高中数学教案——正切函数的图象和性质 第二课时

课 题：410
正切函数的图象和性质（2）
教学目的：
1掌握正切函数的性质； 2掌握性质的简单应用； 3会解决一些实际问题
教学重点：正切函数的性质的应用．
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
正切线：
首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT ．
正切函数R x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”
余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）
正切函数的性质：
1．定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， 2．值域：R 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛
+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈πππ,2时0<y
4．周期性：π=T
5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数
6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内，函数单调递增
余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质： 1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 2．值域：R ， 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈πππ,2时0<y
4．周期：π=T
5．奇偶性：奇函数
6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减
二、讲解范例：
例1 用图象解不等式3tan ≥
x
解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+2,3
πππ
π 亦可利用单位圆求解
例2求函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 解：由2
3
3π
ππ
+
≠-
k x 得18
53ππ+≠
k x ，
∴所求定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 值域为R ，周期3
π
=
T ，是非奇非偶函数
在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数 例3作出函数()π2,0,tan 1tan 2
∈+=
x x
x y 且2
3,2π
π≠
x 的简图 解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛ππ∈-⎪
⎭⎫ ⎝⎛ππ⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈==+=23,2,sin 2,232,0,sin sec tan tan 1tan 2x x x x x x x x y
例4求下列函数的定义域 1、1
tan cot -=
x x
y 2、x x y csc cot ⋅=
解：1、⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
∈+≠≠+≠+≤<⇒+≠≠≠-≥z k k x k x k x k x k k x k x x x 242201tan 0cot π
ππππππππππ
Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+,2,44,πππππππ
2{
}⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⇒≠≤≤≠≥≥轴括第一象限或第四象限包或y k x x x k x x x π
π0csc 0cot 0csc 0cot z k k k k k x ∈-
⋃+
∈∴)2,2
2[]2
2,2(ππ
ππ
ππ
例5 已知函数y =si n 2x +3cos2x -2
(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象
(2)求这个函数的周期和单调区间(3)求函数图象的对称轴方程
(4)说明图象是由y =si nx 的图象经过怎样的变换得到的
解：y =sin2x +3cos2x -2=2sin(2x +3
π
)-2 (1)
其图象如图示 (2)2
2π
=T =π 由-
2π+2k π≤2x +3π≤2π
+2k π，知函数的单调增区间为 ［-125π+k π,12π+k π］,k ∈
Z 由2π+2k π≤2x +3π≤23
π+2k π，知函数的单调减区间为 ［12π+k π,12
ππ+k π］,k ∈Z (3)由2x +3π=2
π+k π得x =12π+2k
π
∴函数图象的对称轴方程为x =12π+2
k
π,(k ∈Z )
(4)把函数y 1=sin x 的图象上所有点向左平移3
π
个单位，得到函数
y 2=si n (x +
3
π
)的图象； 再把y 2图象上各点的横坐标缩短到原来的2
1
倍(纵坐标不变)，得到y 3=sin (2x +
3
π
)的图象； 再把y 3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y 4=2sin (2x +
3
π
)的图象； 最后把y 4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y =2sin (2x +
3
π)-2的图象
评注：(1)求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式
(2)对于函数y =Asin(ωx +φ)的对称轴，实际上就是使函数y 取得最大值或最小值时的x 值
