湖北省襄阳市2015届高三数学1月第一次调研考试试题 文(含解析)新人教A版

2015年高考襄阳市普通高中第一次调研统一测试
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 【题文】1集合 A = {x
x2－2x ≤0}， B = {x
lg(1)y x =-}，则A ∩B 等于
A ．{x 0 < x ≤1}
B ．{x 1≤x < 2}
C ．{x 1 < x ≤2}
D ．{x 0≤x < 1}
【知识点】集合及其运算A1 【答案】D
【解析】集合B={x|y=lg(1-x)}是函数的定义域,∴1-x>0 则B={x|x<0}, A={x| 0≤x 2≤}, 所以A ∩B={x 0≤x < 1}。

【思路点拨】先求出集合A,B 在求交集。

【题文】2直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则m = A ．－2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3 【知识点】两直线的位置关系H2 【答案】B
【解析】∵直直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，∴21
3m
m --=
+， 解得m=2或-3，
【思路点拨】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m 的值．
【题文】3已知x 、y 满足不等式组2303201
x y x y y +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩≤≥≤，则z = x －y 的最大值是
A ．6
B ．4
C ．0
D ．－2 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案】A
【解析】由约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥-+≤-+1
023032y y x y x ,作出可行域如图，
联立230320x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩，解得5
1x y =⎧⎨=-⎩，∴A （5，-1）．由z=x-y ，得y=x-z ，
由图可知，当直线y=x-z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为5-（-1）=6．
【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得z=x-y 的最大值．
【题文】4等差数列{an}中，a5 + a6 = 4，则3
10122log (222
2)a a a a =
A ．10
B ．20
C ．40
D ．22log 5+
【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2 【答案】B
【解析】∵等差数列{an}中，a5+a6=4， ∴a1+a11=a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a6=20，
∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（2a1•2a2…2a10）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20． 【思路点拨】根据等差数列的性质及对数性质求解。

【题文】5已知圆M 的方程为
22860x y x y +-+=，则下列说法中不正确的是 A ．圆M 的圆心为(4，－3) B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8
C ．圆M 的半径为25
D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6 【知识点】圆的方程H3 【答案】C
【解析】圆M 的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则（x-4）2+（y+3）2=25． 圆的圆心坐标（4，-3），半径为5．显然选项C 不正确．
【思路点拨】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可．
【题文】6已知双曲线22
2
21(00)x y a b a b -=>>，的离心率为6，则此双曲线的渐近线方程为
A ．2y x =±
B ．2y x =
C ．
2y = D ．1
2y x =±
【知识点】双曲线及其几何性质H6 【答案】C
【解析】由
22
22
1
b c
a a
=-
=
1
2，得双曲线的渐近线方程
2
2
y x
=±
【思路点拨】由双曲线中离心率a,b,c的关系，求出渐近线方程。

【题文】7若某多面体的三视图如右图所示，则此外接球的表面积是
A．6 B．1814
4
+
C．2πD．3π
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案】D
【解析】三视图复原几何体如图：
是正方体去掉一个角后的几何体，
它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，
体对角线的长度为：，
所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3π．
【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积．
【题文】8某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1 = 5.06x－0.15x2和L2 = 2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元
【知识点】函数模型及其应用B10
【答案】B
【解析】依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，
∴总利润S=5.06x-0.15x2+2（15-x）=-0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大
值,又x 必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．
【思路点拨】先根据题意，设甲销售x 辆，则乙销售（15-x ）辆，再列出总利润S 的表达式，是一个关于x 的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．
【题文】9设f (x)为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f (－2) = 0，则xf (x) > 0的解集为
A ．(－∞，－2)∪(2，+∞)
B ．(－∞，－2)∪(0，2)
C ．(－2，0)∪(2，+∞)
D ．(－2，0)∪(0，2) 【知识点】函数的单调性奇偶性B3 B4 【答案】A
【解析】由已知得x ＜-2时，f(x)<0，故xf(x)>0，当-2≤x ＜0时，f(x)>0，x ·f(x)≤0，又f(x)奇函数，则f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(2)＝0，故0＜x ≤2时，x ·f(x)<0；当x ＞2时，x ·f(x)>0，因此，解集为(-∞，-2)∪(2，+∞)．
【思路点拨】根据函数的奇偶性求出单调性求出不等式的解集。

