初等数论及其应用
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= 7 × 85 + 5 × 84 + 3 × 83 + 4 × 82 + 0 × 8 + 1
= 251649
16
课堂练习
计算: 将237894与251649都转换为二进制.
解: 其八进制表示分别为(720506) 8与(753401)8
易知对八进制0 − 7有如下二进制转换
0 −> 000 1 −> 001 2 −> 010 3 −> 011
4 −> 100 5 −> 101 6 −> 110 7 −> 111
因此, (720506) 8 = (111010000101000110) 2
(753401) 8 = (111101011100000001) 2
17
总结
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
除法:
66 = 2 × 33 + 0 (低位)
33 = 2 × 16 + 1
16 = 2 × 8 + 0
8=2×4+0
4=2×2+0
2=2×1+0
1 = 2 × 0 + 1 (高位)
按从低位到高位顺序, 依次取出上述除法中的余数, 得到
(66)10 = (1000010)2.
12
余数的定义
定义1.1.2 带余除法 = + 中的为用除得出
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
18
总结
定理1.1.1 设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0, 则存在唯一的, ∈ ℤ, 使得
= + , 0 ≤ < ||.
其中整数 ( = 0,1, . . , ) 满足0 ≤ < , ≠ 0. 因此有
= 0 + 0 = +1 + −1 + ⋯ + 1 2 + 0 + 0,
这种表示是满足定理要求的唯一表示, 否则与0唯一表示性矛
9
盾. 因此结论对 = + 1也成立. 定理得证！
14
课堂练习
命题: 设, ∈ ℤ. 如果2 + 3, 9 + 5 中有一个能
被17整除, 那么另一个也能被17整除.
证明: 注意到4(2 + 3) + (9 + 5) = 17( + ) .
如果17|2 + 3, 则有2 + 3 = 17, ∈ ℤ. 于是9 + 5 =
0 = 1 + 1 = ( −2 + −1 −3 + ⋯ + 2) + 1
……
−2 = −1 + −1 = + −1
−1 = + = 0 × + Biblioteka 11二进制转换的例子
例如, 为了求出66的二进制表示, 我们可以连续使用带余
有当 + − = 4时才有4|17 ( + − ) 成立. 因此,
4(2 + 3) = 17( + − ) = 17 × 4, 等价为2 + 3 =
15
17 ( ∈ ℤ) , 即17|2 + 3.
课堂练习
计算: 把237894转换为八进制表示, 把(753401)8转
证明方法的讨论
上述定理的证明采用了数学归纳法, 它的一般证
明步骤为: (1) 证明结论在 = 0时成立; (2) 假设
结论在 = ≥ 0时成立, 证明结论在
= + 1时也成立.
此外, 上述定理的证明还可以采用如下方法: 存
在性证明采用构造法, 而唯一性证明采用反证法.
可以当作课后练习, 其中存在性证明的提示: 首
在不致引起混淆时, 中的常略去不写. 为方便起
见, 以后除非特别说明, 我们总是假定除数以及因数
都大于零.
13
余数的基本性质
定理1.1.3 设1, 2, ∈ ℤ, 且 > 0, 则
①
1 + 2 =
1 + 2
②
1 − 2 =
1 − 2
③
1 2 =
1 2
换为十进制表示.
解: (1) 237894 = 29736 × 8 + 6,
29736 = 3717 × 8 + 0,
3717 = 464 × 8 + 5,
464 =
58 × 8 + 0,
58 =
7 × 8 + 2,
7=
0 × 8 + 7,
即 237894 = (720506) 8
(2)
753401 8
( −1 … 10) = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0.
由上述定理可以很容易得到任意正整数的进制表示
( −1 … 10), 计算方法如下:
= 0 + 0 = ( −1 + −1 −2 + ⋯ + 1) + 0
8
论在 = + 1时也成立.
整数的表示
证明： (1) 当 = 0时, 由于1 ≤ < , 则有0 = 0,
0 < 0 = < , 结论显然成立.
