2010年北京市各区高考数学分类解析(汇总)(精品)

2010年北京市各区二模高考数学模拟试题分类解析及高频考点透析 一、 集合（必修一）
1.（西城二模1） 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则C U ()A B 等于( ) A ．{1,2,3,4,5} B ．{1,2,4,5} C ．{1,2,5} D ．{3} 2．（海淀二模1）已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则( B )
A ．A
B ⊂
B ．B A ⊂
C ．A B B =
D ．A B =∅
4.（宣武二模1）集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈<<=+Z x x
A x ,42211的元素个数有（
B ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．无数个 5．（昌平二模1）设集合A={x|x 2
-4>0},B={x|1
24
x
<
}，则A B = ( B ) A ．{x|x>2} B.{x|x<-2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x<1
2
}
二、函数（必修一）
1．（东城二模6）已知函数6(3)3,7,
(),
7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足
()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ C ）
A. 9[,3)4
B. 9
(,3)4
C. (2,3)
D. (1,3)
2.（崇文二模3）设函数2log (1), (>0),
(), (0).
a x x f x x ax
b x +⎧=⎨++≤⎩若(3)2f =，(2)0f -=，
则a b +=( D ) (A)1- (B)0 （C ）1 （D ）2
3．（海淀二模4）函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．(丰台二模6)已知函数2()log f x x =
，若()1f x ≥，则实数x 的取值范围是（ C ）
A ．1
(,]2-∞ B ．[2,)+∞ C ．1(0,][2,)2+∞ D ．1(,][2,)2
-∞+∞ 5.（崇文二模9）函数y =
的定义域为 ．1
(0,]4
6.（昌平二模13）已知函数1(43),(0)
()2
,(0)x a x a x f x a x ⎧
-++<⎪=⎨⎪≥⎩
,若函数()f x 的图像经过点（3，18），则a =_______；若函数()f x 满足对任意
成立，那么实数a 的取值范围是
_.12；13[,)24
三、导数及其应用（选修2-2）
1.
（朝阳二模6）函数2
()(2)e x
f x x x =-的图象大致是（ A ） 解：因为20(0)(020)0f e =-⨯=，排除C ；
因为2()(2)x f x x e '=-，解()0f x '>，
所以(, x ??或 )x ? 时()f x 单调递增，排除B ，D. 故选A.
2.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（ B ）
A ．()x x x f ln 2
+= B ．()x x x f ln 2-= C ．()x x x f ln += D ．()x x x f ln -=
3．（丰台二模7）设f(x)、g(x)是R 上的可导函数，''(),()f x g x 分别是f(x)、g(x)的导函数，且
''()()()()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ A ）
A ． f(x)g(x)>f(b)g(b)
B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)
C ． f(x)g(b)>f(b)g(x)
D ． f(x)g(x)>f(a)g(a)
4.（西城二模14）已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：
①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；
②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；
③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点． 其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）②、④ 5.（东城二模20）已知函数(1)
()ln 1
a x f x x x -=-
+． (Ⅰ) 若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；
(Ⅱ) 设m ，n +
∈R ，且m n ≠，求证：
ln ln 2
m n m n
m n -+<-．
解：(Ⅰ)'
21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--=-+22(1)2(1)x ax x x +-=+22
(22)1(1)x a x x x +-+=
+． 3分 因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立．
即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立． 当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，
（A ） （B ）
（C ） （D ）
得122a x x -≤+． 设1
()g x x x =+，(0,)x ∈+∞．
1()2g x x x =+≥=．当且仅当1
x x =，即1x =时，()g x 有最小值2．
所以222a -≤． 所以2a ≤．
所以a 的取值范围是(,2]-∞．……………7分
(Ⅱ)不妨设0m n >>，则1m
n
>．
要证ln ln 2m n m n
m n -+<-， 只需证11
2ln m m n n
m n -+<， 即证2(1)
ln 1m
m n m n n
->+． 只需证2(1)ln 01
m m n m n n -->+．………11分
设2(1)
()ln 1
x h x x x -=-+．
由(Ⅰ)知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m
n
>，
所以()(1)0m h h n >=．2(1)ln 01m m n m n n
-->+所以
ln ln 2m n m n
m n -+<-．14分
6.（西城二模18）已知0a ≥，函数2
()f x x ax =+．设1(
,)2
a
x ∈-∞-，记曲线()y f x =在点11(,())M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是2(,0)N x ，O 为坐标原点．
（Ⅰ）证明：2
1212x x x a
=+；
（Ⅱ）若对于任意的1(,)2a
x ∈-∞-，都有916
a OM ON ⋅> 成立，求a 的取值范围．
解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()2f x x a '=+， 故切线l 的斜率为12x a +， ………2分
由此得切线l 的方程为2
1111()(2)()y x ax x a x x -+=+-． …4分
令0y =，得22
111211122x ax x x x x a x a
+=-+=
++. …5分 （Ⅱ）由22
11111(,),(,0)2x M x x ax N x a ++，得3112x OM ON x a
⋅=
+ . ……6分 所以0a =符合题意， ……7分
当0a >时，记3
111()2x g x x a =+，1(,)2a x ∈-∞-．
对1()g x 求导数，得21112
1(43)
()(2)
x x a g x x a +'=+, ……8分
令1()0g x '=，得13(,)42
a a x =-
∈-∞-. 当1(,)a
x ∈-∞-时，1()g x '的变化情况如下表：
所以，函数1()g x 在(,)4-∞-
上单调递减，在(,)42--上单调递增， 从而函数1()g x 的最小值为2
327()432
a g a -=
. ……11分 依题意22793216a a >， ………12分 解得23a >，即a 的取值范围是2
(,)3
+∞. …13分
综上，a 的取值范围是2
(,)3
+∞或0a =.
