2021年一般高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷，含答案）(1)

2021年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式:
圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl, 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，那么A B = ．
【答案】{13}-，
2．已知复数2
(52)z i =-(i 为虚数单位)，那么z 的实部为 ．
【答案】21
3．右图是一个算法流程图，那么输出的n 的值是 ． 【答案】5
4．从1236，
，，这4个数中一次随机地取2个数，那么所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】1
3
5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π
的交点，那么ϕ的值是 ． 【答案】6π
6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80130]，
上，其频率散布 直方图如下图，那么在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24
7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，假设21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．
【答案】4
8．设甲、乙两个圆柱的底面积别离为12S S ，，体积别离为12
V V ，，假设它们的侧面积相等，且1294S S =
，那么1
2V V 的值是 ． 【答案】3
2
9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22
(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．
255
10．已知函数
2
()1f x x mx =+-，假设对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，那么实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪
⎝
⎭ 11．在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线
2b
y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，那么a b +的值是 ． 【答案】3-
12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，那么AB AD ⋅的
值是 ． 【答案】22
13．已知()f x 是概念在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，
时，21
()22f x x x =-+．假设函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，那么实数a 的取值范围是 ． 【答案】
()102， 14．假设ABC ∆的内角知足sin 22sin A B C =，那么cos C 的最小值是 ． 62
4-
二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤.
15．(本小题总分值14 分)已知()2απ∈π
，，5sin α=．
（1）求()
sin 4α
π+的值； （2）求()
cos 26α5π-的值．
【答案】本小题要紧考查三角函数的大体关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 总分值14分.
（1）∵
()5
sin 25ααπ∈π=，，，
∴
225
cos 1sin 5αα=--=
(
)
210
sin sin cos cos sin sin )444210αααααπππ+=++=； （2）∵
2243
sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴
()()
3314334
cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-= 16．(本小题总分值14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，别离为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．
（1）求证：直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．
【答案】本小题要紧考查直线与直线、直线与平面和平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.总分值14分. （1）∵D E ，
为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，
为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==
∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==
∴222
DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF
∵//DE PA PA AC ⊥，
，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC
∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．
17．(本小题总分值14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，别离是椭圆2
222
1(0)
y x a b a b +=>>的
左、右核心，极点B 的坐标为(0)b ，
，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．
（1）假设点C 的坐标为()41
33，，且2
2BF =
（2）假设1
FC
AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 【答案】本小题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 总分值14分.
（1）∵()
4133C ，
，∴22
161
999a b +=
∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴2
1b =
∴椭圆方程为221
2x y +=
（2）设核心12(0)(0)()F c F c C x y -，
，，，， ∵A C ，
关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，
，三点共线，∴b y
b c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1y
b x
c c ⋅=-+-，即2
0xc by c -+=②
①②联立方程组，解得2
222
22
2ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴
()
2222222a c bc C b c b c --，
∵C 在椭圆上，∴
()(
)2
2
2222
22
2
2
21
a c bc
b
c b c a b --+
=，
化简得2
2
5c a =，∴55c a
= 5
5 18．(本小题总分值16分)如图，为爱惜河上古桥OA ，计划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形爱惜区．计划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；爱惜区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两头O 和A 到该圆上任意一点的距离均很多于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4
tan 3BCO ∠=．
（1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时，圆形爱惜区的面积最大？
解：本小题要紧考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查成立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.总分值16分. 解法一：
如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，成立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC 的斜率k BC=－tan ∠BCO=－4
3. 又因为AB ⊥BC ，因此直线AB 的斜率k AB=3
4. 设点B 的坐标为(a,b)，那么k BC=04
,
1703b a -=-- k AB=603
,0
4b a -=- 解得a=80，b=120. 因此22
(17080)(0120)150-+-=.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设爱惜区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0≤d ≤60).
由条件知，直线BC的方程为
4
(170)
3
y x
=--
，即436800
x y
+-=
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即
|3680|6803
55
d d r
--
==
.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均很多于80 m,
因此
80
(60)80
r d
r d
-
⎧
⎨
--
⎩
≥
≥即
6803
80
5
6803
(60)80
5
d
d
d
d
-
⎧
-
⎪⎪
⎨
-
⎪--
⎪⎩
≥
≥
解得1035
d
≤≤
故当d=10时,
6803
5
d
r
-
=
最大，即圆面积最大.
因此当OM = 10 m时，圆形爱惜区的面积最大.解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=4
3.因此sin∠FCO=
4
5，cos∠FCO=
3
5.
因为OA=60,OC=170，因此OF=OC tan∠FCO=680 3.
CF=
850
cos3
OC
FCO
=
∠,从而
500
3
AF OF OA
=-=
.
因为OA⊥OC，因此cos∠AFB=sin∠FCO==4 5，
又因为AB⊥BC，因此BF=AF cos∠AFB==400
3，从而BC=CF－BF=150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设爱惜区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，那么MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，因此sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin ∠CFO =3
,
68053MD MD r MF OF OM d ===--因此68035d r -=
.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均很多于80 m,
因此80(60)80r d r d -⎧⎨
--⎩≥≥即6803805
6803(60)805d
d d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤
故当d=10时,
68035d
r -=
最大，即圆面积最大.
