2025年高考数学一轮复习-第二章 函数-第9讲 函数模型及应用【课件】
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考点二 根据给定函数模型解决实际问题（师生共研）
例1.（1）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，为了倡导绿色可循环的理念，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量 与时间 的关系为 （ 为最初污染物数量）.如果前4小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要的时间为( )
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 （微克），故C错误.故选AD.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.(2023·广东广州综合检测)如图，一高为 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为 时，水流出所用时间为 ，则函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
A. B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C.注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D.注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
√
√
解析：选AD.当 时， ，即 ，解得 ，且 ，所以 故A正确；当 ，即 时，药物刚好起效，当 ，即 时，药物刚好失效，故药物有效时长为 小时，药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；
A. B. C. D.
√
解析：选D.依题意知，当 时， ;当 时， ;当 时， ，观察四个选项知D项符合要求.
轴
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 的函数值比 的函数值大.( )
×
（2）不存在 ,使 .( )
×
（3）“指数爆炸”是指数型函数 增长速度越来越快的形象比喻.( )
×
（4）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
×
2.（人A必修第一册 例6变条件）某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量 （单位：毫克）与时间 （单
A. B. C. D.
位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计 与 的关系，则应选用的函数模型是( )
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.六种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
（ , 为常数, ）
二次函数模型
（ , , 为常数, ）
指数函数模型
（ , , 为常数, 且 , ）
对数函数模型
（ , , 为常数, 且 , ）
第9讲 函数模型及应用
课标要求
考情分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用.
考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现.核心素养：直观想象、数学运算、数学建模
√
解析：选B.由题图可知，函数在 上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减，符合题意,故选B.
3.某种茶水用 的水泡制，再等到 时饮用可产生最佳口感.已知茶水温度 （单位： ）与经过时间 （单位： ）的函数关系是： ，其中 为衰减比例， 是室温， 时， 为茶水初始温度，若室温为 ， ，茶水初始温度为 ，则 ____，产生最佳口感所需时间是___ .
__________
__________
相对平稳
图象的变化
随 值增大,图象与_____接近平行
随 值增大,图象与_____接近平行
随 值变化而不同
[提醒] 幂函数模型 可以描述增长速度的变化，当 值较小 时，增长较慢；当 值较大 时，增长较快.
增函数
增函数
增Hale Waihona Puke 数越来越快越来越慢
轴
函数模型
函数解析式
幂函数模型
（ , , 为常数, , ）
“对勾”函数模型
（ 为常数， ）
[提醒] 函数模型应用问题的步骤（四步八字方针）：审题，建模，解模，还原.
续表
2.三种函数模型性质比较
类别
在 上的单调性
________
________
________
增长速度
80
8
解析：由题意， ，当 时， ，解得 ，则 ，当 时，即 ，则 ，即 ，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 函数图象刻画变化过程（自主练透）
1.已知正方形 的边长为4，动点 从 点开始沿折线 向 点运动.设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则函数 的图象是( )
解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
√
3.(2023·福建厦门高三质检)（多选）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量 （单位：微克）与时间 （单位：时）之间的关系近似满足一段曲线，如图所示.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于 微克时，对治疗该病有效，则( )
例1.（1）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，为了倡导绿色可循环的理念，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量 与时间 的关系为 （ 为最初污染物数量）.如果前4小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要的时间为( )
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 （微克），故C错误.故选AD.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.(2023·广东广州综合检测)如图，一高为 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为 时，水流出所用时间为 ，则函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
A. B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C.注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D.注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
√
√
解析：选AD.当 时， ，即 ，解得 ，且 ，所以 故A正确；当 ，即 时，药物刚好起效，当 ，即 时，药物刚好失效，故药物有效时长为 小时，药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；
A. B. C. D.
√
解析：选D.依题意知，当 时， ;当 时， ;当 时， ，观察四个选项知D项符合要求.
轴
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 的函数值比 的函数值大.( )
×
（2）不存在 ,使 .( )
×
（3）“指数爆炸”是指数型函数 增长速度越来越快的形象比喻.( )
×
（4）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
×
2.（人A必修第一册 例6变条件）某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量 （单位：毫克）与时间 （单
A. B. C. D.
位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计 与 的关系，则应选用的函数模型是( )
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.六种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
（ , 为常数, ）
二次函数模型
（ , , 为常数, ）
指数函数模型
（ , , 为常数, 且 , ）
对数函数模型
（ , , 为常数, 且 , ）
第9讲 函数模型及应用
课标要求
考情分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用.
考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现.核心素养：直观想象、数学运算、数学建模
√
解析：选B.由题图可知，函数在 上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减，符合题意,故选B.
3.某种茶水用 的水泡制，再等到 时饮用可产生最佳口感.已知茶水温度 （单位： ）与经过时间 （单位： ）的函数关系是： ，其中 为衰减比例， 是室温， 时， 为茶水初始温度，若室温为 ， ，茶水初始温度为 ，则 ____，产生最佳口感所需时间是___ .
__________
__________
相对平稳
图象的变化
随 值增大,图象与_____接近平行
随 值增大,图象与_____接近平行
随 值变化而不同
[提醒] 幂函数模型 可以描述增长速度的变化，当 值较小 时，增长较慢；当 值较大 时，增长较快.
增函数
增函数
增Hale Waihona Puke 数越来越快越来越慢
轴
函数模型
函数解析式
幂函数模型
（ , , 为常数, , ）
“对勾”函数模型
（ 为常数， ）
[提醒] 函数模型应用问题的步骤（四步八字方针）：审题，建模，解模，还原.
续表
2.三种函数模型性质比较
类别
在 上的单调性
________
________
________
增长速度
80
8
解析：由题意， ，当 时， ，解得 ，则 ，当 时，即 ，则 ，即 ，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 函数图象刻画变化过程（自主练透）
1.已知正方形 的边长为4，动点 从 点开始沿折线 向 点运动.设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则函数 的图象是( )
解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
√
3.(2023·福建厦门高三质检)（多选）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量 （单位：微克）与时间 （单位：时）之间的关系近似满足一段曲线，如图所示.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于 微克时，对治疗该病有效，则( )