =sin 4t =
(1−cos 2t 2)2写成错误形式 x =cos 4t =cos 2
2t +12,
y =sin 4t =1−cos 22t 2
,
实属不该.(6)书写过程出现符号错误或结果出现增根等有考生
将直线的方程4x −16y +3=0写成错误形式4x −6y +3=0,4x −16y +3,4x +16y +3=0或2x −16y +3=0等.这种错误属于考生的非智力因素失分,应尽量避免粗心导致的符
号或系数的抄错.有的考生将√x +√
y =1变形错误得到
x 2+y 2+2√
xy =1或x 2+y 2=1等,体现的是对完全平方公式的使用不熟练.也有考生回答公共点坐标为(14,
1
4)
或(16936,4936
)
,并没有舍去增根,是作答过程中缺乏严谨性.
三、教学建议
由于2021年起广东省高考数学采用新课标卷,不分文理,取消选做题,因此本模块学习不再作为新课程标准要求的教学内容.但基于以上试题呈现与问题分析,结合解法研究及考生典型错误分析,不难发现考生运算能力薄弱与数学基本概念不清晰是导致高考数学失分的一个重要因素.2017版《普通高中数学课程标准》指出数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.
笔者针对数学运算这一核心素养,结合中学数学计算能力的提升策略,给出如下教学建议.
1立足运算对象,实现知识迁移,讲好数学运算法则数学运算是解决数学问题的基本手段.学生在学习数学的过程中,几乎都是在利用数学运算解决各种问题,从低年级实数的加减乘除运算到高年级的集合、指对数、三角函数、向量、概率等,运算不断拓展与深化.然而,很多学生只知其一不知其二,甚至只会通过记背公式的方式进行数学运算,导致无法熟练掌握运算法则,容易出现计算错误.
数学教育家傅种孙提出:知其然,知其所以然,何由以知其所以然!在教学过程中,学生要真正掌握知识本身,教师应该做好第一步,让学生“知其然,知其所以然”.教学中,教师应该立足运算对象,首先让学生了解我们的运算对象是什么.例如在讲集合的运算前,学生可以从一类事物的实例了解集合提出的背景,再对研究对象的概念进行剖析,让学生理解何为集合,接着从集合的基本关系出发定义集合的运算.而不是草率地把集合的概念抛出,接着类比实数的运算给出集
合的交并补运算.教师只有带着学生一步一步探索知识本身,重视知识的生成过程,学生清楚地知道其来龙去脉,才能形成自己的知识框架,才能拥有自己的思维模式,才能将运算真正理解透彻.
其次是运算法则的讲解,如何讲好?实际上就是如何让学生接受一个新的事物,并能将其纳入自己的知识体系,融会贯通.讲一个新的概念,特别是数学概念,往往是比较抽象的,学生难免会产生认知冲突,甚至无法理解与接受.如何做好教学工作,使得新旧知识产生联系,又能使学生明确他们之间的区别,尤为重要.人教版数学书写道“数学中,引进一个新的概念或法则时,总希望它与已有的概念或法则相容”.因此,讲好运算法则,需要注重知识的迁移,通常运用类比、归纳、公式的正向与逆向使用对比等方法.如有理数指数幂运算性质,是可以从整数指数幂的运算性质类比得到的,它们是相容的;又如向量的加法运算,是从物理的合力概念而来,由位移的合成到向量的加法归纳得出向量的加法运算法则;再如十字相乘法解一元二次方程,先将二次项和常数项分别进行多次因式分解,再逆向交叉相乘验证,直至配凑出正确的因式.除了注重知识的迁移,笔者认为,还需要注重运算性质的推导.例如数列的性质,对于等差数列{a n },∀m,n,p,q ∈N ∗,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .不能要求学生只记忆“下标和相等,两项和相等”,建议从等差数列的通项公式出发,推导证明得出公式的正确性,学生在理解的基础上,才能更好地进行数列的运算.
高考始终围绕基本知识和基本技能进行考核,题目只是考核的形式和载体,教学中应立足基础,注重迁移,不能过度地以题为本,否则容易导致学生学习和备考中的高强度和低效率,产生厌学情绪.
2板书详细解答,强化变式训练,提升学生计算能力学生计算能力的提升需要教师的言传身教,无论计算的难易、步骤的繁简,教师若能事无巨细,条理清晰,详细板书计算过程,一定可以给学生起到良好的示范作用.学生在解答的过程中,也会模仿老师的做法,规划好草稿区域,尽量细化每一步运算,不断深化自己的计算功力.如若教师在授课过程中,不愿意用黑板或白板书写详细解答过程,只依赖课件或者通过投影进行答案的展示,则很难让学生感受到数学解题过程中需要注意的细节问题,包括解题思路、书写规范、计算过程等.
