牛顿问题

牛顿问题
知识纵横
牛顿问题，也称“牛吃草问题”，是英国著名的物理学家牛顿编的一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？
解决这一问题的关键是：在牛每天吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以总草量也是不断变化的。

解决牛顿问题一般的解题环节主要有四步：
1、求出每天新生长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量—生长的草量=消耗原有草量）；
4、最后求出可吃天数。

例题讲解
例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

如果27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，那么21头牛几周吃完？
【分析】这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。

我们可以设1头牛1周吃的草为1份，27头牛6周吃27⨯6=162（份），23头牛9周吃23⨯9=207（份），比较
这两个数量，我们可以看出，总草量是不一样的，那么这是为什么呢？思考后可
以得出，这个总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间而导致的，所以可以
得出牧场每周长新草（207—162）÷（9—6）=15（份）。

那么原来牧场草量为162
—15⨯6=72（份）。

接下来也是一个难点，我们可以巧妙地处理一下这21头牛，我们可以分为2个部分，15头牛去吃新草，剩下的6头牛去吃旧草，什么时候将旧草吃完了，整个牧场上的草也吃完了。

【举一反三】
牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？
例2：有一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进入了一些水，如果用12个人排水，3小时可以排完；如果用5个人排水，要10小时才能排完。

现在要想2小时排完，需要多少人？
【分析】这个题，从形式上说是个工程问题，实质上是个牛顿问题，同样可以将每人每小时的排水量看成1份，根据例题1思路，可以求出每小时新漏进来的水量和原有的水量。

有一水池，池底有泉水不断涌出。

要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时。

如果用6台抽水机，那么需要多少小时？
例3：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？
【分析】同前面所讲，两种吃法所吃的总草量是不一样的，我们就要思考为什么不一样，是牧场上的草以固定的速度在减少，所以时间越长，自然消耗的就越多，就造成了所吃的总草量的不同。

【举一反三】
两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。

问井深是多少？
例4：画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众到来时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。

求第一个观众到达的时间。

【分析】我们将其看成一个牛顿问题，设每一个入场口每分钟通过1“份人”。

则3个入场口9分钟通过3⨯9=27（份人）。

5个入场口5分钟通过5⨯5=25（份人）。

说明每分钟到
来的人有（27—25）÷（9—5）=0.5（份人）。

开门之前已经有人即相当于原有的草，再考虑每分钟可以来0.5份人，就可以知道开门之前原有人需要多长时间才能聚齐，就可知道第一个人来的时间了。

某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。

如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口？
例5：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小刚和小红要从扶梯上楼，已知小刚每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小刚4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯在两层楼之间看得到的级数共有多少？
【分析】同样按牛顿问题的思路思考，电梯每分钟固定走的级数就是“新长草”，对小刚来说，他4分钟走的级数加上扶梯4分钟走的级数就是在两层楼之间的级数，对于小红来说，她5分钟走的级数加上扶梯5分钟走的级数也是在两层楼之间的级数，通过对比，就可以知道扶梯在（5—4）分钟内走的级数，即固定的新长的草量，而两层楼之间电梯的固定级数就是原有草。

【举一反三】
两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从阶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒。

问该扶梯共有多少级？
例6：有一片牧场上的草每天生长的速度相同。

草可供10头牛吃10个星期，或可供24只羊吃20个星期。

已知1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃多少个星期？
【分析】根据1头牛和3只羊的吃草量相同，我们可以进行一个简单的替换，将所有的题目中涉及到的羊全部看做牛，这样就成为了一个最基本的牛顿问题了。

一个牧场，草每天匀速生长，1头牛1天吃的草可供1只羊吃3天。

这个牧场上的草可供17头牛吃30天，或可供11头牛和24只羊吃24天。

牧场主准备全部养羊，那么这个牧场最多可养多少只羊，才能使羊永远有草吃？
1、林子里面有猴子吃桃子，23只猴子可以9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问
33只猴子需要多久吃光？
2、仓库里有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。

用同样的汽车运货出
仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。

若用3辆汽车运则需多少天运完？
3、一个水池，池底有水流均匀涌出。

若将满池水抽干，用10台水需2小时，用5台同样
的水需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水多少台？
4、某天早晨8点，东方火车站进站处已有450名旅客等候检票进站。

此时，每分钟还有若
干人（每分钟同样多）前来进站处准备进站。

这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客，现在要求5分钟放完旅客，则需要设立多少个检票口？
5、甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2
分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去。

已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度。

6、有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块
草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问：第三块草地可供19头牛吃多少天？。