(3)第(4)问的变换方法不惟一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序！ 例6 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =Asin(ωx +φ)+B
(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20(℃)
(2)图中从6时到14时的图象是函数y =Asin(ωx +φ)+B 的半个周期的图象
∴
21·ωπ2=14-6⇒ω8
又由图可得202
10
30,1021030=+==-=
B A ∴y =10sin(
8
π
x +φ)+20 将x =6，y =10代入上式得：sin(4
3
π+φ)=-1 ∴
43πϕπϕπ4
323=⇒=+ 故所求的解析式为
y =10si n (
8πx +4
3
π)+20，x ∈［6,14］ 评注：①本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具 ②此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A ，ω，φ和B ，它们的计算方法为：
22
最低点纵坐标最高点纵坐标最低点纵坐标
最高点纵坐标+=
-=
B A
ω与周期有关，可通过T =
ω
π
2求得，而关键一步在于如何确定φ？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但φ到底取何值值得考虑若得方程sin φ=
21，那么φ是取6
π，还是取65
π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，φ就取
6
π，否则就取65
π，而不能同时取两个值
例7 a 为何值时，方程sin 2x +2sin x cos x -2cos 2
x =a 有实数解
分析：所给方程的特征较明显，即是关于sin x 与cos x 的奇式方程，通过变形就可化为以tan x 为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解 解法一：原方程可化为：
sin 2x +2sin x cos x -2cos 2x =a (sin 2x +cos 2
x )
即(1-a )sin 2x +2sin x cos x -(2+a )cos 2
x =0 (1)当a ≠1时，∵cos x ≠0,
∴方程两边同除以cos 2x 得(1-a )tan 2
x +2tan x -(2+a )=0
∵tan x ∈R ∴Δ≥0即4+4(1-a )(2+a )≥0即a 2
+a -3≤0又a ≠1,
∴a ∈［
2131--,1］∪(1,2
13
1+-］ (2)当a =1时，原方程化为2si nx cos x -3cos 2
x =0,
此方程有实根
综合(1)、(2)可得a ∈［
2131--,2
13
1+-］时，原方程有实数根 解法二：(用函数观点) 当实数a 取函数y =sin 2x +2sin x cos x -2cos 2
x 值域中的数值时，原方程有实
根因此，求a 的范围，实质上就是求上述函数的值域
∵y =sin 2x +2sin x cos x -2cos 2x =1+sin2x -3cos 2
x
=1+sin2x -
23(1+cos2x ) =sin2x -23cos2x -2
1 =213sin(2x -φ
2 其中⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=
=13
3sin 13
2cos ϕϕ ∴y ∈［
2
1
13,
2113---］ 即a ∈［
2
1
13,
2113---］时，原方程有实数根 评注：解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点通过函数思想来解方
程函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性
例8 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD 是一块边长为50 m 的正方形地皮，扇形CEF
是运动场的一部分，其半径为40 m ，矩形AGHM 就是拟建的健身室，其中G 、M 分别在AB 和AD 上，H 在 上AGH M 的面积为S ，∠HCF =θ，请将S 表示为θ的函数，并指出当点H 在 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？
分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解 解：延长GH 交CD 于N ，则NH =40 sin θ,CN =40 cos θ
∴HM =ND =50-40 cos θ,AM =50-40 sin θ 故S =(50-40 cos θ)(50-40 sin θ)
=100［25-20(sin θ+cos θ)+16sin θcos θ］(0≤θ≤2
π)令t =sin θ+cos θ=2si n (θ+
4
π
) 则sin θcos θ=2
1
2-t 且t ∈［1, 2］
EF EF
∴S =100［25-20t +8(t 2
-1)］=800(t -
4
5)2
+450 又t ∈［1, 2］∴当t =1时，S max =500
此时2sin(θ+
4π)=1⇒sin (θ+4π2
2 ∵
4π≤θ+4π≤43π ∴θ+4π=4π或4
3
π 即θ=0或θ2
答：当点H 在
的端点E 或F 处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m 2
三、课堂练习：
1．利用单位圆中的三角函数线：
（1）证明当0＜x ＜
2
π
时tan x ＞x ，（2）解方程tan x ＝x ，（－
2
π
＜x ＜
2
π
）．
（1）证明：如图x ＝AP ，角x 的正切线为AT
即tan x ＝A Ｔ，由Ｓ扇形AOP ＜Ｓ△ＯA Ｔ
即
AT AP AT OA AP OA <⋅<⋅得2
1
21 ∴x ＜tan x （0＜x ＜
2
π
）
又由于y ＝x 与y ＝tan x 为奇函数，当0＜x ＜2
π
时，x ＜tan x
（2）解：由（1）结论，得∴当－2
