宁夏育才中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(精品解析)

宁夏育才中学高二年级期中考试数学试卷(文科)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位,若复数满足.则的虚部是（）
A. -2
B. 4
C. 3
D. -4
【答案】B
【解析】
分析：由题意得到，根据虚部定义得到结果.
详解：由，可得，
∴的虚部是4.
故选：B
点睛：本题考查复数的加减运算及虚部概念，属于基础题.
2.将极坐标化为直角坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：直接利用极坐标与直角坐标的互化求解即可．
详解：∵点的极坐标（2，），
∴x=2cos=1，y=2sin=，
∴将点的极坐标化为直角坐标为．
故选：A．
点睛：本题考查点的直角坐标的求法，涉及到极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
3. 已知回归直线斜率的估计值为1.23,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为( )
A. =1.23x+4
B. =1.23x+5
C. =1.23x+0.08
D. =0.08x+1.23
【答案】C
【解析】
解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D
由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，
故选C
4.若复数，，且是实数，则实数t等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
复数,，有,若为实数，则，解得=.故选D.
5.圆的半径是（）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】A
【解析】
分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程,从而得到圆的半径.
详解：方程ρ=2sinθ，
整理得：ρ2=2ρsinθ，
转化为：x2+y2﹣2y=0，
即：x2+（y﹣1）2=1．
∴半径为1.
点睛：本题重点考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题.
6.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．
故选B．
考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.
7.下列关于残差图的叙述错误的是（）
A. 通过残差图可以发现原始数据中的可疑数据,判断所建模型的拟合效果
B. 残差图的纵坐标只能是残差,横坐标可以是编号,解释变量,也可以是预报变量
C. 残差点分布的带状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,预报精度越高
D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄,残差平方和越小,相关指数越小
【答案】D
【解析】
分析：根据残差图的定义和图象即可作出正确的判断．
详解：可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．则对应相关指数越大，故选项D错误.
故选：D
点睛：本题主要考查残差图的理解，属于基础题.
8.将参数方程化为普通方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.
详解：因为，所以y＝x－2，
因为，所以2≤x≤3,
点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．9.执行如图的程序框图,如果输入的.则输出的=（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】
分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
详解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7．
点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：
（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；
（2）观察每次累加的值的通项公式；
（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；
（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；
（5）输出累加（乘）值．
10.在研究吸烟与患肺癌的关系中．通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立则下列说法:①在100 个吸烟者中至少有99 个人患肺癌;②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌;③在100 个吸烟者中一定有患肺癌的人④在100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确论断的个数是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】D
【解析】
分析：“吸烟与患肺癌有关”的结论，有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，得到结论．
详解：∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，
与多少个人患肺癌没有关系，
只有D选项正确，
故选：D．
点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题．
11.直线(为参数)的倾斜角是
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
【解析】
分析：把参数方程化为普通方程，求出直线的斜率，据倾斜角和斜率的关系求出倾斜角的大小即可．
详解：∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t得y=﹣x+，则直线的斜率为﹣，
设直线的倾斜角为α，tanα=﹣，又 0≤α＜180°，
∴α=150°．
故选：D．
点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，直线的斜率和倾斜角的关系，斜率和倾斜角的求法，考查计算能力．属于基础题．
12.定义:若（为常数),则称为“比等差数列”.已知在“比等差数列”
中,,则的末位数字是（）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
【答案】B
【解析】
分析：本题考查的是数列的新定义问题．在解答时，首先应根据新定义获得数列{}为等差数列，进而求的通项公式，结合通项公式的特点即可获得问题的解答．
详解：由题意可知：，，．
∴数列{}为以1为首项以1为公差的等差数列．
∴．n∈N*
∴．
所以的末位数字是2．
故选：B．
点睛：本题以数列的新定义为背景，考查了等差数列定义及通项公式，累乘法，考查了学生分析问题解决问题的能力．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.计算:=__________．
