安徽省安庆市石化第一中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷

石化一中2022-2023学年第二学期八年级数学期末考试试卷一、选择题（本大题10小题，共40分。

在每小题列出选项中，选出符合题目的一项）1．下列各式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
3．下列根式中，与为同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．用求根公式解一元二次方程5x2﹣1＝4x时a，b，c的值是（）
A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4B．a＝5，b＝﹣4，c＝1
C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1D．a＝5，b＝4，c＝1
5．在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，若∠B＝56°，则∠C的度数是（）A．56°B．65°C．114°D．124°
6．有一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）
A．5B．C．D．5或
7．下列说法错误的是（）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形
8．下列说法中正确的是（）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
9．一组数据2，3，5，5，5，6，9．若去掉一个数据5，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差
10．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G 作GE⊥AD于点E，若AB＝2，且∠1＝∠2，则下列结论正确个数的有（）
①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四边形BFGC＝﹣1．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本大题4小题，共20分）11．若二次根式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
．
12．关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为
．
13．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为
．
14．已知如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是CD 边上的中点，矩形GHIF 经过正方形A 、B 、C 三个顶点，并正好经过E 点，连接BE ，若BE ⊥FI ．（1）矩形BHIE 的面积是；
（2）
＝
．
三、解答题（本大题共90分）15．（本题8分）计算：483
1
6
26+-÷．
16．（本题8分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0
17．（本题8分）已知，，求下列代数式的值．
（1）a2+b2+2ab；（2）a2﹣b2．
18．（本题8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF＝BC．试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．
19．（本题10分）观察以下等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
第4个等式：＝；
第5个等式：＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
20．（本题10分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为，图①中m的值为；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．（本题12分）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
22．（本题12分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
23．（本题14分）如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点（0＜
BM），连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．
（1）求证：AM＝MN．
（2）如图2，以MA，MN为邻边作矩形AMNP，连接PD．
①求证：BM＝PD；
②若正方形ABCD的边长为，PD＝4，求AM的长．
安庆石化一中2022-2023学年第二学期八年级数学期末试卷
解析版
一、选择题（本大题10小题，共40分。

在每小题列出选项中，选出符合题目的一项）1．下列各式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝＝2，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B．
2．下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2+4，故A错误；
（B）原式＝2，故B错误；
（D）原式＝﹣，故D错误；
故选：C．
3．下列根式中，与为同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】先化简二次根式，再根据定义判断解可得．
【解答】解：∵＝2，
∴与为同类二次根式的是，
故选：A．
4．用求根公式解一元二次方程5x2﹣1＝4x时a，b，c的值是（）
A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4B．a＝5，b＝﹣4，c＝1
C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1D．a＝5，b＝4，c＝1
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，
∴5x2﹣4x﹣1＝0，
则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
故选：C．
5．在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，若∠B＝56°，则∠C的度数是（）A．56°B．65°C．114°D．124°
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，则∠B+∠C＝180°，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣56°＝124°，
故选：D．
6．有一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）
A．5B．C．D．5或