7．（海淀二模18）已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥. （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间上单调递减，求实数a 的取值范围. 解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-，……1分
令()0f x '=，得x =2分 ()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：
由上表可知，x =()f x 的极小值点，x =()f x 的极大值点. 5分 （Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+, ……6分
由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立， 7分
当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意x ∈恒成立；…8分 当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，
因为x ∈，不等式2
2
(22)20ax a x a ---≥等价于2222
a x x a
--≥,…9分
令2
(),g x x x x =-∈，
则22
()1g x x
'=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，
所以()g x 在上的最小值为0g =，.……11分
由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222
a x x a
--≥对任意x ∈恒成立，
需且只需2min 22()a g x a -≥，即222
0a a
-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤.
综合上述，若函数()f x
在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤.……13分 解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+,…6分 由函数()f x
在区间上单调递减可知：()0f x '≤
对任意x ∈恒成立， 即22(22)20ax a x a ---≥
对任意x ∈恒成立，…7分 当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤
对任意x ∈恒成立；…8分
当0a >时，令2
2
()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21
a x a
-=，…9分
若210a a
-≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥对
任意x ∈
恒成立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤
若210a a
->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如
()0h x ≥
对任意x ∈
恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，
所以()0h x ≥
不能对任意x ∈恒成立.
综合上述，若函数()f x
在区间上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤. …13分
222()
()a e ax f x x e ex
-'=-=.
当0a =时，由2
()0f x x
'=>，解得0x >；
当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=
>，解得0e
x a <<； 当0a <时，由2()()0e ax f x ex -'=
>，解得0x >，或e
x a
<． 所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；
当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )e
a ；
当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e
a
-∞，(0, )+∞． ……8分
（Ⅱ）因为222()
()e x f x x e ex
-'=-=，
所以以111
(,())P x f x 为切点的切线的斜率为11
2()
e x ex -； 以222
(,())P x f x 为切点的切线的斜率为22
2()
e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ，
所以211111
22()
ln (0)x e x t x x e ex --+
=-； 222222
22()
ln (0)x e x t x x e ex --+=-.
解得，221t x e += ，222t x e +=. 则2212x x =. 由已知12x x ¹
所以，120x x +=． …………13分
9.（崇文二模18）设函数1
()(2)ln()2f x a x ax x
=--++（a ∈R ）． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；
（Ⅱ）当0a ≠时，求()f x 的单调区间.
解：（Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(,0)-∞. 当0a =时，1()2ln()f x x x =--+，'
221()f x x x -=-2
(21)x x -+=．
令'()0f x =，解得12
x =-
. 当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由上表知：当12x <-时，'()0f x >；当1
2x >-时，'()0f x <.
故当1
2
x =-时， ()f x 取得极大值为2ln 22-.----5分
（Ⅱ）'
221()2a f x a x x -=-+22(2)12a x ax x --+=21
(21)()a x x a x
+-= 若0a >，令'()0f x >，解得：1
x <-；令'
()0f x <，解得：10x -<<.
