高中数学必修2知识点归纳(5~8)

必修2知识点归纳
1、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

,l m l n
l m n A m n α
α⊥⎫⎪⊥⎪
⇒⊥⎬=⎪⎪⊂⎭
⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ l l ααββ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
2、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

l l βαβα⊥⇒⊥⊂⎫
⎬⎭
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

m l l l m αβ
αββα⊥=⇒⊥⊂⊥⎫
⎪⎪
⎬⎪
⎪⎭
证明两直线垂直和主要方法：
①利用勾股定理证明两相交直线垂直； ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；
④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）
a
斜影线αP
O
A
,PO OA PA a PA a a OA
ααα⊥⇒⇒⊥⊂⊥⇒⎫⎬⎭
图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。

空间角及空间距离的计算
1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，
(通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线)
2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。

如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足， OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。

3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面
角的平面角的大小。

二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 （求空间角的三个步骤是“一作”、“二证”、“三算”）
4.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。

如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 求法通常有：定义法和等体积法
等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。

如图在三棱锥V
ABC -中有：S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----===
第三章 直线与方程
1.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x 轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。

直线倾斜角的范围：0180α︒≤<︒，当直线与x 轴平行或者是重合时，倾斜角为0︒
2.直线斜率的定义：倾斜角不为90︒直线，倾斜角的正切值叫直线的斜率。

记作:tan (90)k αα=≠︒ 当倾斜角为90︒时直线的斜率不存在。

----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，的平面角。

且则为二面角
a b ''︒︒如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异
面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]
3.直线l 过点1
11222(,),(,)P x y P x y ，则直线的斜率为：211221
()y y k x x x x -=≠-
4.直线方程的表示形式：
⑴点斜式：()00y y k x x -=-，当斜率不存在时，直线与x 轴垂直，倾斜角为90︒，
此时直线方程为：0x x =，如右图，特别地y 轴所在直线方程为0x =。

⑵斜截式：b kx y +=（b 为直线在y 轴上的截距） ⑶两点式：1121
21
y y x x y y x x --=
--
⑷截距式：1(0,0)x
y a b a b
+
=≠≠，
问题中出现两个截距时，通常设直线方程为1(0,0)x y
a b a b
+=≠≠。

方程中,a b 分别表示直线的横截距和纵截距，
一般地，在直线方程中，令0y =可求得横截距a ，令0x =可求得纵截距b ⑸一般式：0Ax By C ++=2
2
(0)A B +≠，所有直线方程都可化为一般式。

当0B ≠，直线的斜率A B
k =-，当0B =时，直线斜率不存在，方程可化为C A
x -
=
5.两直线的位置关系的判定：
对于直线 111222:,:l y k x b l y k x b =+=+有： ⑴12
1212
//k k l l b b =⇔≠⎧⎨⎩； ⑵ 12121l l k k ⊥⇔=-.
对于直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=有：
⑴1221121221
//A B A B l l B C B C =⇔≠⎧⎨
⎩； （2）1212120l l A A B B ⊥⇔+=.
6.交点与距离公式
（1）两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解，
即：111222
0A x B y C A x B y C ++=++=⎧⎨⎩①
（2）两点间距离公式： ()()22
12
2
121PP x
x y y =-+-
（3）点000(,)P x y 到直线:0l Ax By c ++=
距离公式：d =
（4）两平行线间的距离公式：对于直线（注意系数要相同）：
1122:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，1l 与2l
间的距离为：||
C C d -=
（5）线段1122(,),(,)A x y B x y 的中点坐标公式：12
12
2
2
x x x y y y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，(,)M x y 是线段AB 的中点。

第四章 圆与方程
1、圆的第一定义：到定点的距离等于定长的点的集合.{(,)||}P M x y MO r ==
2、圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)a b ，半径为r 。

3、圆的一般方程：2
2
2
2
0(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->。

圆心为(,)2
2
D E -
-
，半径r =。

当22
40D E F +-=时，方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=表示点(,)22D E -
-
当2
2
40D E F +-<时，方程22
0x y Dx Ey F ++++=不表示任何图形。

4、直线与圆的位置关系的判定：
几何法（1）相切：圆心到直线的距离d ＝r ；（2）相交：圆心到直线的距离d r <；
（3）相离：圆心到直线的距离d r >。

代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组2
2
y kx b
x y Dx Ey F =+++++=⎧⎨
⎩①
（1）若方程①有唯一一个解，直与圆相切；（2）若方程①有唯两个不等实数个解，直线与圆相交； （3））若方程①有无解，直线与圆相离。

特别地，当直线l 与圆C 相离时，P 为圆上的动点，||PH 为点P 到直线l 的距离，设d 为圆心到直线l 的距离，则.min
|
|,max
|
|r d PH r d PH -=+=
5、两圆位置关系的判定：设圆心距1
2
d C C =
几何法⑴相离：d R r >+； ⑵外切：d R r =+； ⑶相交：||R r d R r -<<+
⑷内切：||d R r =-； ⑸内含：||d R r <-.
代数法;将两圆的方程组成方程组2211122
2220
x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=⎧⎨⎩ 消元得：交点所在的直线方程。

4．3、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox ,,Oy Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O xyz -，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面.
2. 2
11212111222,(),,)222
,,,,z z x x y y A x B x y z y z +++（）点标设则线点标为5.
中坐公式：段AB的中坐( 3．空间中两点间距离公式：
12
PP =。