π
＜x ＜0时x ＞tan x
又x ＝0是方程x ＝tan x 的解
因此方程x ＝tan x 在（－
2
π
，
2
π
）内有惟一解即 x ＝0
2．已知f (x )=tan x ，对于x 1，x 2∈（0，
2
π
）且x 1≠x 2试证
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+
证明：∵0＜x 1＜2
π
0＜x 2＜
2
π
∴－
2
π
＜x 1－x 2＜
2
π
且x 1≠x 2 ∴cos （x 1－x 2）＜1
EF
即1＋cos （x 1＋x 2）＞2cos x 1cos x 2 ，212
12
cos cos 22
cos
2x x x x >+
⇒
+>+2
cos
1
cos cos 2cos 21212
1x x x x x x 2
cos
2sin cos cos 22cos 2sin
2212
1
2
12121x x x x x x x x x x ++>
++ 2tan cos cos 2)sin(2
1
2121x x x x x x +>+⇒
2t a n 2t a n t a n 2121x x x x +>+即 )2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+因此
说明：通过本题的证明可知函数y ＝tan x 的图象，当x ∈（0，2
π
）时是下
凸的，同样可以证明函数y ＝tan x 的图象当x ∈（－
2
π
，0）时是上凸的
3．求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］
内的图象
解：（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠2
π
＋ｋπ，ｋ∈Z
即x ≠
4
π
＋
2
π
k ，ｋ∈Z ∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠2
4
π
π
k +
，ｋ∈Z ｝ （2）设ｔ＝2x ，由x ≠
24
ππ
k +
，ｋ∈Z ｝知ｔ≠2
π
＋ｋπ，ｋ∈Z ∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞） （3）由tan2（x ＋
2
π
）＝tan （2x ＋π）＝tan2x
∴y ＝tan2x 的周期为
2
π
．
（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图 四、小结： 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数
的单调性；形如y ＝tan(ωx )，x ≠ω
πωπ
2+k (k ∈Z )
的周
期T ＝
ω
π
；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 五、课后作业：
1y ＝x tan log 2
1的定义域是( )
A x ｜0＜x ≤
4π） B ｛x ｜2k π＜x ≤2k π＋4
π
，k ∈Z } C x ｜k π＜x ≤k π＋4π，k ∈Z } D x ｜k π－2π＜x ≤k π＋4
π
，k ∈Z
}
解析：由log 2
1tan x ≥0，得0＜tan x ≤1
根据y ＝tan x 在x ∈(－
2π，2π)上的图象可知0＜x ≤4
π 结合周期性，可知原函数的定义域为：｛x ｜k π＜x ≤k π＋4
π
，k ∈Z ｝ 答案：C
2y ＝x x sin cot 的定义域
解：∵cot x sin x ＝
x
x
sin cos ·sin x ＝cos x ∴函数的定义域由⎩⎨⎧≠≥0
sin 0
cos x x 确定
解之得2k π-
2π≤x ≤2k π＋2
π
，且x ≠k π，(k ∈Z ) 从而原函数的定义域为：［2k π－2π，2k π)∪(2k π，2k π＋2
π
] (k ∈Z )
3α、β∈(2
π
，π)且tan α＜cot β，那么必有( )
A α＜β
B β＜α
C α＋β＜
23π D α＋β＞2
3π 解：tan α＜cot β⇔tan α＜tan(2
3π
－β)
∵α、β∈(2π，π)，23π－β∈(2
π
，π)
又∵y ＝tan x 在(
2
π
，π)上是增函数
三人行，必有我师 ∴α＜23π－β 即α＋β＜2
3π 答案：C 4y ＝lg(tan x )的增函数区间是( ) A k π－
2π，k π＋2π)(k ∈Z ) B (k π，k π＋2
π)(k ∈Z ) C k π－2π，2k π＋2π)(k ∈Z ) D (k π，k π＋π)(k ∈Z ) 解：函数y ＝lg(tan x )为复合函数，要求其增函数区间则要满足tan x ＞0，且y ＝tan x 是增函数的区间
解之得k π＜x ＜k π＋2
π (k ∈Z ) ∴原函数的增函数区间为：(k π，k π＋2
π)(k ∈Z ) 答案：B 5y ＝log a tan x 的单调性
解：y ＝log a tan x 可视为y ＝log a u 与u ＝tan x 复合而成的，复合的条件为tan x ＞0，
即x ∈(k π，k π＋2
π)(k ∈Z ) ①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增；
当x ∈(k π，k π＋
2
π)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z )上是单调增函数 ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减；
当x ∈(k π，k π＋
2
π)时，u ＝tan x 是单调递增的 ∴y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2
π)(k ∈Z )上是单调减函数 故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2
π)(k ∈Z )上单调递增； 当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈(k π，k π＋2π)(k ∈Z )上单调递减； 六、板书设计（略）
七、课后记：。