8.3.2.1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积教案 高一数学人教A版(2019)必修第二册

8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
(教师独具内容)
课程标准：知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式及其应用．
教学难点：圆台的表面积与体积公式的推导．
核心素养：1.通过总结圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式培养数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算培养直观想象和数学运算素养.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．( )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
(3)圆台的高就是相应母线的长．( )
2．做一做
(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )
A．6π B．8π
C．9π D．10π
(2)若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为____.
(3)圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是____.
题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122πB．12π
C．82π D．10π
(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为____.
(3)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.
[跟踪训练1] (1)圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．
题型二圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 (1)如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A．43π
3
B．
3π
6
C．π
2
D．
3π
3
(2)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A．288
π
cm3B．
192
π
cm3
C．288π cm3D．192π cm3
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是____.
[跟踪训练2] (1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比是( )
A．1 B．1∶2
C.3∶2 D．3∶4
(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为____.
题型三组合体的表面积与体积
例3 如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
[跟踪训练3] (1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC 绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
(2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3
2
，这个梯形绕下底所
在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶ 3
C．1∶ 5 D．3∶2
2．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝___.
3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为____.
4. 一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．
5．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2π
C．4π D．8π
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A．1＋2π
2π
B．
1＋4π
4π
C．1＋2π
π
D．
1＋4π
2π
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π B．33π
C．6π D．9π
4. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．8π
3
B．3π
C．10π
3
D．6π
5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )
A．母线长是20 B．表面积是1100π
C．高是10 2 D．体积是70003π
3
二、填空题
6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____.
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____.
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是____.
三、解答题
9. 如图所示，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．
10．如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO 1中有一内接长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设矩形ABCD 的面积为S ，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，AB ＝x .
(1)将S 表示为x 的函数； (2)求V 的最大值．
1．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )
A ．6 3 cm
B ．6 cm
C ．23
18 cm
D ．33
12 cm
2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3
2，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，
则所形成的几何体的体积是( )
A ．3π2
B ．7π2
C ．5π2
D ．9π2
3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、
下两台体的侧面积之比是____.
4．圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．
5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
(教师独具内容)
课程标准：知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式及其应用．
教学难点：圆台的表面积与体积公式的推导．
核心素养：1.通过总结圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式培养数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算培养直观想象和数学运算素养.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．( )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
(3)圆台的高就是相应母线的长．( )
答案(1)√(2)×(3)×
2．做一做
(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )
A．6π B．8π
C．9π D．10π
(2)若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为____.
(3)圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是____.
答案(1)A (2)2π(3)54π
题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122π B．12π
C．82π D．10π
(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为____.
(3)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.
[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.
(2)由题意，得该圆锥的母线长l＝82＋62＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.
(3)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r ＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
[答案](1)B (2)144π(3)7
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图．
(2)依次求出各个平面图形的面积．
(3)将各平面图形的面积相加．
[跟踪训练1] (1)圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．
解(1)如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，
则有r
R
＝
R－r
R
，即
r
R
＝
1
2
，
∴R＝2r，圆锥的母线长l＝2R，
∴S
圆柱表
S
圆锥表
＝
2πr2＋2πr2
πR·2R＋πR2
＝
4πr2
2＋1πR2
＝
4r2
2＋14r2
＝
1
2＋1
＝2－1.
(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S
表
＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
题型二圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 (1)如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A ．43π
3 B ．3π6 C ．
π2
D ．
3π3
(2)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A ．288π cm 3
B ．192π cm 3
C ．288π cm 3
D ．192π cm 3
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是____.
[解析] (1)由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12×13×π×12×3＝3π6
. (2)当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2
×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm
时，V ＝π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫82π2
×12＝192π(cm 3)．
(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2
＝π，S 下＝πR 2
＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(1＋4＋1×2)×3＝73π
3
.
[答案] (1)B (2)AB (3)
73π
3
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[跟踪训练2] (1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )
A．1 B．1∶2
C.3∶2 D．3∶4
(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为____.