(2) 假设结论在 = ≥ 0时成立, 那么当 = + 1时, 有
+1 ≤ < +2 , 而可以唯一表示为 = 0 + 0 (0 ≤
数, 叫做的倍数.
如果不能整除, 则记作 ∤
对任意整数, 有1|, 即1是任意整数的因数;
当 ≠ 0时, 有|0和|, 即0是任意整数的倍数, 任
意非零整数是自身的因数也是自身的倍数.
如果一个整数是2的倍数, 我们称它为偶数; 否则称
它为奇数. 偶数和奇数可分别表示如下的一般形式:
的不完全商, 称为用除得到的最小非负余数, 也简
称为余数, 常记作 或 mod .
例如, 当 = 17, = 5时, 17 = 5 × 3 + 2, 这时 = 3,
= 2, 即 = ; 当 = −17, = 5时, −17 = 5 ×
(−4) + 3, 这时 = −4, = 3, 即 − = .
带余除法
定理1.1.2
设 ≥ 2是给定的正整数, 那么任意正整数可
以唯一表示为
整数的进制表示
17( + − 4), 即17|9 + 5.
如果17|9 + 5 , 则有9 + 5 = 17, ∈ ℤ. 于是
4(2 + 3) = 17( + − ), 即4|17( + − ). 虽然
+ − 可以表示为4k, 4k+1, 4k+2, 或4k+3 ( ∈ ℤ ), 但是只
= ′ + ′ , 0 ≤ ′ < ||, 则有
−|| < − ′ = ( ′ − ) < ||.
因此( ′ − ) = 0, 从而 ′ − = 0, 即 ′ = , ′ = ,
所以唯一性成立.
带余除法是整除的基本定理, 是初等数论
的证明中最基本、最常用的工具. 例如, 证
证明: 上述3点的证明类似, 这里仅证明第1点. 设
1 = 1 + 1 , 2 = 2 + 2 , 1 + 2 =
3 + 1 + 2 . 于是
1 + 2 = (1 + 2) + 1 + 2
= (1 + 2 + 3) + 1 + 2 ,
因此, 1 + 2 = 1 + 2 .
自然数的集合记为ℤ+ .
定义1.1.1
设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0. 如果存在 ∈ ℤ, 使
得 = , 则称整除, 记作|. 此时, 叫做的因数,
叫做的倍数.
自然数、整数、整除、因数、
命题1.1.1 设, , ∈ ℤ. 倍数、整除的基本性质
① 如果|, |, 那么|.
2, 2 + 1, ∈ ℤ.
4
整除的基本性质
命题1.1.1
设, , ∈ ℤ.
① 如果|, |, 那么|.
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
明下面与整数不同进制表示相关的定理,
就需要用到带余除法.
7
整数的表示
定理1.1.2
设 ≥ 2是给定的正整数, 那么任意正整
数可以唯一表示为
= + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ,
其中整数 ≥ 0, 整数 ( = 0,1, . . , ) 满足0 ≤ < ,
0 < ), 这样 +1 ≤ 0 + 0 < +2 . 由于0 ≤ 0 < , 则
+ − < < + , 故 ≤ < + .
由归纳假设知, 0可唯一表示为
0 = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ,
地涉及整除性, 可以说: 整除性是初等数论的基础
2
整数集
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
自然数的集合记为ℤ+ .
整数集ℤ关于加、减、乘运算是封闭的: 任意, ∈ ℤ,
有 + , − , ∈ ℤ.
定理1.1.1 设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0, 则存在唯一的, ∈ ℤ,
使得
= + , 0 ≤ < ||.
证明: (存在性证明) 考虑整数序列
… , −2||, −||, 0, ||, 2||, …
则必在上述序列的某相邻的两项之间. 不妨假定
|| ≤ < ( + 1)||.
但是, 整数集ℤ关于除法运算不是封闭的: 存在, ∈ ℤ,
/ ∉ ℤ. 如：7/2 ∉ ℤ, 10/4 ∉ ℤ. 因此, 我们需要考虑
整除, 即研究何时/ ∈ ℤ.
