第1章第4课时 矩形的判定PPT课件(北师大版)

1．依次连接菱形的各边中点，得到的是( A )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．梯形
2．如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点
O，OA＝3，若要使▱ABCD 为矩形，则 OB 的长度为( )
B
A．4
B．3
C．2
D．1
3．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F 在边 BC 上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形 AEFD 是平
知识点 2 矩形的性质与判定的综合 ☞
例 3 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 F 在 CA 的
延长线上，AD，AE 分别是∠BAC 和∠BAF 的平分线，
BE⊥AE，垂足为 E.求证：AB＝DE.
证明：∵AD 平分∠BAC，AE 平分∠BAF， ∴∠BAD＋∠BAE＝12∠BAC＋12∠BAF＝90°. ∴DA⊥AE. ∵AB＝AC，AD 平分∠BAC，∴AD⊥BC. 又∵BE⊥AE，DA⊥AE， ∴∠ADB＝∠BEA＝∠DAE＝90°. ∴四边形 ADBE 是矩形．∴AB＝DE.
变式 3 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是菱形外一点，且 DE∥AC，CE∥BD， 连接 OE.求证：OE＝CD.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 ODEC 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°. ∴四边形 ODEC 是矩形．∴OE＝CD.
(2)若 CE＝1，DE＝2，求菱形 ABCD 的面积．
解：由(1)知，四边形 OCED 是矩形， ∴OD＝CE＝1，OC＝DE＝2， ∴Байду номын сангаасD＝2OD＝2，AC＝2OC＝4. ∴菱形 ABCD 的面积是12AC·BD＝12×2×4＝4.
第4课时 矩形的判定
核心提要 典例精炼 变式训练 基础演练 能力拔高 拓展培优
1．当四边形是平行四边形时： 需要条件：有一个角是 直直角角 ；邻角 相等 ；对角 线 相等 ． 2．当四边形为一般四边形时： 需要条件：有三个角是 直直角角 ；对角线 互相平 且分相且等相等 ．
知识点 1 矩形的判定定理 ☞ 例 1 已知点 A，B，C，D 在同一平面上，有 6 个 条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD； ⑤AC＝BD；⑥∠A＝90°.从这 6 个条件中选出 ①①②⑥，, ①③⑥，，①①②②⑤⑤，，①③①⑤③，⑤②，④②⑤④，⑤②，④⑥②，④③⑥④，⑤③，④③⑤④，⑥ ③(答④案⑥不(唯答一案，不只唯要一写，出只一要组写即出可一) 组 即可)，能使四边形 ABCD 是矩形．
变式 1 下列条件，不能判定四边形 ABCD 为矩形 的是( C )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90° C．AB＝BC，AD＝CD，∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
例 2 如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分
线相交于点 E，F，G，H.求证：四边形 EFGH 是矩形．
行四边形．当 AB＝DC 时，求证：▱AEFD 是矩形．
证明：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC， ∴四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形， ∴ED＝AB，AF＝CD. ∵AB＝DC，∴ED＝AF. 又∵四边形 AEFD 是平行四边形，
∴▱AEFD 是矩形．
4. 如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，
(2)连接 AD，BE，若要使四边形 DBEA 是矩形，则 需给△ABC 添加什么条件，为什么？
解：添加 AB＝BC.理由如下： ∵DB∥AE，DB＝AE， ∴四边形 DBEA 是平行四边形． ∵BC＝DE，AB＝BC，
∴AB＝DE.∴▱ ADBE 是矩形．
6．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行 线，两直线相交于点 E.
变式 2 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，DE， DF 是△ABC 的中位线，连接 EF，AD.求证：四边形 AEDF 是矩形．
证明：∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形 AEDF 是平行四边形． ∵DE∥AB，∠BAC＝90°，∴∠DEC＝90°， ∴∠DEA＝90°.∴四边形 AEDF 是矩形．
(1)求证：四边形 OCED 是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°. ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形 OCED 是平行四边形． 又∵∠COD＝90°，∴四边形 OCED 是矩形．
6．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行 线，两直线相交于点 E.
5．(2017·贵州安顺)如图，DB∥AC，且 DB＝12AC， E 是 AC 的中点．
(1)求证：BC＝DE. 证明：∵E 是 AC 的中点， ∴EC＝12AC.∵DB＝12AC，∴DB＝EC. 又∵DB∥EC，∴四边形 DBCE 是平行四边形． ∴BC＝DE.
5．(2017·贵州安顺)如图，DB∥AC，且 DB＝12AC， E 是 AC 的中点．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AE 平分∠DAB，BG 平分∠ABC， ∴∠EAB＋∠ABG＝12×180°＝90°. ∴∠AFB＝90°.∴∠EFG＝90°. 同理可证∠AED＝∠BGC＝∠GHE＝90°. ∴四边形 EFGH 是矩形．
EF＝BC.求证：四边形 EBCF 是矩形．
证明：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴△AEB≌△AFC. ∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠EBC＝∠FCB. ∵EB＝FC，EF＝BC， ∴四边形 EBCF 是平行四边形． ∴EB∥FC.∴∠EBC＋∠FCB＝180°. ∴∠EBC＝∠FCB＝90°. ∴四边形 EBCF 是矩形．