【题文】10若a 、b 是方程lg 4x x +=、104x x +=的解，函数2()20()20x a b x x f x x ⎧+++=⎨
>⎩≤，
则关于x 的方程f (x) = x 的解的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【知识点】函数与方程B9 【答案】C
【解析】∵a 满足x+lgx=4，b 满足x+10x=4，
∴a ，b 分别为函数y=4-x 与函数y=lgx ，y=10x 图象交点的横坐标
由于y=x 与y=4-x 图象交点的横坐标为2，函数y=lgx ，y=10x 的图象关于y=x 对称
∴a+b=4∴函数f （x ）=⎩⎨⎧+++22)(2x b a x
当x≤0时，关于x 的方程f （x ）=x ，即x2+4x+2=x ，即x2+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，满足题意
当x ＞0时，关于x 的方程f （x ）=x ，即x=2，满足题意 ∴关于x 的方程f （x ）=x 的解的个数是3
【思路点拨】先根据a 满足x+lgx=4，b 满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x 的方程f （x ）=x 的解，从而确定关于x 的方程f （x ）=x 的解的个数．
二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分。

将答案填在答题卡相应位置上。

) 【题文】11已知幂函数y = f (x)图象过点(2
)，则f (9) = ▲ ． 【知识点】幂函数与函数的图像B8 【答案】3
【解析】由题意令y=f （x ）=xa ，由于图象过点（2，2），得 2=2a ，a=1
2
∴y=f （x ）=12
x ∴f （9）=3．
【思路点拨】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f （9）的值
【题文】12
已知sin cos 1sin cos αα
αα-=+tan 2α= ▲ ．
【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案】1
【解析】ααα
αcos sin cos sin +-=1+2，即有sin cos ∂∂
-1，即为tanα=
-1．
则tan2α=2
2tan 1tan ∂
-∂
．
【思路点拨】运用同角的商数关系以及二倍角的正切公式，计算即可得到所求值．
【题文】13已知定义在R 上的可导函数y = f (x)的图象在点M(1，f (1))处的切线方程为y =－x + 2，则(1)(1)f f '
+= ▲ ．
【知识点】导数的应用B12 【答案】0
【解析】由于函数y=f （x ）在x=1处的切线方程是y=-x+2，故f （1）=（-1）×1+2=1，f′（1）=-1，
故f （1）+f′（1）=0．
【思路点拨】利用函数的切线方程与函数之间的关系是解决本题的关键，把握好函数在该点处的导数值就是在该点处切线的斜率，该点处的函数值就是切点的纵坐标． 【题文】14已知两个单位向量a 、b 的夹角为60°，且满足a ⊥(tb －a)，则实数t 的值是 ▲ ． 【知识点】平面向量的数量积及应用F3 【答案】2
【解析】∵单位向量a ，b 的夹角为60°，且a ⊥（t b -a ），∴a •（t b -a ）=0， 即t a •b -a 2=0，∴t×1×1cos60°-12=0；解得t=2，∴实数t 的值是2． 【思路点拨】根据两向量垂直时它们的数量积为0，进行计算即可．
【题文】15已知x >－1，y > 0且满足x + 2y = 1，则12
1x y +
+的最小值为 ▲ ．
2a b +≤
E6
【答案】9
2
【解析】∵x ＞-1，y ＞0且满足x+2y=1，∴x+1＞0，且（x+1）+2y=2，
∴12112()[(1)2]121x y x y x y +=+++++=52+12[21y
x ++2(1)x y +]
=5122(1)221y x x y +≥
+⋅+=92当且仅当22(1)1y x x y +=+时取等号， 故121x y +
+的最小值为92
【思路点拨】由题意可得x+1＞0，且（x+1）+2y=2，
可得12112()[(1)2]121x y x y x y +=+++++=52+12[21y
x ++2(1)x y +]，由基本不等式可得．
【题文】16已知数列
1
316n n a n +=
-，则数列{an}最小项是第 ▲ 项． 【题文】17若函数y = f (x)在定义域内给定区间[a ，b]上存在x0 (a < x0 < b)，满足
0()()
()f b f a f x b a -=
-，则称函数y = f (x)是[a ，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值
点．例如y = | x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．
(1)若函数2()1f x x mx =--是[－1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
(2)若()ln f x x =是区间[a ，b] (b > a ≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则
01
ln x ab 与
的大小关系是 ▲ ．
【知识点】单元综合B14
【答案】(1) (0，2) (2)
01ln x ab <
【解析】(1)∵函数f （x ）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数， ∴关于x 的方程-x2+mx+1=
在（-1，1）内有实数根．
由-x2+mx+1=⇒x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1． 又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m ＜2． ∴所求实数m 的取值范围是0＜m ＜2．
（2）解：由题知lnx0=ln ln b a
b a --．猜想：lnx0ab ，
证明如下：ln ln b a b a --ab ，令b a 1，原式等价于t+lnt2＜t-1t ．2lnt-1
t
令h （t ）=2lnt-t++1t ，则h′（t ）=2
21t t -，∴h （t ）=2lnt-t+1
t ＜h （1）=0，
得证lnx0＜1
ab
【思路点拨】（1）函数f （x ）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有
x2-mx-1=(1)(1)1(1)f f ----
在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m 的取值范围．
（2）（2）猜想判断，换元转化为h （t ）=2lnt-t+1t ，利用导数证明， 求解出最值得出）=2lnt-t+1
t ＜h （1）=0，
三．解答题(本大题共5小题，满分65分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