3
整除的定义
定义1.1.1
设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0. 如果存在 ∈ ℤ, 使
得 = , 则称整除, 记作|. 此时, 叫做的因
先对应用带余除法 = 0 + 0 (0 ≤ 0 < ),
然后不断地对上次得到的商应用带余除法, 直到
商为0.
10
不同进制的转换
在上述定理给出的表示式中, 如果取不同值, 则代表不同
进制的表示, 常用的有2进制 ( = 2) 、10进制 ( = 10) 、
16进制 ( = 16) 等. 为了区分不同进制, 记
≠ 0.
证明: 对给定的正整数, 必存在唯一的整数 ≥ 0, 使
得 ≤ < +1 . 由带余除法, 存在唯一的0, 0 ∈ ℤ,
使得 = 0 + 0 , 0 ≤ 0 < . 下面利用数学归纳法
进行证明.
这里需要注意, 数学归纳法包含两步: 证明结论在
= 0时成立; 假设结论在 = ≥ 0时成立, 证明结
于是0 ≤ − || < ||, 令 = − ||, 则0 ≤ < ||.
因此, 当 > 0时, 有 = + ; 当 < 0时, 有
= (−) + . 这就证明了, 的存在性.
6
带余除法
证明: (唯一性证明) 假设存在另一组 ′ , ′ ∈ ℤ, 使得
证明: 上述4点的证明类似, 这里仅证明第4点. 设 = ,
= , 其中, ∈ ℤ. 于是
= = () = ()
显然 ≠ 0, 由上式可得 = 1. 由于 , ∈ ℤ, 则
= = 1, 或 = = −1, 即结论成立.
5
带余除法
整除性
数论这门学科最初是从研究整数开始的, 所以也叫整
数论. 后来整数论进一步发展, 就叫数论.
数论的确切定义: 数论是研究数的规律, 特别是整数
性质的数学分支.
初等数论主要是用整数的四则运算方法来研究整数
性质 (特别是一些特殊类型的正整数的性质及其关系)
的数学分支.
初等数论中得到的整数的许多性质都要直接或间接
= 251649
16
课堂练习
计算: 将237894与251649都转换为二进制.
解: 其八进制表示分别为(720506) 8与(753401)8
易知对八进制0 − 7有如下二进制转换
0 −> 000 1 −> 001 2 −> 010 3 −> 011
4 −> 100 5 −> 101 6 −> 110 7 −> 111
因此, (720506) 8 = (111010000101000110) 2
(753401) 8 = (111101011100000001) 2
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总结
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
除法:
66 = 2 × 33 + 0 (低位)
33 = 2 × 16 + 1
16 = 2 × 8 + 0
8=2×4+0
4=2×2+0
2=2×1+0
1 = 2 × 0 + 1 (高位)
按从低位到高位顺序, 依次取出上述除法中的余数, 得到
(66)10 = (1000010)2.
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余数的定义
定义1.1.2 带余除法 = + 中的为用除得出
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
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总结
定理1.1.1 设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0, 则存在唯一的, ∈ ℤ, 使得
= + , 0 ≤ < ||.
其中整数 ( = 0,1, . . , ) 满足0 ≤ < , ≠ 0. 因此有
= 0 + 0 = +1 + −1 + ⋯ + 1 2 + 0 + 0,
这种表示是满足定理要求的唯一表示, 否则与0唯一表示性矛
9
盾. 因此结论对 = + 1也成立. 定理得证！
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课堂练习
命题: 设, ∈ ℤ. 如果2 + 3, 9 + 5 中有一个能
被17整除, 那么另一个也能被17整除.
证明: 注意到4(2 + 3) + (9 + 5) = 17( + ) .
如果17|2 + 3, 则有2 + 3 = 17, ∈ ℤ. 于是9 + 5 =
0 = 1 + 1 = ( −2 + −1 −3 + ⋯ + 2) + 1
……
−2 = −1 + −1 = + −1
−1 = + = 0 × + Biblioteka 11二进制转换的例子
例如, 为了求出66的二进制表示, 我们可以连续使用带余
有当 + − = 4时才有4|17 ( + − ) 成立. 因此,
4(2 + 3) = 17( + − ) = 17 × 4, 等价为2 + 3 =
15
17 ( ∈ ℤ) , 即17|2 + 3.
