高中数学第四章 指数函数与对数函数(章末测试)(必修第一册)(教师版含解析)

第四章 章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分)
1．(2020·浙江高一单元测试)方程125x x -+=的解所在的区间是( )
A ．0,1
B ．1,2
C ．()2,3
D ．()3,4 【答案】C
【解析】设1()25x f x x -=+-，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数12x y -=与y x =的R 上都是
递增函数，所以()f x 在R 上单调递增，故函数1()25x f x x -=+-最多有一个零点，而
21(2)22510f -=+-=-<，31(3)23520f -=+-=>，根据零点存在定理可知，1()25x f x x -=+-有一个零点，且该零点处在区间(2,3)内，故选答案C. 2．(2019·全国高一课时练习)函数lg lg(53)y x x =+-的定义域是 ( )
A ．[0，)
B ．[0，]
C ．[1，)
D ．[1，]
【答案】C 【解析】要使函数有意义，需满足0530
lgx x ≥⎧⎨->⎩,解得513x ≤<,则函数的定义域为51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C. 3．(2020·浙江高一单元测试)函数2()31x f x a =
++的零点为1，则实数a 的值为( ) A ．﹣2
B ．－12
C ．12
D ．2 【答案】B
【解析】函数()231x f x a =++的零点为1，所以()21031f a =+=+.解得12
a =-.故选B. 4．(2019·安徽省阜阳第一中学高二课时练习(文))函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
【解析】由228
x x
-->0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=228
x x
--，则y=ln t，
∵x∈(−∞,−2)时,t=228
x x
--为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=228
x x
--为增函数；y=ln t为增函数，
故函数f(x)=ln(228
x x
--)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.
5．(2019·全国高一单元测试)函数
1
()lg
2
x
f x x
⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
的零点个数为( )
A．3B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】由
1
()|lg|()0
2
x
f x x
=-=得
1
||()
2
x
lgx=，
分别作出函数|lg|
y x
=与，
1
()
2
x
y=的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数
1
()|lg|()
2
x
f x x
=-的零点个数为2个，故选：D. 6．(2020·全国高一课时练习)设0.4
0.5
a=，0.4
log0.3
b=，
8
log0.4
c=，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，b=log0.40.3＞log0.40.4=1，c=log80.4＜log81=0，
∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：C．
7．(2020·肥东县综合高中)函数()
log11(0,1)
a
y x a a
=-+>≠，图象恒过定点A，若点A在一次函数
y mx n
=+的图象上，其中0
m>，0.
n>则
12
m n
+的最小值是()
A．6B．7C．8D．9
【解析】对于函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠，令11x -=，求得2x =，1y =，可得函数的图象恒过定点()2,1A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0.n >则有12m n =+， 则12242444428m n m n n m n m m n m n m n m n
+++=+=++≥+⋅=， 当且仅当4n m m n
=时，取等号，故12m n +的最小值是8，故选C ． 8．(2020·全国高一专题练习)若103,104x y ==，则3210x y -=( )
A ．1-
B ．1
C ．2716
D ．910
【答案】C 【解析】依题意，()()3
33322221010327101041610x x x y y y -====.故选C. 二、多选题(每题至少有一个选项为正确答案，每题5分，共20分)
9．(2019·全国高一课时练习)若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足()00f <，()10f >，()20f >，则下列说法错误的是( )
A ．()f x 在区间()0,1上一定有零点，在区间()1,2上一定没有零点
B ．()f x 在区间()0,1上一定没有零点，在区间()1,2上一定有零点
C ．()f x 在区间()0,1上一定有零点，在区间()1,2上可能有零点
D ．()f x 在区间()0,1上可能有零点，在区间()1,2上一定有零点
【答案】ABD
【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.故选ABD .