) 【题文】18 (本大题满分12分)
定义在区间2[]3ππ-，上的函数y = f (x)的图象关于直线
6x π=对称，当2[]
36x ππ∈-，时函数()sin()(000)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，
，图象如图所示． (1)求函数y = f (x)在2
[]3ππ-，的表达式；
(2)设
[]62ππθ∈，，若6()5f θ=
，求sin(2)3πθ+的值．
【知识点】三角函数的图象与性质C3
【答案】(1) 2()2sin()
3f x x π
=+（2）2473+
【解析】(1)解：当2[]36x ππ∈-，时，由图象知：A = 2，2()4632T πππ
=---=
∴2T π=，故1ω= 又()sin()f x A x ωϕ=+过
(2)(0)
6
π
ϕπ-
<<，，∴
26
2
3π
π
π
ϕϕ-
+=
⇒=
∴2()2sin()
3f x x π
=+
∵函数y = f (x)的图象关于直线
6x π
=
对称，∴
()(
)
3
f x f x π
=-
当6
x π
π
≤≤时，2336x πππ-
-≤≤，∴2()()2sin()2sin 333f x f x x x πππ=-=-+=
∴222sin()336()2sin 6x x f x x x πππππ
⎧
+-<⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩≤≤≤
(2)解：∵[]
6
2ππ
θ∈，，∴由
6()5f θ=
得：632sin sin 55θθ=⇒=因此，4
cos 5θ=
22sin(2)sin 2cos
cos 2sin
sin cos sin )3
3
3
π
π
π
θθθθθθθ+
=+=
-34169()552525=
⨯+-=
【思路点拨】根据三角函数性质求出函数解析式，利用两角和的关系求出结果。

【题文】19(本大题满分12分)
数列{an}中，已知a1 = 1，n ≥2时，11122333n n n a a --=+-．数列{bn}满足：1
3(1)n n n b a -=+．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n 项和Sn ．
【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2
【答案】(1)略（2）1
923
223n n n n S T n n -+=-=--⨯ 【解析】(1)证：由
11122
333n n n a a --=
+-得：122133223n n n n n a a ----=+-⨯
∴
111222
113(1)333233(1)2n n n n n n n n n n a a a a --------+=+=++=++ 即1122(2)n n n n b b b b n --=+⇒-=≥
又
11113(1)2b a -=+= ∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)知，2(1)22n b n n =+-⨯=，∴
1123(1)213n n n n n
a n a --+=⇒=
-
记
2124621333n n n T -=++++，则211242(1)233333n n n
n n
T --=++
+
+
两式相减得：21211
122(1)33333n n n n T -=+++
+-
12[1()]
2233313313n n n
n n -+=-=--
∴
1923
223n n n T -+=
-
⨯
因此，1923
223n n n n S T n n -+=-=
--⨯
【思路点拨】根据等差数列的定义证明等差数列，利用错位相减求出前n 项和。