课堂练习
计算: 把237894转换为八进制表示, 把(753401)8转
证明方法的讨论
上述定理的证明采用了数学归纳法, 它的一般证
明步骤为: (1) 证明结论在 = 0时成立; (2) 假设
结论在 = ≥ 0时成立, 证明结论在
= + 1时也成立.
此外, 上述定理的证明还可以采用如下方法: 存
在性证明采用构造法, 而唯一性证明采用反证法.
可以当作课后练习, 其中存在性证明的提示: 首
在不致引起混淆时, 中的常略去不写. 为方便起
见, 以后除非特别说明, 我们总是假定除数以及因数
都大于零.
13
余数的基本性质
定理1.1.3 设1, 2, ∈ ℤ, 且 > 0, 则
①
1 + 2 =
1 + 2
②
1 − 2 =
1 − 2
③
1 2 =
1 2
换为十进制表示.
解: (1) 237894 = 29736 × 8 + 6,
29736 = 3717 × 8 + 0,
3717 = 464 × 8 + 5,
464 =
58 × 8 + 0,
58 =
7 × 8 + 2,
7=
0 × 8 + 7,
即 237894 = (720506) 8
(2)
753401 8
( −1 … 10) = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0.
由上述定理可以很容易得到任意正整数的进制表示
( −1 … 10), 计算方法如下:
= 0 + 0 = ( −1 + −1 −2 + ⋯ + 1) + 0
8
论在 = + 1时也成立.
整数的表示
证明： (1) 当 = 0时, 由于1 ≤ < , 则有0 = 0,
0 < 0 = < , 结论显然成立.
(2) 假设结论在 = ≥ 0时成立, 那么当 = + 1时, 有
+1 ≤ < +2 , 而可以唯一表示为 = 0 + 0 (0 ≤
数, 叫做的倍数.
如果不能整除, 则记作 ∤
对任意整数, 有1|, 即1是任意整数的因数;
当 ≠ 0时, 有|0和|, 即0是任意整数的倍数, 任
意非零整数是自身的因数也是自身的倍数.
如果一个整数是2的倍数, 我们称它为偶数; 否则称
它为奇数. 偶数和奇数可分别表示如下的一般形式:
的不完全商, 称为用除得到的最小非负余数, 也简
称为余数, 常记作 或 mod .
例如, 当 = 17, = 5时, 17 = 5 × 3 + 2, 这时 = 3,
= 2, 即 = ; 当 = −17, = 5时, −17 = 5 ×
(−4) + 3, 这时 = −4, = 3, 即 − = .
带余除法
定理1.1.2
设 ≥ 2是给定的正整数, 那么任意正整数可
以唯一表示为
整数的进制表示
17( + − 4), 即17|9 + 5.
如果17|9 + 5 , 则有9 + 5 = 17, ∈ ℤ. 于是
4(2 + 3) = 17( + − ), 即4|17( + − ). 虽然
+ − 可以表示为4k, 4k+1, 4k+2, 或4k+3 ( ∈ ℤ ), 但是只
= ′ + ′ , 0 ≤ ′ < ||, 则有
−|| < − ′ = ( ′ − ) < ||.
因此( ′ − ) = 0, 从而 ′ − = 0, 即 ′ = , ′ = ,
所以唯一性成立.
带余除法是整除的基本定理, 是初等数论
的证明中最基本、最常用的工具. 例如, 证
证明: 上述3点的证明类似, 这里仅证明第1点. 设
1 = 1 + 1 , 2 = 2 + 2 , 1 + 2 =
3 + 1 + 2 . 于是
1 + 2 = (1 + 2) + 1 + 2
= (1 + 2 + 3) + 1 + 2 ,
因此, 1 + 2 = 1 + 2 .
自然数的集合记为ℤ+ .