当然,教师还需要强化变式训练,让学生能够在有限的题型训练中,获取更多的思维碰撞,实现计算的灵活性.计算并不是一条路走到黑,而是可以有多种途径选择,如何明确
2020年高考全国I 卷不等式选讲试题分析及备考建议
广东省深圳中学(518001)
周峻民
摘要本文对2020年高考全国I 卷文理第23题进行分析与点评,并对2021年高考备考提出建议.
关键词高考;选做题;不等式;分析;点评;建议
1试题呈现
题目(2020年高考全国I 卷文理第23题)已知函数f (x )=|3x +1|−2|x −1|.
(1)画出y =f (x )的图像;
(2)求不等式f (x )>f (x +1)的解集.
该题以分段一次函数的作图与解不等式为载体,体现数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,渗透直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.
自己的计算方向,简化运算,降低计算错误率是学生提升计算能力的重要环节.正如本试题解答所提及的解一个一元二次方程,我们有公式法、十字相乘法、配方法等,在解题的过程中,我们会依据方程的特点,选用最合适的方法.例如对于方程12cos 4t −32cos 2t +13=0采用十字相乘法更佳,对于方程3(cos 2t )2−10cos 2t =0采用提公因式法更加,对于
方程12y +8√
y −7=0采用十字相乘法或公式法均可.
3作业精细批改,强化检验意识,培养良好计算习惯《普通高中数学课程标准》指出高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握,更关注数学学科核心素养的形成和发展,制定科学合理的学业质量要求,促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.评价既要关注学生学习的结果,更要重视学生学习的过程.笔者认为,学生计算能力的培养,是在掌握了数学运算法则之后对该法则的使用中不断实现的.在现阶段的教学形式上,作业与考试是反馈学生学习效果的最佳手段,也是教师在阶段性评价上能帮助学生更好地掌握运算法则的重要途径.
很多时候,学生在计算上出现的错误,我们并不能一概而论;学生对法则的掌握程度也是不相同的;甚至我们不能想象在高考中学生也会出现抄错数字的低级错误.事实上,任何计算过程都难免出错,例如错位相减法求和运算中,很多学生不能得到正确的运算结果,有的学生是乘公比后作差时最后一项符号出现错误,有的学生是等比公式使用时指数书写错误,有的学生是化简时系数计算错误等等,这些都需要教师更为细致地点拨,才能助力学生核心素养的发展.因此,要减少在运算法则的进一步使用中出现计算错误,教师在批改作业时应尽可能精细,若能用红笔圈出错误步骤,在课后一对一辅导找出错误原因,并指明更正方向;同时在学生广泛涉猎题型和题目的基础上,教师有计划有目的地安排
少量典型题目展开精解和细评活动,将是有益的;甚至可以要求学生尽可能以最少的笔墨不失严谨地将解题过程展现出来,先让学生之间相互批改共同进步,后由教师课上进行权威点评.在作业批改过程中,对表达过程的这种严苛要求,将促使学生能清晰地知道自己每个步骤在做什么(所依据的是题目中的什么条件和课本中的哪些命题结论),从而实现对相关知识和计算方法的严谨梳理.
培养学生养成良好的计算习惯,还需要强化学生的检验意识.事实上,计算结果正确与否,只需代入验算即可.然而许多教师在教学过程中却“重头轻脚”,只想着如何将运算法则讲好讲细,如何在训练中使学生熟练掌握运算法则,却忽略了验算这一重要的计算习惯.同样的,不少学生极力展示解答问题的过程和步骤,甚至到了啰嗦冗余的地步,但却不愿花费仅约十分之一的时间去对所得计算结果进行验证,错
失纠错机会.例如解一元二次方程12y +8√
y −7=0时,将
结果√y =12代入验证,即可确定其正确性;而把√
y =
136
代入验证,等式不成立即为错解.因此,只要学生能够有意识的进行计算的检验,就可以有效发现自己的计算错误,减少失分.
只有在教学过程中做好细节,积累经验,不断探索,才能实现计算能力的稳步提升,培养学生良好的数学运算核心素养.
参考文献
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2020年修订)[S].北京:人民教育出版社,2020.
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[J].中学数学研究(华南师范大学版),2017(9):39-44.
[3]刘龙标.2019年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题评析和备考建
议[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(9):41-45.。