因此当OM = 10 m 时，圆形爱惜区的面积最大.
19．(本小题总分值16分)已知函数()e e x x
f x -=+其中e 是自然对数的底数．
（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；
（2）假设关于x 的不等式
()e 1x
mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 知足：存在0[1)x ∈+∞，
，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．
【答案】本小题要紧考查初等函数的大体性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方式分析与解决问题的能力.总分值16分.
（1）x ∀∈R ，
()e e ()x x
f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即
(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，
，∴e e 10x x -+->，即e 1
e e 1x x x m ---+-≤
对(0)x ∈+∞，
恒成立 令e (1)x
t t =>，那么
2
11t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2
2
11111(1)(1)11311
1t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立
∴
1
3m -≤ （3）'()e e x x
f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，
上单调增
令
3
()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，
，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3
000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即
()
11e 2e a >+ ∵e-1
e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+
设()(e 1)ln 1m a a a =--+，那么
()
e 1e 111
'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+， 当()
11e e 1
2e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；
当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 最多有两个零点，而(1)(e)0m m ==
∴当e a >时，()0m a <，e 11
e a a --<；
当()
11e e
2e a +<<时，()0m a <，e 11
e a a -->；
当e a =时，()0m a =，e 11
e a a --=．
20．(本小题总分值16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．假设对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，那么称{}n a 是“H 数列”．
（1）假设数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *
=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；
（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．假设{}n a 是“H 数列”，求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *
=+∈N 成立．
【答案】本小题要紧考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探讨能力及推理论证能力, 总分值16分.
（1）当2n ≥时，11
1222n n n n n n a S S ---=-=-=
当1n =时，112a S ==
∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列”
（2）
1(1)(1)
22n n n n n S na d n d --=+
=+
对n *
∀∈N ，m *
∃∈N 使n m S a =，即
(1)
1(1)2n n n d m d -+
=+-
取2n =得1(1)d m d +=-，
12m d =+ ∵0d <，∴2m <，又m *
∈N ，∴1m =，∴1d =-
（3）设{}n a 的公差为d
令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *
∀∈N ，11n n b b a +-=-
1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，
为等差数列 {}n b 的前n 项和
11(1)()2n n n T na a -=+
-，令1(2)n T m a =-，那么(3)22n n m -=+
当1n =时1m =； 当2n =时1m =；
当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *
∈N
因此对n ∀，都可找到m *
∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．
{}n c 的前ｎ项和
1(1)()2n n n R a d -=
+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，那么(1)
12n n m -=+
∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *
∈N
即对n *∀∈N ，都可找到m *
∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”
因此命题得证. 数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】此题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.假设多做，那么按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题总分值10分)
如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题要紧考查圆的大体性质，考查推理论证能力.总分值10分. 证明：因为B, C 是圆O 上的两点，因此OB=OC. 故∠OCB=∠B.
又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 因此∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.
B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题总分值10分)
已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量
2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，假设A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题要紧考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，
，解得142x y =-=，
C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题总分值10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为12x y ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩
，
(t 为参数)，直线l 与抛物线2
4y x
=交于A B ，
两点，求线段AB 的长． 【答案】本小题要紧考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分.
直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得2
1090x x -+=
∴交点(12)A ，
，(96)B -，
，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题总分值10分) 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
本小题要紧考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.总分值10分.
证明：因为x>0, y>0, 因此1+x+y2≥0>，1+x2+y ≥0>，
因此(1+x+y2)( 1+x2+y)≥
=9xy.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤. 22．(本小题总分值10分)
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机掏出2个球，求掏出的2个球颜色相同的概率P ；
（2）从盒中一次随机掏出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数别离记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，
，中的最大数，求X 的概率散布和数学期望()E X ． 22.【必做题】本小题要紧考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.总分值10分.
（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情形，2个球颜色相同共有222
432C C C 10++=种可能情形
∴掏出的2个球颜色相同的概率
105
3618P == （2）X 的所有可能取值为432，，
，那么 ∴X 的概率散布列为
故X 的数学期望
1113120
()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 23．(本小题总分值10分)
已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，记()n f x 为1()n f x -的导数，n *
∈N ． （1）求
()()
122222f f πππ+的值；
（2）证明：对任意的n *
∈N ，等式
()()
1444n n
nf f -πππ+成立．
23.【必做题】此题要紧考查简单的复合函数的导数，考查探讨能力及运用数学归纳法的推理论证能力.总分值10分.
(1)解：由已知，得
102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛
⎫'===
- ⎪⎝⎭ 于是21223
cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛
⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因此
12234216
(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ
+=-
(2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边别离对x 求导，得00()()cos f x xf x x '
+=， 即
01()()cos sin()
2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，
344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.
下面用数学归纳法证明等式
1()()sin()
2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k 时等式成立, 即
1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''
+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x π
πππ+''+=+⋅+=+
，
因此
1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π
+=+.
因此当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式
1()()sin()
2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.
令
4x π
=
，可得1()()sin()
44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).
因此
1()()444n n nf f πππ-+(n ∈*N ).。