0a <，①当20a -<<时，若112a ->
'()0f x >，解得：11
2
x a
<<-； 令 令'()0f x <，解得：1x a <
或1
02
x -<<. ②当2a =-时，112a -=，2'
2
(21)()0x f x x -+=≤ ③当2a <-时，11
2a
-<
令'
()0f x >，解得：112x a
-<<；
令'
()0f x <，解得：12x <-或10x a
<<.
综上，当0a >时，()f x 的增区间为1(,)2
-∞-，减区间为1(,0)2
-；
当20a -<<时，()f x 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(,)a -∞，1(,0)2
-；
当2a =-时，()f x 的减区间为(,0)-∞,无增区间；
当2a <-时，()f x 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(,)2-∞-，1
(,0)a .14分
10.（宣武二模19）已知函数()x
x
x f ln =.
（I ）判断函数()x f 的单调性；
（Ⅱ）若=y ()x xf +x
1
的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数()x f 与()32
61+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值.
解：（Ⅰ）可得'
2
1ln ()x f x x -=.
当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数.……4分
（Ⅱ）依题意， 转化为不等式x
x a 1
ln +<对于0>x 恒成立
令1()ln g x x x =+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫
'=-=- ⎪⎝⎭
当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫
'=-> ⎪⎝⎭
，()g x 是(1)+∞，上的增函数，
当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，
从而a 的取值范围是()1,∞-. …8分
（Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32
612在公共点00(,)x y 处的切线相同
由题意知⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧
+=-+=323113261ln 000200x x m x x x
∴ 解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式，即有6
5
=m .１4分
11.（昌平二模18）已知函数()ln a x
f x x x
-=+,其中a 为大于零的常数.
（I ）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线1-2y x =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值.
解：2
221()1'()x a x a x a
f x x x x x x
----=+=-=(0x >) ………..4分 （I ）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线1-2y x =平行， 所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得…………6分 (II)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立， 这时()f x 在[1，2]上为增函数
min ()(1)1f x f a ∴==-……………….8分 当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈
对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a ]上为减函数， 对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，
min ()()ln f x f a a ∴==………11分
当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立， 这时()f x 在[1，2]上为减函数，
min ()(2)ln 212
a
f x f ∴==+-.
综上，()f x 在[1，2]上的最小值为 ①当01a <≤时，min ()1f x a =-, ②当12a <<时，min ()ln f x a =，
③当2a ≥时，min ()ln 212
a
f x =+- ……….13分
12．（丰台二模18）已知函数2()(2),(,)x f x x ax e x a R =++∈.
（Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R 上单调，求a 的取值范围；
（Ⅲ）当5
2a =-
时，求函数f(x)的极小值。

解:2
()[(2)2]x f x e x a x a '=++++
（Ⅰ）当a=0时，2()(2),x f x x e =+2
()(22)x f x e x x '=++,……2分
(1)3f e =,(1)5f e '=,
∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=0 ……4分
（Ⅱ）2
()[(2)2]x f x e x a x a '=++++,考虑到0x
e >恒成立且2
x 系数为正，
∴f(x)在R 上单调等价于 2
(2)20x a x a ++++≥恒成立. ∴(a+2)2
-4(a+2)≤0,∴-2≤a ≤2 ，即a 的取值范围是[-2，2]，…8分
（若得a 的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（Ⅲ）当52a =-时, 25()(2),2x f x x x e =-+2
11()()22
x f x e x x '=--,10分 令()0f x '=，得1
2x =-，或x ，
令()0f x '>，得1
2x <-，或x ，
令()0f x '<，得1
12
x -<<
x,()f x ',f(x)的变化情况如下表
所以，函数f(x)的极小值为f(1)=
2
e …………14分
四、定积分（选修2-2） 五、三角函数（必修四）
1．（海淀二模2）函数()sin(2)3
f x x π
=+图象的对称轴方程可以为( A )
A ．12x π=
B ．512x π=
C ．3x π=
D ．6x π
=
2.(崇文二模4)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移
6
π
个 单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 标不变），得到的图象所表示的函数为( B )
（A ）sin(2),3y x x π
=-
∈R （B ）1sin(),26y x x π
=+∈R （C ）sin(2),3y x x π=+∈R （D ）1sin(),26
y x x π
=-∈R
3.（东城二模13）在函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0)A ω>>的一个周期内，
当9π=x 时有最大值21，当94π=x 时有最小值2
1-，若)2,0(πϕ∈，则函数
解析式)(x f = ． 1sin(3)26
x π
+
4．（海淀二模13）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ，若sin a c A =，则a b
c
+的最大值为
.5.（宣武二模9）函数)
sin(cos )cos(sin π
π
+
++
=x x x x y 的值域是 . []11，-
m . 解法2：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，
所以AB AC x ==，1000BC =.