10．(2019·福建三明·高一期中)下列说法正确的是( )
A ．函数()1f x x
=在定义域上是减函数
B ．函数()2
2x f x x =-有且只有两个零点 C ．函数2x y =的最小值是1
D ．在同一坐标系中函数2x y =与2x y -=的图象关于y 轴对称
【答案】CD
【解析】对于A ，()1f x x =
在定义域上不具有单调性，故命题错误； 对于B ，函数()22x f x x =-有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C
，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；
对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2﹣x 的图象关于y 轴对称，命题正确.故选CD
11．(2019·全国高一课时练习)(多选)若函数1x y a b =+-(0a >,且1a ≠)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A ．1a >
B ．01a <<
C ．0b >
D ．0b <
【答案】AD
【解析】因为函数1x y a b =+- (0a >,且1a ≠)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以1a >.当0x =时，110y b b =+-=<，故选AD.
12．已知正实数a ，b 满足4a b = ，且2log 3a b +=，则+a b 的值可以为( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】BC
【解析】由4a b =得到log 42log 2b b a ==，则22log 2log 3b b +=，即
222log 3log b b +=， 整理得()222log 3log 20b b -+=，解得2log 2b =或2log 1b =，
当2log 2b =时，4,1b a ==，则5;a b +=当2log 1b =时，2,2b a ==，则4a b +=.故选：BC.
第II 卷(非选择题)
三、填空题(每题5分，共20分)
13．(2020·浙江高一单元测试)若函数f(x)=x a x a --(0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
【答案】(1,)+∞
【解析】令0f x ，则x a x a =+，当01a <<时，x a 为减函数，x a +为增函数，至多只有一个交点，
不符合题意.当1a >时，,x y a y x a ==+的图像显然有两个交点，故()1,a ∈+∞.
14．(2020·广东顺德一中高一期中)函数()22f x x x b =-+的零点均是正数，则实数b 的取值范围是______.
【答案】](
0,1
【解析】因为函数()22f x x x b =-+的零点均是正数，故方程220x x b -+=的根都是正根， 故当Δ440b =->时，需满足0b >解得01b <<.
当Δ440b =-=时，解得1b =，此时方程为()210x -=，方程的根10x =>满足题意.
综上所述：(]0,1b ∈.故答案为：(]
0,1.
15．(2020·沭阳县修远中学高二期末)已知 3.20.2a -=， 2.2log 0.3b =，0.2log 0.3c =，则,,a b c 三个数按照从小到大的顺序是______.
【答案】b c a <<
【解析】 3.200.20.21a -=>=， 2.2 2.2log 0.3log 10b =<=， 0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21c =<=<=，故b c a <<.故答案为：b c a <<.
16．(2020·全国高一课时练习)函数()()2
lg lg x f x x =-的零点为________.
【答案】1x =或10x =
【解析】由题知：()2lg lg 0x x -=，得(l g 1g )l 0x x -＝，∴lg 0x =或lg 1x =，∴1x =或10x =. 故答案为：1x =或10x =
四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)
17．(2020·全国高一课时练习)计算下列各式：
(1)12
lg 25lg 2lg ++10()1lg 0.01+－； (2)33
2log 2log -32935log 83log 5+-； (3)()2lg5+lg 2lg50⋅；
(4)lg(35+＋35-).
【答案】(1)72
；(2)－1；(3)1；(4)12. 【解析】(1)原式＝()11222lg 252100.1-⎡⎤⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦
()172227lg 521010lg 102⎛⎫=⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭； (2)原式＝23332g 22+5l o o og l g l 3-33log 23+-3332+2+3log 232312log 25log -=--=-=；
(3)原式＝()2)lg5+lg 2l (g 2+2lg5()()22lg5+2lg5lg 2+lg 2=⋅2lg 5lg 21()=+=. (4)原式＝12lg (35+＋)2
35-＝(lg 6+2)95-＝12lg(6+4)=12lg10＝12
. 18．(2020·山西应县一中高二期中(文))设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f .
(1)求a 的值；
(2)求()f x 在区间30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【答案】(1)2a =；(2)2
【解析】(1)∵(1)=2f ，∴(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，∴2a =；
(2)由1030
x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)-， 22222()log (1)log (3)log (1)(3)]log [[(1)4]f x x x x x x =++-=+---+=，
∴当(0,1)x ∈时，()f x 是增函数；当3(1,)2x ∈时，()f x 是减函数，
∴函数()f x 在30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2(1)log 42f ==． 19．(2020·江苏盐城·高一期末)设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈
(1)若函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，求函数3()()2
g x f x =+的零点0x ； (2)若函数()()42x x h x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为－2，求实数a 的值.