【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，
故选：D．
7．下列说法错误的是（）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，错误；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确；
D、邻边相等的矩形是正方形，正确；
故选：B．
8．下列说法中正确的是（）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．
【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为
直角．
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选：C．
9．一组数据2，3，5，5，5，6，9．若去掉一个数据5，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别进行求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是（2+3+5+5+5+6+9）＝5，去掉一个数据5后平
均数仍为5，故A与要求不符；
B、原来数据的众数是5，去掉一个数据5后众数仍为5，故B与要求不符；
C、原来数据的中位数是5，去掉一个数据5后中位数仍为5，故C与要求不符；
D、原来数据的方差是：[（2﹣5）2+（3﹣5）2+3×（5﹣5）2+（6﹣5）2+（9﹣5）2]
＝，
去掉一个数据5后，方差是[（2﹣5）2+（3﹣5）2+2×（5﹣5）2+（6﹣5）2+（9﹣5）2]＝5，发生变化的是方差；
故选：D．
10．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G 作GE⊥AD于点E，若AB＝2，且∠1＝∠2，则下列结论正确个数的有（）
①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四边形BFGC＝﹣1．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD＝∠2，得出AG ＝GD，AE＝ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG＝∠AEG＝90°，即可得出
①正确；
②由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD＝BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠
BAC＝∠1＝∠2＝30°，由AC＝2AB•cos∠BAC，AG＝，求出AC，AG，即可得出②正确；
③由勾股定理求出DF＝，由GE＝tan∠2•ED求出GE，即可得出③正确；
④由S四边形BFGC＝S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出④不正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FAG＝∠EAG，∠1＝∠GAD，AB＝AD，
∵∠1＝∠2，
∴∠GAD＝∠2，
∴AG＝GD，
∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，
∴AE＝ED，
∵F为边AB的中点，
∴AF＝AE，
在△AFG和△AEG中，
，
∴△AFG≌△AEG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEG＝90°，
∴DF⊥AB，
∴①正确；
∵DF⊥AB，F为边AB的中点，
∴AF＝AB＝1，AD＝BD，
∵AB＝AD，
∴AD＝BD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠1＝∠2＝30°，
∴AC＝2AB•cos∠BAC＝2×2×＝2，
AG＝＝＝，
∴CG＝AC﹣AG＝2﹣＝，
∴CG＝2GA，
∴②正确；
∵GE垂直平分AD，
∴ED＝AD＝1，
由勾股定理得：DF＝＝＝，
GE＝tan∠2•ED＝tan30°×1＝，
∴DF+GE＝+＝＝CG，
∴③正确；
∵∠BAC＝∠1＝30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
FG＝AG＝，
S四边形BFGC＝S△ABC﹣S△AGF＝×2×1﹣×1×＝﹣＝，
∴④不正确；
故选：C．
二、填空题（本大题4小题，共20分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＜5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，
解得：x＜5，
故答案为：x＜5．
12．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，
解得m＝4．
故答案为：4．
13．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为24．
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
∴x2+7x＝12，
∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．
故答案为：24．
14．已知如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD边上的中点，矩形GHIF经过正方形A、B、C三个顶点，并正好经过E点，连接BE，若BE⊥FI．
（1）矩形BHIE的面积是2；
（2）＝．
【分析】（1）首先求出△BCE的面积，根据矩形BHIE的面积
为2S △BCE ，可得答案；
（2）利用矩形面积首先求出BH 的长，勾股定理得出HC 的长，再利用AAS 证明△ABG ≌△BCH ，得BG ＝CH ，即可得出HG 的长，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵点E 是CD 的中点，
∴CE ＝CD ＝1，
∴S △BCE ＝＝1，
∵四边形BHIE 是矩形，点C 在HI 上，
∴矩形BHIE 的面积为2S △BCE ＝2，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得，BE ＝＝，∵矩形BHIE 的面积是2，
∴BH ＝，
由勾股定理得，CH ＝＝，∵∠ABG +∠CBH ＝90°，∠ABG +∠GAB ＝90°，
∴∠GAB ＝∠HBC ，
∵AB ＝BC ，∠G ＝∠H ，
∴△ABG ≌△BCH （AAS ），
∴BG ＝CH ＝
，
∴GH ＝BH +GB ＝，
∴＝，故答案为：．
三、解答题（本大题共90分）
15．（本题8分）计算：483
1626+-÷．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式＝﹣2+4
＝3．
16．（本题8分）解方程：x 2﹣4x ﹣3＝0
【分析】用求根公式法求解方程即可；
【解答】解：（1）x 2﹣4x ﹣3＝0，a ＝1，b ＝﹣4，c ＝﹣3，
∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
∴原方程有两个相等的实数根，∴2
724±，∴方程的解为：721+=x ，722-=x .
