江西省南昌市八一中学高三数学2月测试试题 文

2016~2017学年度第二学期高三文科数学2月份月考测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

（1）若集合{}|0B x x =≥，且A B A =，则集合A 可能是( )
（A ）{}
1,2 （B ）{}|1x x ≤ （C ）{}1,0,1-
（D ）R
（2）已知方程
()
2(4)40x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于 （ ）
A.22i -
B.22i +
C.22i -+
D.22i --
（3）设函数R x x f y ∈=),(,“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的 ( )条件
（A ）充分不必要 （B ）必要不充分条件 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要 （4）双曲线)0,0(1:2
2
22>>=-b a b y a x C 的离心率213=e ，则它的渐近线方程为( )
（A ）x y 23±
= （B ）x y 32±= （C ）x y 49±= （D ）x y 9
4±= （5）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的
下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )
（A ）31 （B ）41 （C ）51 （D ）6
1
（6）如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，
则该几何体的侧视图为( )
（7）已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30,AB AC BAC =∠=若
,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1
,,2
x y ，则14x y +的最小值
是（ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
（8）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为( ) （A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11
（9）已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋3y ＋5≥0x ＋y －1≤0x ＋a ≥0
，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 （10）已知函数()sin cos ()f x x x R λλ=+∈的图象关于4
x π
=-
对称，则把函数()f x 的图象上每个点
的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3
π
，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程为（ ） （A ）6
x π
=
（B ）4
x π
=
（C ）3
x π
=
（D ）116
x π
=
（11）已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注
水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的8
7
时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于 ( ) （A ）
67π （B ）34π
（C ）32π （D ）2π
（12）已知2
cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式1
(ln )(ln )2(1)f x f f x
+<的解集为( )
（A ）),(+∞e （B ）(0,)e
（C ）1(0,)
(1,)e e
（D ）),1(e e
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）设向量),4(m a =
，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________.
（14）若角α满足sin 2cos 0αα+=，则sin 2α的值等于____________.
（15）已知直线ax y =与圆0222:2
2
=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且C AB ∆为等边三角形，则
圆C 的面积为____________.
（16）已知函数()
(
)2||()24x x m f x x m x mx m ≤⎧=⎨>-+⎩，其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程
b x f =)(有三个不同的零点，则m 的取值范围是____________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和2
*3,4
n n n S n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2{}n b 的前n 项和．
A
C
D
E
1D F
1
A 1
B 1
C A
B E
1
D F 1
A 1
B 1
C （1）
（2）
(A)
(B)
(C)
(D)
（18）（本小题满分12分）
某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元；未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示。

该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100200x ≤≤)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润。

（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的中位数；
（Ⅱ）将y 表示为x 的函数，并根据直方图估计利润不少于4800元的概率。