【答案】
【解析】
分析：利用复数的四则运算法则化简即可得到结果.
详解：
故答案为：i
点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可;复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
14.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100 名电视观众,相关的数据如下表(单位:人)所示:
由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关:__________.（填“是”或“否”）
【答案】是
【解析】
分析：分析表格可得，收看新闻节目的观众多为年龄大的．
详解：由表格可得，收看新闻节目的观众与年龄有关，收看新闻节目的观众多为年龄大的．
故答案为：是
点睛：本题考查了学生分析数据，解决实际问题的能力，属于基础题.
15.在极坐标系中，点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】
分析：把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标与普通方程，利用点到直线的距离公式即可得出．
详解：点P（2，）化为：P，即P．
直线化为直角坐标方程：x+y﹣6=0，
∴点P到直线的距离d===1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了极坐标方程与为直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.点为此线上任意一点,则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
分析：设x=，y=2，则3+2sin（+），利用正弦型函数的图象与性质求最值即可.
详解：设x=，y=2，则
x+y==3+2sin（+），
∴sin（+）=1时，x+y的最大值为．
故答案为：．
点睛：本题重点考查了圆的参数方程的应用，把一次型函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设是实数,若复数(为虛数单位)在复平面内对应的点在直线上,求的值.
【答案】
【解析】
分析：利用复数的运算法则可得复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点，再代入直线x+y=0上即可得出a．
详解：
，
又因为复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得.
点睛：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．
18.在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124 人,其中女性70 人,男性54 人,女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27 人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33 人主要的休闲方式是运动.能否在犯错概率不超过0.025 的前提下判断性别与休闲方式有关系?
附：
【答案】能
【解析】
分析：（1）根据题意得到列联表；
（2）先假设休闲方式与性别无关，根据观测值的计算公式代入数据做出观测值，把所得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关．
详解：建立列联表(单位:人)如下:
∵，，
∴.
能在犯错慨率不超过0.025的前提下，认为性别与休闲方式有关系.
点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式
计算的值；（III）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）
19.已知函数在上是增函数..
(1)求证:如果,那么;
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）命题成立，证明见解析.
【解析】
分析：（I）由已知中函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，根据a+b≥0，易得a≥﹣b，且b≥﹣a，进而根据单调性的性质和不等式的性质，即可得到答案．
（II）（I）中命题的逆命题为若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．
详解：(1)证明:当时.且,
因为在上是增函数,所以,
故 .
(2)解:（1）中命题的逆命题:如果，那么.此命题成立.
证明:假设.则,从而.同理可得
从而有.这与矛盾.故假设不立
故成立.即(1)中命题的逆命题成立.
点睛：反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、
公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.
20.某班5 名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下表:
数学成绩
物理成绩
(1)画出散点图;
(2)求物理成绩对数学成绩的回直线方程;
(3)一名学生的数学成绩是96分,试预测他的物理成绩.
附：
【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）.
【解析】
分析：（1）根据表中数据画出散点图即可；
（2）计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；
（3）利用回归方程计算x=96时的值即可．
详解：(1)散点图如图:
(2)，
.
.
.
所以.
,
所以回归方程为.
(3),则.即可以预测他的物理成绩是82分.
点睛：求线性回归直线方程的步骤
（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
（2）求系数：公式有两种形式，即。

当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；
（3）求：；
（4）写出回归直线方程．
21.设为虚数,是实数.且.
(1)求及的实部的取值范围;
(2)若,求证:为纯虚数.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]．
（2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数．
详解：(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则
，
．
22.平面直角坐标系中，直线的参数方程（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于点，且，求直线的倾斜角的值.
【答案】（1）；（2）或。

【解析】
试题分析：（1）由曲线的极坐标方程得，将代入，即可得到直角坐标方程；
（2）将代入圆的方程得，化简得，设两点对应的参数分别为，根据参数的几何意义，即可求解。

试题解析：（Ⅰ）由曲线的极坐标方程得，
将代入，
得，曲线直角坐标方程是
（Ⅱ）将代入圆的方程得，
化简得.
设两点对应的参数分别为，则
∴，
∴，或.
考点：参数方程与普通方程的互化；极坐标与直角坐标的互化.。