则1000sin120sin 30
x =o o
，解得3x =. 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为
m 3
.
C
解法3：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，
所以AB AC x ==，1000BC =. 过点A 做BC 的垂线，垂足为D . 因为AB AC =，
所以得到Rt ABD D ，且500BD =，30B ?o .
500x =.
解得x =
m .
7．如右图，在倾斜角150
(∠CAD=150
)的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC ），在A 处测得
塔顶B 的仰角为450（∠BAD =450
），则塔顶到水平面的距离（BD ）约为 米（保留一位小数，如
1.7 ) 40.5
8.（东城二模15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c
，cos
2A C +=
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）若3a =
，b =c 的值．
解：
（Ⅰ）因为cos 2A C +=
A B C π++=， 所
以
s
i n
2
2
2
B
A
C π+=-
=
．…………3分
所以 2
1
cos 12sin
23
B B =-=．…………7分 （Ⅱ）由余弦定理222
2cos b a c ac B =+-，
得2
210c c -+=．………11分 解得1c =．…………13分
9.（西城二模15）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===， 60A = .
（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；
（Ⅱ）求BCD ∆的面积.
解：（Ⅰ）已知60A = ， 由余弦定理得222
2
cos 7BD AB AD AB AD A =+-⋅=， 解得BD = ……3分
由正弦定理，sin sin AD BD ABD A
=∠，
所以sin sin AD
ABD A BD ∠=. ……5分 2
7==. ……7分 （Ⅱ）在BCD ∆中，222
2cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，
所以744222cos C =+-⨯⨯，1
cos 8
C =， …9分
因为(0,)C ∈π，所以sin C = 11分
A B
C D C
B
世博轴
·
A 中国馆
D
所以，BCD ∆
的面积1sin 2S BC CD C =
⋅⋅=
. …13分 10.（朝阳二模15）设函数()2sin cos cos(2
f x x x x π
=--．
解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6
f x x x x =--
sin
2(cos 2cos sin 2sin 66
x x x ππ
=-+
1sin 222x x = sin(2)3x π
=-，
所以()sin(2)3
f x x π
=-.
函数()f x 的最小正周期为π. ………7分
（Ⅱ）因为2[0, ]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以，当π232x π-=，即5π
12
x =时
函数()f x 的最大值为1. ……13分
11.（崇文二模15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以
x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与
单位圆交于,A B 两点．已知,A B
10
． （Ⅰ）求
tan()αβ+的值； （Ⅱ）求2αβ+的值． 解：
（Ⅰ）由已知得：cos
10
αβ=
=
． ∵,αβ为锐角
∴sin αβ=
=
∴ 1
tan 2,tan 7
αβ==．
∴1
2tan tan 7tan()31
1tan tan 127
αβαβαβ+
++==
=-⋅-⨯．----6分 （Ⅱ）∵22tan 44
tan 21tan 143
ααα===---
∴41tan 2tan 37tan(2)141
1tan 2tan 1(37
αβαβαβ-+
++==
=--⋅--⨯．
,αβ 为锐角，
∴3022
παβ<+<， ∴324
π
αβ+=
． 12分 12.（宣武二模15）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等
待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船. （Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，
求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ=()R x ∈的值域. 解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202
+102
－2×20×10COS120°=700.
∴BC =107. ………5分 （Ⅱ）∵
7
10120sin 20sin ︒
=θ， ∴sin θ =73 ∵θ是锐角，∴7
4
cos =
θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 7
5
cos 74sin 73
∴()x f 的值域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-75,75. ……13分
13.设函数()cos(2)6
f x x π
=+sin 2x +.