（19）（本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将ADM ∆沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C ，得四棱锥'D ABCM -． (1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB ； (2)若π'3D EF ∠=
，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为π
3
，求几何体'A D EF -的体积.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -
，点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线5
3
y =上找
到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x
=
+≠∈R ，． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间(0]e ，
上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立， 求实数a 的取值范围．
请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，
建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨
=⎩
（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,
且AB =求直线l 的倾斜角α的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数5
(),2
f x x x a x R =-
+-∈． (Ⅰ)求证：当2
1
-
=a 时，不等式ln ()1f x >成立． (Ⅱ)关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值．
频率/组距
需求量
1001201401601802000.01500.0125
0.01000.00750.0050
O
高三文科数学2月份月考测试卷参考答案与评分标准
分，共
13. 102 14. 4
5
- 15. π6 16. ()3,+∞
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分12分） 解：（1）当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()()2
2
113131
442
n n n n n n n n a S S --+-++=-=-=
因为11a =也适合上式，因此，数列{}n a 的通项公式为1
2
n n a +=
………5分 （2）由（1）知，12n n a +=
记数列{}n b 的前n 项和为
n T )11111(1)2[()()]23
12
n n n n ++++--++-++
记
111
11
(1)2,(
)(
)23
12
n n B n n ++++=-++-++，则
2
2n A n +=，
{}n b 的前n ……12分 18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率直方图得：需求量为)120,100[的频率1.02005.0=⨯=，
需求量为)140,120[的频率2.02001.0=⨯=，需求量为[140,160)的频率
3.020015.0=⨯=，
则中位数3
460
2032140=⨯+=x ……………4分
（Ⅱ）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
所以当160100≤≤x 时，480080)160(3050-=-⨯-=x x x y …………5分 当200160≤≤x 时，800050160=⨯=y …………7分
所以⎩
⎨
⎧≤<≤≤-=200160,8000160
100,480080x x x y . ……………8分
因为利润不少于4800元，所以4800480080≥-x ，解得120≥x ,…………10分
所以由（1）知利润不少于4800元的概率9.01.
01=-=
P ……………12分
19．（本小题满分12分）
证：(1)E EF E D EF AM E D AM =⋂'⊥'⊥,,
EF
D AM '⊥∴
面AM AMCB ⊂面EF D AMCB '⊥∴面面 …………5分
(2)过D '
作EF H
D ⊥'于H 平面'D EF ⊥平面AMCB
∴⊥'H D 平面AMCB 直线'D F 与平面ABCM
所成角的大小为
3
π
∴3
D F
E π'∠= '3
D EF π
∠=
∴EF D '∆是正三角形
∴h =
113V =⨯=
……………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，
因为A ⎛ ⎝⎭
在椭圆C 上，所以122a AF AF =+=， ．
．．．．．．．．2分 因此2
2
2
1a b a c ==-=，故椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线的方程为2y x t =+，
设()11,M x y ，()()223445,,,,,3
N x y P x Q x y ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，MN 的中点为()00,D x y ，
由22212
y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，得229280y ty t -+-=， ……………6分
所以1229t y y +=
，且()22
43680t t ∆=-->，故12029
y y t y +==且33t -<<．．．．．8分
由PM NQ =得),()3
5
,(2424131y y x x y x x --=-- ．．．．．．．．．9分
所以有24135y y y -=-，=-+=35214y y y 3
5
92-t ．．．．．．．．．．．．10分
(也可由PM NQ =知四边形PMQN 为平行四边形 而D 为线段MN 的中点，因此，也D 为线段PQ 的中点，
所以405329
y
t y +==，可得42159t y -=)，
又33t -<<，所以47
13
y -
<<-，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[]1,1-矛盾。

．．．．．．11分 因此点Q 不在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当1a =，()22111'x f x x x x
-=-+=．
令()'0f x =得，1x =．………………………………1分
又()f x 的定义域为()0+∞，，由()'0f x <得01x <<，由()'0f x >得，1x >． 所以1x =时，()f x 有极小值为1．
()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，．……………………3分
（Ⅱ）若在区间(0]e ，
上存在一点0x ，使得()00f x <成立，即()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于0． ()22
11'a ax f x x x x -=-
+=，且0a ≠，令()'0f x =，得到1
x a =………………………4分
当1
0x a
=
<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，
上单调递减…………5分 故()f x 在区间(0]e ，
上的最小值为()11
ln f e a e a e e
=+=+，………………………6分 由10a e +<，得1a e <-，即1a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，．………………………………………………7分
当1
0x a
=
>即0a >时， ①若1
e a
≤
，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，
成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减………8分 则()f x 在区间(0]e ，
上的最小值为()11
ln 0f e a e a e e
=+=+>， 显然，()f x 在区间(0]e ，
的最小值小于0不成立．………………………9分 ②若10e
<
<，即1
a >时，则有 所以()f x 在区间(0]e ，
上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，………………………10分 由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫
=+=-< ⎪⎝⎭
，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，……11分
综上，由①②可知，()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭，，符合题意．………………………………12分
22. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=．
∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,
∴曲线C 的直角坐标方程为22
40x y x +-=
,即()2
224x y -
+=. ……………4分
（Ⅱ）将1cos ,sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩代入圆的方程得()()22
cos 1sin 4t t αα-+=,
化简得22
cos 30t t α--=． ……………5分
设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则1212
2cos ,
3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ……………6分
∴12AB t t =-=
== ……………8分
∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34
π
． ……………10分 23. （本小题满分10分）
解：(1)证明：由51
()||||22f x x x =-++1222153225222x x x x x ⎧
-+ <-⎪⎪⎪= -≤≤⎨⎪
⎪
- >⎪⎩
………2分
得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立. ………5分
(2) 由绝对值的性质得555
()|||||()()|||222
f x x x a x x a a =-
+-≥---=-， ………7分 所以()f x 最小值为5||2a -，从而5
||2
a a -≥， ………8分
解得5
4
a ≤， ………9分
因此a 的最大值为5
4
. ………10分。