【答案】(1)01x =-；(2)3-.
【解析】()f x 的图象关于原点对称，()()0f x f x ∴-+=，
22220x x x x a a --∴⋅-+⋅-=，即(1)(22)0x x a -∴-⋅+=，1a
(注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分)
令3()2202
x x g x -=-+=，则22(2)3(2)20x x ⋅+⋅-=， (22)(221)0x x ∴+⋅⋅-=，又20x >，1x ∴=- 所以函数()g x 的零点为01x =-.
(2)()2242[0,1]x x x x h x a x --=⋅-++∈，，令2[1,2]x t =∈，
2()()[1,2]h x H t t at t ==+∈，，对称轴02
a t =-， ① 当322
a -≤，即3a ≥-时，max ()(2)422H t H a ==+=-，3a ∴=-； ② 当322
a ->，即3a <-时，max ()(1)12H t H a ==+=-，3a ∴=-(舍)； 综上：实数a 的值为3-.
20．(2019·浙江高一期中)已知函数2328()log 1
mx x n f x x ++=+． (Ⅰ)若4,4m n ==，求函数()f x 的定义域和值域；
(Ⅱ)若函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,2]，求实数,m n 的值．
【答案】(Ⅰ)定义域为{}
1x x ≠-，值域为3(,log 8]-∞；(Ⅱ)5,5m n ==. 【解析】(Ⅰ)若4,4m n ==，则232484()log 1
x x f x x ++=+，由2248401x x x ++>+，得到
2210x x ++>，得到1x ≠-，故定义域为{}1x x ≠-．
令224841
x x t x ++=+，则2(4)840t x x t --+-= 当4t =时，0x =符合．
当4t ≠时，上述方程要有解，则2644(4)0,0
t t ⎧∆=--≥⎨≠⎩，得到04t ≤<或48t <≤，
又1x ≠-，所以0t ≠，
所以08t <≤，则值域为3(,log 8]-∞．
(Ⅱ)由于函数()f x 的定义域为R ，则22801mx x n x ++>+恒成立，则06440m mn >⎧⎨-<⎩，即016
m mn >⎧⎨>⎩，令2281
mx x n t x ++=+，由于()f x 的值域为[0,2]，则[1,9]t ∈，而 2()80t m x x t n --+-=，则由644()()0,t m t n ∆=---≥解得[1,9]t ∈ ，故1t =和9t =是方程
644()()0t m t n ---=即2()160t m n t mn -++-=的两个根，则10169m n mn +=⎧⎨-=⎩
，得到55m n =⎧⎨=⎩，符合题意．所以5,5m n ==．
21．(2020·六盘水市第二中学高一期中(理))函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．
(1)求证：()00=f ．
(2)求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．
(3)若()11f =，解不等式()422x x f -<．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3){}|1x x <
【解析】(1)证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f .
(2)证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，
∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，
∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．
在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，
∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.
(3)原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，
由(2)知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()
12022x x +<-， ∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，
故原不等式的解集为{}|1x x <.
22．(2019·全国高一课时练习)已知函数f(x)=()22log x +4log 2x+m ，x ∈[
18，4]，m 为常数． (1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m 的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求m 的取值范围，并求α·β的值．
【答案】(1)[–12，0);(2)116. 【解析】(1)令log 2x=t ，x ∈[18
，4]，则g(t)=t 2+4t+m(t ∈[–3，2])． 由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t 2+4t+m=0在t ∈(0，2]上存在实数根， 由t 2+4t+m=0，得m=–t 2–4t ，t ∈(0，2]，所以m ∈[–12，0)．故m 的取值范围为[–12，0)．
(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)=t 2+4t+m 在[–3，2]上有两个互异的零点t 1，t 2，其中t 1=log 2α，
t 2=log 2β，所以()()16403020m g g ⎧∆=->⎪-≥⎨⎪≥⎩
，解得3≤m<4，所以m 的取值范围为[3，4)．
根据根与系数的关系可知t 1+t 2=–4，即log 2α+log 2β=–4，所以log 2(α·β)=–4，α·β=2–4=116．。