(I) 求函数()f x 的单调递增区间；
(II) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若AB =1,sin B =31，
()2C f ，求AC 的长. 解： ()cos(2)6
f x x π
=+sin 2x +
=1cos 2cos
sin 2sin
sin 22sin 2sin(2)6623x x x x x x ππ
π
-+=
+=+.....3分
（I ）令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，则5,1212
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ ∴函数f(x)的单调递增区间为5[,]().1212
k k k Z ππ
ππ-+∈...............6分 （II
）由已知()sin()3C f C π+==２，………….7分
因为40,333
C C πππ
π<<∴<+<
所以233C ππ+=，3C π=，∴sin C
…………10分
在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB B C =
，得1
sin sin 9AB B AC C ⋅=== 北
2
1 A B •
•C
14．（丰台二模15）已知函数f(x)=sin()A x ωϕ+(其中A>0,0,02
π
ωϕ><<)的图象如图所示。

（Ⅰ）求A ，ω及ϕ的值； （Ⅱ）若tan α=2, ,求()8
f π
α+
的值。

解：（Ⅰ）由图知A=2, ……1分
T=2(
588
ππ
-)=π, ∴ω=2, ……3分
∴f(x)=2sin(2x+ϕ)[来源:Z|xx|] 又∵()8
f π
=2sin(
4
π
+ϕ)=2, ∴sin(
4π
+ϕ)=1, ∴4π+ϕ=22k ππ+,ϕ=4π
+2k π,(k ∈Z)
∵02πϕ<<,∴ϕ=4
π
……6分
由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+4
π
)，
∴()8f πα+=2sin(2α+2
π)=2cos2α=4cos 2
α-2……9分
∵tan α=2, ∴sin α=2cos α, 又∵sin 2
α+cos 2
α=1, ∴cos 2
α=1
5
, ∴()8
f π
α+
=6
5
-
…………12分 六、数列（必修五）
1.（西城二模5）数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-（1,2,n = ），则3a 等于（ A ） A ．15 B ．10 C ．9 D ．5
2.（宣武二模3）若a a 3,4,为等差数列的连续三项，9
210a a a a +⋅⋅⋅+++ 的值为（ A ）
A ．1023
B ．1025
C ．1062
D ．2047 3．（海淀二模12）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 48 4.（东城二模14）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若11a =，22a =，
1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，且121n n a a ++≠，则123a a a ++=____，2010S =__ _．6，4020
5．（东城二模19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-． （Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）数列{}n c 满足21
log 3
n n c b =
+*()n ∈N ，
设1223341n n n T c c c c c c c c +=++++ ， 若对一切*
n ∈N 不等式4(2)n n mT n c >+恒成立，求实数m 的取值范围． 证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②
①-②得 1144n n n a a a +-=-．
所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-．……2分 又12n n n b a a +=-， 所以12n n b b -=．
因为11a =，且12141a a a +=+， 所以21314a a =+=． 所以12122b a a =-=．
故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n n b =，则211
log 33
n n c b n =
=
++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++
1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++ 11
44n =-+
4(4)
n
n =+．………………9分
由4(2)n n mT n c >+，得2
43
mn n n n +>++． 即(4)(2)(3)
n n m n n ++>+．
所以2268
3n n m n n ++>+．
所以223838
11333n m n n n n n +>+=+++++．………11分
设238()133f x x x x
=++++，1x ≥． 可知()f x 在[1,)+∞为减函数，又15
(1)4
f =，
则当n ∈*
N 时，有()(1)f n f ≤．
所以15
4m >．
故当15
4
m >时，4(2)n n mT n c >+恒成立．………13分
6．（海淀二模15）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*
(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2446,10a a S +==，
可得11246
43
4102
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩ ， ……………2分
即11
23
235a d a d +=⎧⎨
+=⎩，
解得11
1
a d =⎧⎨
=⎩，…………4分
∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=，
故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =.……5分 （Ⅱ）依题意，22n n n n b a n =⋅=⋅， ∴12n n T b b b =+++
231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，……7分 又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯+
+-⋅+⋅ ， …9分
两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅ ……11分 ()
1212212
n n n +-=
-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，…12分
∴1(1)22n
T n +=-⋅+.……13分
解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或12
a =．
由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，5
2
为公差的等差数列. 所以51
2(1)(51)22
n a n n =+
-=-. ……5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：
假设存在*
, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则1
5151(51)2
m n k -+-=
-．
整理，得3
225
m n k +-=
， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数, , m n k 不存在．…………9分 （Ⅲ）313
(51)21222
n n n n b a n n --=-
=--=+， 2(3)2(3)51351512
n n n a n n c n n n ++-==⋅=+--．
12031(1)(1)(1)n
b b b +++ 可转化为
111(1)(1)(1)
31m
+++
3121231111n n b b b b b b b b ++++=
⋅⋅
46822357
21n n +=⋅⋅⋅⋅+ ．
设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅+ ， 则
(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+
2423n n +=
=
+
24124n n +=>===+.