【题文】20(本大题满分13分)．
如图，四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD
，
AB =AA1 = 2．
(1)证明：AA1⊥BD ；
(2)证明: 平面A1BD ∥平面CD1B1 ； (3)求三棱柱ABD －A1B1D1的体积．
【知识点】单元综合G12 【答案】(1)略(2)略
(3)【解析】(1)证：∵A1O ⊥平面ABCD ，BD 在平面ABCD 内，∴A1O ⊥BD 又ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC
∵A1O 、AC 在平面A1AC 内，∴BD ⊥平面A1AC 而AA1在平面A1AC 内，∴AA1⊥BD ．
(2)证：∵在四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，DD1∥BB1且DD1 = BB1 ∴四边形BB1D1D 是平行四边形，故BD ∥B1D1
又在四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，A1D1∥BC 且A1D1 = BC ∴四边形A1BCD1是平行四边形，故A1B ∥D1C
而A1B 、BD 是平面A1BD 内的相交直线，D1C 、B1D1是平面CD1B1内的相交直线 ∴平面A1BD ∥平面CD1B1
(3)解：在正方形ABCD
中，AB =1
1
2AO AC == 又A1O ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，∴A1O ⊥AC ， BD ∥B1D1
故
1
AO =
∴111
11
2ABD A B D V AB BC AO -=
⨯⨯⨯=
【思路点拨】根据BD ⊥平面A1AC 证明AA1⊥BD ， A1B ∥D1C ，BD ∥B1D1∴平面A1BD ∥平面CD1B1
，
111
1
1
2ABD A B D V AB BC AO -=⨯⨯⨯=
【题文】21(本大题满分14分)
已知函数2
()f x ax bx =+，()ln g x x =．
(1)当a = 1，b = 2时，求函数y = f (x)－g (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若2a = 1－b(b > 1)，讨论函数y = f (x)－g (x)的单调性；
(3)若对任意的b ∈[－2，－1]，均存在x ∈(1，e)使得f (x) < g (x)，求实数a 的取值范围． 【知识点】导数的应用B12
A
B
C
D
A 1
B 1
D 1
C 1
O
【答案】(1) 3x －y = 0(2) 当111b <-，即b > 2时，F(x)的增区间为1(1)1b -，，减区间为
1(0)(1)1b +∞-，，，，当11
1b =-，即b = 2时，F(x)在(0，+∞)单调递减 当111b >-，即b < 2时，F(x)的增区间为1
(1)
1b -，，减区间为(0，1)，1()1b +∞-，
(3) (－∞，1]
【解析】(1)解：令2
()()()ln F x f x g x ax bx x =-=+-，则1
()2F x ax b x '=+- 当a = 1，b = 2时，(1)213F a b '
=+-=，(1)3F a b =+=
∴函数y = f (x)－g (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －3 = 3(x －1) 即3x －y = 0
(2)解：21(1)1[(1)1](1)
()(1)(0)
b x bx b x x F x b x b x x x x -+----'=-+-==->
当111b <-，即b > 2时，F(x)的增区间为1(1)1b -，，减区间为1
(0)(1)1b +∞-，，， 当1
11b =-，即b = 2时，F(x)在(0，+∞)单调递减 当111b >-，即b < 2时，F(x)的增区间为1
(1)
1b -，，减区间为(0，1)，1()1b +∞-，
(3)解：依题意， b ∈[－2，－1]，x ∈(1，e)使得f (x) < g (x)成立 即 b ∈[－2，－1]，x ∈(1，e)，F(x) < 0成立
即 b ∈[－2，－1]，2ln x bx a x -<在(1，e)内有解，max
2ln ()x bx a x -<
令2
ln ()x bx G x x -=
，则312ln ()bx x G x x +-'=
∵b ∈[－2，－1]，x ∈(1，e)，∴-2x + 1≤bx + 1≤－x + 1 < 0，－2ln x < 0 因此()0G x '
<，∴G(x)在(1，e)内单调递减
又G(1) =－b ，∴G(x)max =－b ∈[1，2] ∴a ≤1，即实数a 的取值范围是(－∞，1]．
【思路点拨】根据导数的几何意义求出切线方程，再根据单调性求出但单调区间求出a 的取值范围。

【题文】22(本大题满分14分)
己知曲线2
8x y =-+与x 轴交于A 、B 两点，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为12-． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2) MN 是动点P 的轨迹C 的一条弦，且直线OM 、ON 的斜率之积为1
2-
．
①求OM ON ⋅的最大值； ②求△OMN 的面积．
【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案】(1) 22
184x y +=（2
）【解析】(1)解：在方程28x y =-+中令y = 0
得：x =±∴
A(-0)，
B(0)
设P(x ，y)
，则1
2AP BP k k =- 整理得：2
2
184x y +=
∴动点P 的轨迹C 的方程为22
184x y +=
(2)解：设直线MN 的方程为：y = kx + m ，M(x1，y1)，N(x2，y2) 由22
1
84y kx m
x y
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：222(12)4280k x kmx m +++-= ∴21212224281212km m x x x x k k -+=-=++，
2222212122222848()()121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---=++=⋅+⋅+=+++ ∵12OM ON k k =- ，∴1
2121
2y y x x ⋅=- 即22
222
228128
4212212m k m m k k k --=-⋅⇒=+++
222
12122222984
2121212m m k OA OB x x y y k k k --⋅=+=+=-+++
∴22OM ON -⋅<≤
当直线MN 的斜率不存在时，设M(x1，y1)，则N(x1，－y1) 则22211121122OM ON y k k x y x =-=-⇒= 又22
111
84x y +=，∴2
12y =
2
221112OM ON x y y ⋅=-==OM ON ⋅的最大值为2
OMN
S==
当直线MN
的斜率不存在时，11
1
|||2|
2
OMN
S x y
==
∴△OMN
的面积为
【思路点拨】利用动点P与A、B连线的斜率之积为-2
1
求出方程，由
22
1
84
y kx m
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得：222
(12)4280
k x kmx m
+++-=根据根与系数的关系求出面积。