答案(1)D (2)21π
解析(1)设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有1
2
·2Rh＝2rh，
所以R＝2r，V圆锥＝1
3
πR2h＝
4
3
πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶ 4.
(2)设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1DA＝∠A1DB＝90°，又∠A1AB＝60°，
∴AD＝
A
1
D
tan60°
＝3，∴R－r＝ 3.
∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，
∴BD＝A1D·tan60°＝33，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3.
∴V圆台＝1
3
πh(R2＋Rr＋r2)＝
1
3
π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.
∴圆台的体积为21π.
题型三组合体的表面积与体积
例3 如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝BC－AD
cos60°
＝2a，AB＝CD sin60°＝3a.
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.
∴DO＝1
2
DD′＝a.
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，
圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，
圆锥的底面积S4＝πa2.
∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2.
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V
柱
＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3.
V
锥＝
1
3
S′h＝
1
3
·π·a2·3a＝
3
3
πa3.
∴V＝V柱－V锥＝43πa3－
3
3
πa3＝
113
3
πa3.
求组合体的表面积与体积的方法
(1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体．
(2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢．
[跟踪训练3] (1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC 绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
(2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3
2
，这个梯形绕下底所
在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．
解(1)该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．
令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，
则R＝2，r＝1，l＝4，h＝ 3.
所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圆柱的侧面积S
2
＝2πrh＝2π×1×3＝23π.
所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋23π＝(12＋23)π.
(2)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥
AB于点E，设CD＝x，AB＝3
2 x，
则AD ＝CE ＝BE ＝AB －CD ＝x 2，BC ＝2
2x .
S 表＝S 圆柱底
＋S
圆柱侧
＋S
圆锥侧
＝π·AD 2＋2π·AD ·CD ＋π·CE ·BC ＝π·x 2
4
＋
2π·x
2·x ＋π·x
2·22x ＝5＋2
4
πx 2.
根据题设，
5＋2
4
πx 2＝(5＋2)π，则x ＝2. 所以旋转体的体积V ＝π·AD 2·CD ＋π3·CE 2·BE ＝π×12×2＋π
3
×12×1＝7π
3
.
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5 D ．3∶2
答案 C
解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.故选C.
2．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝___. 答案
3
解析 ∵圆锥SO 的高为4，体积为4π，∴4π＝4
3πr 2，
∴r ＝ 3.
3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为____.
答案16π＋128 3
解析由主视图数据可知半圆柱的半径为2，母线长为8，四棱锥的底面是边
长为4和8的矩形，高为4，所以体积V＝1
2
π×22×8＋
1
3
×4×8×4＝16π＋
128
3
.
4. 一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．
解设圆台的上底半径为r，下底半径为R.由题图知母线l＝8,2πr＝
π4×16,2πR＝
π
4
×24，所以r＝2，R＝3.
S
侧
＝π×(2＋3)×8＝40π，所以S表＝π×22＋π×32＋40π＝53π，圆台的高h＝l2－R－r2＝64－1＝37，
所以V＝1
3
(4π＋4π×9π＋9π)×37＝197π.
5．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则r＝3，AD＝6，l＝62＋32＝9＝3.
故几何体的表面积为
S＝πrl＋πr2＋2πr·AD
＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6
＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm2)．几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－
1 3πr2·AD＝π×3×6－
1
3
×π×3×6＝26π(cm3)．
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2π
C．4π D．8π
答案 B
解析由于侧面积为4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝h
2
＝1，∴V＝πr2h
＝2π.
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A．1＋2π
2π
B．
1＋4π
4π
C．1＋2π
π
D．
1＋4π
2π
答案 A
解析设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为2πr，高为h＝2πr，且S
侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，∴
S
表
S
侧
＝
4π2r2＋2πr2
4π2r2
＝
2π＋1
2π
.
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积
A ．3π
B ．33π
C ．6π
D ．9π
答案 A
解析 根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以
S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.
4. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8π3
B ．3π
C ．
10π
3
D ．6π
答案 B
解析 由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的14后剩余的部分，所以V 剩＝3
4
×π×12×4＝3π.
5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )
A ．母线长是20
B ．表面积是1100π
C ．高是10 2
D ．体积是
70003π
3
答案 ABD
解析 如图所示，设圆台的上底面周长为C ，因为扇环的圆心角为180°，所以C ＝π·SA ，又C ＝10×2π，所以SA ＝20，同理SB ＝40，故圆台的母线AB ＝
SB －SA ＝20，高h ＝AB 2－20－102
＝103，体积V ＝1
3
π×103×(102＋
10×20＋202)＝
70003π
3
，表面积S ＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π，
二、填空题
6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____. 答案
3π3
解析 易知圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，
则2πr ＝1
2
×2π×2，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积
V ＝13πr 2h ＝
3π3
. 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____.
答案 38
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是____.
答案 54
解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.设原圆锥的高为h ，由相似知识得
r
3r
＝h－h
1
h
，∴h＝
3
2
h
1
，∴V原圆锥＝
1
3
π(3r)2×h＝3πr2×
3
2
h
1
＝
9
2
×12＝54.
三、解答题
9. 如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此
三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．
解过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB＝5，
因为AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形，
所以底面半径DC＝AC·BC
AB
＝
12
5
，
故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝84π5
.
10．如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD－A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，AB＝x.
(1)将S表示为x的函数；
(2)求V的最大值．
解(1)连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴AC是⊙O的直径．
∴AC ＝2，又AB ＝x ，∴BC ＝4－x 2， ∴S ＝AB ·BC ＝x 4－x 2(0<x <2)． (2)∵长方体的高AA 1＝1， ∴V ＝S ·AA 1＝x 4－x 2＝x 24－x 2
＝－
x 2－2
2
＋4，
∵0<x <2，∴0<x 2<4，
当x 2＝2，即x ＝2时，V 取得最大值，此时V max ＝2.
1．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )
A ．6 3 cm
B ．6 cm
C ．23
18 cm D ．33
12 cm
答案 B
解析 水的体积V ＝π×22×6＝24π(cm 3)．设圆锥中水的底面半径为r ，则水的高度为3r ，∴1
3πr 2·3r ＝24π，∴r 3＝24 3.∴(3r )3＝216，∴3r ＝6，
即圆锥中水面的高度为6 cm.
2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3
2，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，
则所形成的几何体的体积是( )
A ．3π2
B ．7π2
C ．
5π2
D ．9π2 答案 A
解析 若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 为轴截面的小圆锥后剩下的部分，其轴截面如图所示．设AD 与CB 的延长线交于点E .∵AB ＝2，BC ＝3
2
，∠ABC ＝120°，∴AE ＝
AB sin60°＝3，则所求体积为1
3
π·AE2·CE－
1
3
π·AE2·BE＝
1
3
π·AE2·BC＝
1
3
π×(3)2×3
2
＝
3π
2
.故选A．
3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是____.
答案7∶9
解析圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x,5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S
2
＝7∶9.
4．圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．
解如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于点H，
则O1O＝A1H＝A1A sin60°＝43(cm)，
AH＝A
1
A cos60°＝4(cm)．
设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①
设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.
又A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.
∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.
∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②
由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1)．
∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2)．
5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
解(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
则仓库的体积V1＝1
3
Sh＝
1
3
×π×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
16
2
2×4＝
256π
3
m3.
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
则仓库的体积V2＝1
3
Sh＝
1
3
×π×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
12
2
2×8＝96π m3.
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m. 圆锥的母线长l＝82＋42＝4 5 m，
则仓库的表面积S1＝π×8×45＝325π m2.
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
圆锥的母线长为l＝82＋62＝10 m，
则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π m2.
(3)∵V2>V1，S2<S1，∴方案二比方案一更经济．。