所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，f 也增大． 要使不等
式
12031(1)(1)(1)n
b b b +++ 对于任意的*
n ∈N 恒成立，只
需
min ()f n 即可．
因为min 4()(1)3f n f ===
， 即4311244
8151515
m ⨯==≤
. 所以，正整数m 的最大值为8． ……14分 8.（宣武二模18）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．
(I) 求1a ，2a 的值；
(II) 求数列{}n a 的通项公式；
（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，k k k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项
和12+n T ．
解：(I) 当1=n 时，1211+=a a ，∴
(
)
012
1=-a ，11=a
当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ； 3分 (II) ∵12+=n n a S ，∴()2
14+=n n a S
()2
1114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a
∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ；…8分
（Ⅲ）()[](
)()[](
)2
42
31
21
11123
131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()n n
a
32+
=1+(
)()()()[
]
n
n
n S 1113332
1
2
2-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++
=1+()(
)
()()()
()
111113131322
-----+--+n
n n =()2
182321n
n n -++-+. …13分 9.（昌平二模20）设函数()()23
03x f x x x
+=>，数列{}n a 满足
()
*
1111,,2n n a a f n N n a -⎛⎫==∈≥ ⎪⎝⎭
且．
(I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)设()1
1223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，求实数t 的取值
范围；
(III)在数列{}n a 中是否存在这样一些项：123*
123,,,...,,...(1=......)k n n n n k a a a a n n n n k N <<<<<∈，，
这些项能够构成以1a 为首项，()*05,q q q N <<∈为公比的等比数列{}
k n a ，*
k N ∈.若存在，写出
k n k 关于的表达式；若不存在，说明理由．
解：（I ）因为()*11
11
123
12
,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----⨯+⎛⎫===+∈≥ ⎪⎝⎭⨯且， 所以12
3
n n a a --=．……………2分
因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为2
3
的等差数列．
所以21
3
n n a +=．……………4分
(II)①当2,*n m m N =∈时，
()
21
2122334452211m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+⋅⋅⋅+-
()()()21343522121m m m a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-
()24243m a a a =-+++ ()22241812329m a a m m m +=-⨯⨯=-+
()21
269
n n =-+．…………………………………6分
②当21,*n m m N =-∈时，
()
21
2122211m n m m m m T T T a a --+==--
()()2
2118121616399m m m m =-
++++ ()()2211
84326799
m m n n =++=++．……………8分 所以()()22126,9
12679
n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩为正偶数，，为正奇数
要使2n T tn ≥对*
n N ∈恒成立，
只要使()22
126,(9n n tn n -+≥为正偶数)恒成立．
只要使162,9t n n ⎛⎫
-+≥ ⎪⎝⎭
对为正偶数恒成立，
故实数t 的取值范围为59⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦，．………10分
(III)由21
3
n n a +=，知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数．
①如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{}
k n a ，*
k N ∈， 此时{}
k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}
k n a ．………12分
②当1q =时，显然不存在这样的数列{}
k n a ．
当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{}
k n a ，*
k N ∈．
则11n a =，11n =，1
2133k k k n n a -+==，31
2
k k n -=．
所以存在满足条件的数列{}
k n a ，且*31
()2
k k n k N -=∈．………14分 10．（丰台二模19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121()n n a S n N *+=+∈,等差数列{}n b 中，
0n b >(*)n N ∈，且12315b b b ++=，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .
解：（Ⅰ）∵11a =，121()n n a S n N *+=+∈，
∴121(,1)n n a S n N n *-=+∈>，
∴112()n n n n a a S S +--=-，
∴12n n n a a a +-=，
∴13(,1)n n a a n N n *
+=∈> ……2分 而2112133a a a =+==，∴13()n n a a n N *
+=∈
∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴13()n n a n N -*=∈ ……4分
∴1231,3,9a a a ===，
在等差数列{}n b 中，∵12315b b b ++=，∴25b =。

又因11a b +、22a b +、33a b +成等比数列，设等差数列{}n b 的公差为d ， ∴（15d +-）(95)64d ++= ……6分
解得d=-10,或d=2, ∵0n b >(*)n N ∈，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b 1=3, ∴b n =2n+1()n N *∈， …8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
221315373(21)3(21)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-++ ①
2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-++ ②…10分
① -②得
23123123232323(21)3n n n T n --=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-+ ……12分
2
3
1
32(3333
)(21)3n n n -=+++++-+
3332(21)33(21)32313
n
n n n n n n n -=+⨯-+=-+=-⋅-，
∴3n n T n =⋅ …………14分
七、不等式（必修五）
1.（崇文二模1）“关于x 的不等式2
20x ax a -+>的解集为R ”是 “01a ≤<”( A )
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2.（西城二模3）若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ C ） A ．
11a b
>B ．a b > C ．2b a
a b +> D ．a b ab +>
八、极坐标、参数方程（选修4-4）
第一部分 极坐标 1．（丰台二模3）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（-1，1），若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ D ）
A ．
34π） B ．
54π-） C ．
114π） D ．
4
π-） 2.（崇文二模12）若直线l 的参数方程为31,5
45x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），则直线l 的斜率为 ； 在极坐标
系中，直线m
的方程为sin()4
π
ρθ+
=
，则点7(2,)4A π到直线m 的距离为____．43-
3．（海淀二模9）在极坐标系中，若点0(,)3
A π
ρ(00ρ≠)是曲线2cos ρθ=上的一点，则0ρ= . 1
4.（宣武二模14）以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+2
2
无公共点； ②极坐标为 (23，
π4
3
)的点P 所对应的复数是-3+3i ； ③圆θ=ρsin 2的圆心到直线01sin cos 2=+θρ-θρ
④()04>ρπ
=θ与曲线{
()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P ,则点P 坐标是1212(,)55
.