∴方程的解为：y 1＝﹣4，y 2＝﹣5．
17．（本题8分）已知，
，求下列代数式的值．（1）a 2+b 2+2ab ；
（2）a 2﹣b 2．【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a ＝
+2，b ＝﹣2，∴a +b ＝（
+2）+（﹣2）＝2，∴a 2+b 2+2ab
＝（a +b ）2
＝（2
）2＝28；
（2）∵a ＝
+2，b ＝﹣2，∴a ﹣b ＝（+2）﹣（﹣2）＝4，
∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＝2
×4＝8．18．（本题8分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，且CF ＝BC ．试猜想DE 与CF 有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE ＝BC ，等量代换，得到答案．
【解答】解：DE＝CF，
理由如下：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
19．（本题10分）观察以下等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
第4个等式：＝；
第5个等式：＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据题意写出第6个等式；
（2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论．
【解答】解：（1）第6个等式：＝；
（2）第n个等式：＝．
证明：
＝
＝
＝
＝．
20．（本题10分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为40人，图①中m的值为30；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（1）频数÷所占百分比＝样本容量，m＝100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10＝30；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），
m＝100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10＝30；
故答案为40人，30．
（2）平均数＝（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40＝15，
16出现12次，次数最多，众数为16；
按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．
21．（本题12分）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：250（1+x）件；三月份的销售量为：250（1+x）（1+x）件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝1950求出即可．
【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x ，根据题意可得：
250（1+x ）2＝360，
解得：x 1＝51，x 2＝﹣5
11（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为20%；
（2）设当商品降价m 元时，商品获利1950元，根据题意可得：
（40﹣30﹣m ）（360+6m ）＝1950，
解得：m 1＝5，m 2＝﹣55（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
22．（本题12分）如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F 点使CF ＝BE ，连接AF ，DE ，DF ．
（1）求证：四边形AEFD 是矩形；
（2）若AB ＝6，DE ＝8，BF ＝10，求AE 的长．
【分析】（1）先证明四边形AEFD 是平行四边形，再证明∠AEF ＝90°即可．
（2）证明△ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE 的长．
【解答】（1）证明：∵CF ＝BE ，
∴CF +EC ＝BE +EC ．
即EF ＝BC ．
∵在▱ABCD 中，AD ∥BC 且AD ＝BC ，
∴AD ∥EF 且AD ＝EF ．
∴四边形AEFD 是平行四边形．
∵AE ⊥BC ，
∴∠AEF ＝90°．
∴四边形AEFD 是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD 是矩形，DE ＝8，
∴AF ＝DE ＝8．
∵AB ＝6，BF ＝10，
∴AB 2+AF 2＝62+82＝100＝BF 2．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积＝AB•AF＝BF•AE．
∴AE＝＝＝．
23．（本题14分）如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点（0＜
BM），连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．
（1）求证：AM＝MN．
（2）如图2，以MA，MN为邻边作矩形AMNP，连接PD．
①求证：BM＝PD；
②若正方形ABCD的边长为，PD＝4，求AM的长．
【分析】（1）过点M分别作ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，得四边形FMED是矩形，然后证明△AMF≌△NME（ASA），即可解决问题；
（2）①先证明四边形AMNP是正方形，再证明△ABM≌△ADP（SAS），即可解决问题；
②连接MP，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，过点M分别作ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，则∠AFM ＝∠MEN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，
∴ME＝MF，四边形FMED是矩形，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF＝90°﹣∠FMN＝∠NME，
∴△AMF≌△NME（ASA），
∴AM＝MN；
（2）①证明：四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵四边形AMNP是矩形，且AM＝MN，
∴四边形AMNP是正方形，
∴AM＝AP，∠MAP＝90°，
∴∠BAD＝∠MAP，
∴∠BAM＝90°﹣∠MAD＝∠DAP，
∴△ABM≌△ADP（SAS），
∴BM＝PD；
②如图2，连接MP，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD＝AB＝12，
∵BM＝PD＝4，
∴DM＝BD﹣BM＝12﹣4＝8，
∵△ABM≌△ADP，
∴∠ADP＝∠ABM＝45°，
∴∠PDM＝∠ADP+∠ADM＝90°，
在Rt△PMD中，PM＝＝＝4，∵∠MAP＝90．AM＝AP，
∴AM＝PM＝2．。