定义1.1.1
设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0. 如果存在 ∈ ℤ, 使
得 = , 则称整除, 记作|. 此时, 叫做的因数,
叫做的倍数.
自然数、整数、整除、因数、
命题1.1.1 设, , ∈ ℤ. 倍数、整除的基本性质
① 如果|, |, 那么|.
2, 2 + 1, ∈ ℤ.
4
整除的基本性质
命题1.1.1
设, , ∈ ℤ.
① 如果|, |, 那么|.
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
明下面与整数不同进制表示相关的定理,
就需要用到带余除法.
7
整数的表示
定理1.1.2
设 ≥ 2是给定的正整数, 那么任意正整
数可以唯一表示为
= + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ,
其中整数 ≥ 0, 整数 ( = 0,1, . . , ) 满足0 ≤ < ,
0 < ), 这样 +1 ≤ 0 + 0 < +2 . 由于0 ≤ 0 < , 则
+ − < < + , 故 ≤ < + .
由归纳假设知, 0可唯一表示为
0 = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ,
地涉及整除性, 可以说: 整除性是初等数论的基础
2
整数集
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
自然数的集合记为ℤ+ .
整数集ℤ关于加、减、乘运算是封闭的: 任意, ∈ ℤ,
有 + , − , ∈ ℤ.
定理1.1.1 设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0, 则存在唯一的, ∈ ℤ,
使得
= + , 0 ≤ < ||.
证明: (存在性证明) 考虑整数序列
… , −2||, −||, 0, ||, 2||, …
则必在上述序列的某相邻的两项之间. 不妨假定
|| ≤ < ( + 1)||.
但是, 整数集ℤ关于除法运算不是封闭的: 存在, ∈ ℤ,
/ ∉ ℤ. 如：7/2 ∉ ℤ, 10/4 ∉ ℤ. 因此, 我们需要考虑
整除, 即研究何时/ ∈ ℤ.
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整除的定义
定义1.1.1
设, ∈ ℤ, 且 ≠ 0. 如果存在 ∈ ℤ, 使
得 = , 则称整除, 记作|. 此时, 叫做的因
先对应用带余除法 = 0 + 0 (0 ≤ 0 < ),
然后不断地对上次得到的商应用带余除法, 直到
商为0.
10
不同进制的转换
在上述定理给出的表示式中, 如果取不同值, 则代表不同
进制的表示, 常用的有2进制 ( = 2) 、10进制 ( = 10) 、
16进制 ( = 16) 等. 为了区分不同进制, 记
≠ 0.
证明: 对给定的正整数, 必存在唯一的整数 ≥ 0, 使
得 ≤ < +1 . 由带余除法, 存在唯一的0, 0 ∈ ℤ,
使得 = 0 + 0 , 0 ≤ 0 < . 下面利用数学归纳法
进行证明.
这里需要注意, 数学归纳法包含两步: 证明结论在
= 0时成立; 假设结论在 = ≥ 0时成立, 证明结
于是0 ≤ − || < ||, 令 = − ||, 则0 ≤ < ||.
因此, 当 > 0时, 有 = + ; 当 < 0时, 有
= (−) + . 这就证明了, 的存在性.
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带余除法
证明: (唯一性证明) 假设存在另一组 ′ , ′ ∈ ℤ, 使得
证明: 上述4点的证明类似, 这里仅证明第4点. 设 = ,
= , 其中, ∈ ℤ. 于是
= = () = ()
显然 ≠ 0, 由上式可得 = 1. 由于 , ∈ ℤ, 则
= = 1, 或 = = −1, 即结论成立.
5
带余除法
整除性
数论这门学科最初是从研究整数开始的, 所以也叫整
数论. 后来整数论进一步发展, 就叫数论.
数论的确切定义: 数论是研究数的规律, 特别是整数
性质的数学分支.
初等数论主要是用整数的四则运算方法来研究整数
性质 (特别是一些特殊类型的正整数的性质及其关系)
的数学分支.
初等数论中得到的整数的许多性质都要直接或间接