其中假命题的序号是 . ③
5.（昌平二模9）圆4sin ρθ=-的圆心的直角坐标是______;若此圆与 直线cos 1ρθ=相交于点,M N 、则||MN ＝ . （0，-2）
；
第二部分 参数方程
1.（东城二模12）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1,:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩
（θ为参数）和直线46,
:32
x t l y t =+⎧⎨
=--⎩ （t 为参数），则直线l 与圆C 相交所
得的弦长等于
．2.（崇文二模12）若直线l 的参数方程为31,5
45x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），则直
线l 的斜率为 ； 在极坐标系中，直线m
的方程为sin()4
2
π
ρθ+=
， 则点7(2,
)4A π到直线m 的距离为____．43-
，2
3.（西城二模12
）圆1,:2x C y θ
θ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的半径为______, 若圆C 与直线0x y m -+=相
九、常用逻辑用语（选修2-1）
1.（东城二模9）命题“000,x
x e x ∃∈>R ”的否定是 ．
x ∀∈R ，x
e x ≤ 2.（西城二模2）“ln 1x >”是“1x >”的（ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.（宣武二模5）已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；
(2)∃ α∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；(3) ∀α，β∈R ，有
()β
α-β
+α=
β+αtan tan 1tan tan tan 成立； (4)若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >”
的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.（昌平二模3）已知命:R,2p x x x
∃∈<1
使得+
,2:R,10q x x x ∀∈++>命题，
下列结论正确的是( A )
A ．命题“q p ∧”是真命题 B.命题“（)P q ⌝∧”是真命题 C.命题“()p q ∧⌝”是真命题 D.命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题
4．（丰台二模4）设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为假是""p q ∨为假的（ B ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
十、平面向量（必修四）
1.（东城二模2）对于非零向量a ，b ，“2
+0a b =”是“a//b ”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2.（崇文二模6）若非零向量,a b 满足||||+=a b b ，则( C )
(A)|2||2|>+a a b (B)|2||2|<+a a b
|2||2|>+b a b |2||2|<+b a b 4．（丰台二模
2）已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为90，则实数k 的值为( C )A ．12- B ．1
2
C ．2-
D ．2
5.（西城二模
13）设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60 ，
则()++⋅a b c c 的最大值为1 6．（海淀二模11）已知向量a =)0,1(，b =)1,(x ，若a b 2= ，则x = ；a b += . 2 7.（昌平二模10）已知平面向量(1,cos )a θ= ，(sin ,2)b θ=-
，且 ,tan()a b πθ⊥+=
则 . 2
十一、线性规划、直线与圆的方程（必修二）
第一部分 线性规划
1．（东城二模5）已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
表示的平面区域为M ，若
直线3y kx k =-与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ A ） A.1[,0]3- B. 1(,]3-∞ C. 1(0,]3 D. 1(,]3
-∞-
2．（海淀二模5
）已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( A )
第二部分 直线与圆的方程
1.（崇文二模8）已知圆的方程2
2
25x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与 圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于
( A )
（A ）43-
（B ）34- （C ）54- （D ）45
- 2．（海淀二模8）已知动圆C 经过点F (0，1),并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公
共点，则圆C 的面积( A )
A ．有最大值为π
B ．有最小值为π
C ．有最大值为4π
D ．有最小值为4π
3．（丰台二模2）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2
=1的位置关系是（ B ） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离
十二、圆锥曲线（选修2-1）
1．（东城二模7）已知抛物线2
2y px =(0)p >与双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A
是两曲线的一个交点，
且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可 能是（ D ） A.(0,
)6
π
B.(,)64ππ
C. (,)43ππ
D. (,)32ππ
2.（西城二模8）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB AD =. 设DAB θ∠=，
(0,)2
π
θ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A
的椭圆的离心率为2e ，则（ B ）
A ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值
B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值
C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大
D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小
4.（宣武二模8）如图抛物线1C ： px y 22
=和圆2C : 4222
p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-，
其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，
则CD AB ⋅的值为（ A ）
A ．4
2p
B ．32p
C ．2
2p
D ．2
p
点P 是抛物线2
2y x
=5.（崇文二模5）已知
上的一个动点，则点P 到
点(0,2)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最
小值为( B )
B
（A ）3 （B （C （D ）92
6.（昌平二模11）若抛物线 上一点M 到该抛物线的焦点F 的距离||5MF =，则点M 到x 轴的距
离为 。

4
7．（丰台二模11）椭圆
22
12516x y +=的焦点为12,F F ,过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么|PF 1|的值是 。

34
5
8．（东城二模18）已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求FT MN ⋅
的值；
（Ⅲ）求证：FT 是MF 和NF
的等比中项．
（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠． 因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >． 又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以
452
p
+=，可得2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =．……………3分 （Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．
依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+． 由2
1,
4.
y kx x y =+⎧⎨
=⎩ 得2440x kx --=．
因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．
则124x x k +=，124x x =-．…………6分
2121(,)MN x x y y =--
2121(,())x x k x x =--．
由于24x y =，所以'
1
2y x =
． 切线MT 的方程为1111
()2y y x x x -=-， ①
切线NT 的方程为2221
()2
y y x x x -=-． ②
由①，②，得1
212
(,)24
x x x x T +．……………8分 则1212
(,1)(2,2)24
x x x x FT k +=-=- ． 所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=
．………10分
（Ⅲ）证明：2
222
(2)(2)44FT k k =+-=+ ．
由抛物线的定义知 11MF y =+ ，21NF y =+
． 则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++
2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++
244k =+．
所以2FT MF NF =⋅ ． 即FT 是MF 和NF
的等比中项．……………13分
9.（西城二模19）如图，椭圆2
2
:14
y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.
（Ⅰ）若CE FD =
，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 的值.
1122(,),(,)C x y D x y ，
解：（Ⅰ）设
2244,1
x y y kx ⎧+=⎨
=+⎩得22
(4)230k x kx ++-=， 由
222412(4)1648k k k ∆=++=+，
12224k x x k -+=+，12
2
3
4x x k -=+， …2分
由已知1
(,0),(0,1)E F k
-
， 又CE FD = ，所以11221
(,)(,1)x y x y k
---=- …4分
所以121x x k --=，即211
x x k +=-， ……5分
所以2
21
4k k k
-=-+，解得2k =±， …6分 符合题意，
所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=.…7分 （Ⅱ）2121y k x =
+，1
211y k x =-，12:2:1k k =， 所以2112(1)2(1)1
y x y x -=+， 8分
平方得22
2122
12(1)4(1)
y x y x -=+， …9分 又2211
14
y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22
224(1)y x =-，代入上式， 计算得
2112(1)(1)
4(1)(1)
x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=，…12分
所以2
31030k k -+=，解得3k =或1
3
k =
， …13分 因为
2112(1)2
(1)1
y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，
所以3k =. …14分
10．（海淀二模19）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1,0), 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ,B 两点.
（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；
（Ⅱ）若12
AM MB =
，求直线l 的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长
轴长的最小值.
解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，…………2分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且. 联立2(4)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 24160ky y k --=，3分
显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，
则 124
y y k
+= ①
1216y y ⋅=- ② 4分
又12AM MB = ，所以 121
2
y y =- ③ 5分
由①② ③消去12,y y ，得22k =，
故直线l
的方程为y -
或y =+ .………6分
（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22
m n
， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，
所以(4)221n
m k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，……8分 将其代入抛物线方程，得：
2
222
88()411k k k k -=⋅++，所以，21k =. ……………9分 联立 222
2(4)1y k x x y a b =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y ，得：
2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=. ………………10分
由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得
242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，……………12分
将21k =，221b a =-代入上式并化简，得
2217a ≥
，所以a ≥
，即2a ≥
因此，椭圆1C
. ……13分
11.（朝阳二模19）已知动点M 到点(1, 0)F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．。