mxt-高三数学复习：函数

高三数学复习：函数
第一节 函数的概念
一、选择题
1．下列对应中是映射的是 (
)
A ．(1)、(2)、(3)
B ．(1)、(2)、(5)
C ．(1)、(3)、(5)
D ．(1)、(2)、(3)、(5) 2．下面哪一个图形可以作为函数的图象 (
)
3．已知f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，∅是空集，那么下列
结论可以成立的是 ( ) A ．A ＝B ＝∅ B ．A ＝B ≠∅
C ．A 、B 之一为∅
D ．A ≠B 且B 的元素都有原象
4．已知集合M ＝{}x ，y |x ＋y ＝1，映射f ：M →N ，在f 作用下点(x ，y)的元素是(2x,2y )， 则集合N ＝ ( ) A.{}(x ，y )|x ＋y ＝2，x >0，y >0 B.{}(x ，y )|xy ＝1，x >0，y >0 C.{}(x ，y )|xy ＝2，x <0，y <0 D.{}(x ，y )|xy ＝2，x >0，y >0 5．现给出下列对应：
(1)A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝R －
，f ：x →y ＝ln x ； (2)A ＝{x|x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ；
(3)A ＝{平面α内的三角形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：三角形→该三角形的内切圆； (4)A ＝{0，π}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝sin x. 其中是从集A 到集B 的映射的个数( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题
6．已知函数f(x)＝1122+-x x ，则2
)1()
2(f f ＝________.
7．设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y ＋b)，若B中元素(6,2)在映射f下的元素是(3,1)，则k，b的值分别为________．8．集合A＝{a，b}，B＝{1，－1,0}，那么可建立从A到B的映射个数是
________．从B到A的映射个数是________．
三、解答题
9．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，求f(72)的值．
10.集合M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，映射f：M→N满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，那么映
射f：M→N的个数是多少？
参考答案
1．解析：(4)中元素c 没有象，不符合映射定义中的“集A 中的任意一个元素在集B 中都有 元素与之对应”；(5)中，与元素a 对应的元素有两个，不符合映射定义中的“对于集A 中的任意一个元素，在集B 中都有唯一确定的元素与之对应”；而(1)(2)(3)中的对应都 符合映射定义．故本题正确答案为A.答案：A 2．解析：A 、C 、D 中的对应法则都是“一对多”，故它们不是函数的图象，正确答案为B. 答案：B 3．B
4．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ·2y ＝2x ＋
y ＝2.这就是说，集合N 中的元素，其横坐标与 其纵坐标之积为常数2，又显然集合N 中横、纵坐标都是正数，故本题正确答案为D. 答案：D
5．解析：(1)的对应中，对于集A 中值0，在集合B 中，没有元素与之对应，故(1)的对应 不是从A 到B 的映射；(2)的对应中，对于集A 中的任意一个非零x 的值，在集合B 中， 都有两个元素与之对应(不满足唯一性)，故(2)的对应不是从A 到B 的映射；(3)、(4) 的对应都满足映射的定义，故(3)、(4)的对应都是从A 到B 的映射．故选B. 答案：B 6．－1
7．解析：依题意，(3,1)→(6,2)，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
3k ＝61＋b ＝2
，∴k ＝2，b ＝1. 答案：k ＝2，b ＝1
8．9 8
9．解析：∵f(ab)＝f(a)＋f(b)， ∴f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9) ＝f(4×2)＋f(3×3)
＝f(4)＋f(2)＋2f(3)＝f(2×2)＋ f(2)＋2f(3)＝3f(2)＋2f(3)＝3p ＋2q.
10．解析：∵f(a)∈N ，f(b)∈N ，f(c)∈N ，且f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，
∴有0＋0＋0＝0＋1＋(－1)＝0.当f(a)＝f(b)＝f(c)＝0时，只有一个映射；当f(a)、 f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有2
21
3A C ⋅＝6个映射．因此所 求的映射的个数为1＋6＝7.
第二节 函数的解析式与定义域
一、选择题
1．函数f(x)＝x
x -132
＋lg(3x ＋1)
的定义域是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13 2．已知2
2
111)1(x x x x f +-=+-，则f(x)的解析式可取为 ( ) A.
21x x + B. 212x x +- C.212x x + D ．2
1x
x
+- 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 ( )
4．设函数f(x)＝
,
1,2),1,1(22>-+≤-x x x x x 则)
2()
1(f f
的值为 ( ) A.1516 B ．－2716 C.8
9
D ．18
5．(2009年北京卷)若函数f(x)＝1
,(0)
1
,(0)3x
x x
x <≥则不等式|f(x)|≥13的解集为
( )
A ．(－3,1)
B ．[－1,3]
C ．(－1,3]
D ．[－3,1]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝1222-+-a ax x 的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是____________． 7．如果f[f(x)]＝2x －1，则一次函数f(x)＝_____________.
8．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密
原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x
－2(x 为明文、y 为 密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文 “3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_______．
三、解答题
9．如右图所示，
在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．
10.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．
参考答案
1．解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x>0
3x ＋1>0⇒－1
3
<x<1，故选B. 答案：B
2．解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，∴f(t)＝122+t t ，∴f(x)＝1
22+x x
. 答案：C
3．A 4.A
5．解析：(1)由|f(x)|≥1
3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜0⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥1
3
⇒－3≤x ＜0.
(2)由|f (x )|≥13⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0
⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x ≥1
3
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0⎝⎛⎭⎫13x ≥13
⇒0≤x ≤1. ∴不等式|f(x)|≥1
3
的解集为{x|－3≤x ≤1}．答案：D
6．解析：∵2∉A ，∴4－4a ＋a 2
－1<0，即a 2
－4a ＋3<0，解得1<a<3. 答案：1<a<3
7．解析：设f(x)＝kx ＋b ，则f[f(x)]＝kf(x)＋b ＝k(kx ＋b)＋b ＝k 2
x ＋kb ＋b. 由于该函数与y ＝2x －1是同一个函数， ∴k 2
＝2且kb ＋b ＝－1，∴k ＝± 2. 当k ＝2时，b ＝1－2； 当k ＝－2时，b ＝1＋ 2.
答案：2x ＋1－2或－2x ＋1＋ 2 8．4
9．解析：(1)这个函数的定义域为(0,12)， 当0＜x ≤4时，S ＝f(x)＝1
2·4·x ＝2x ；
当4＜x ≤8时，S ＝f(x)＝8；
当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝1
2·4·(12－x)＝24－2x.
∴这个函数的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ， x ∈0，4]，8， x ∈4，8]，
24－2x ， x ∈8，12.
(2)其图形如右，由图知，[f(x)]max ＝8.
10．解析：(1)∵不等式f(x)>－2x 的解集为(1,3)，
∴x ＝1和x ＝3是方程ax 2
＋(b ＋2)x ＋c ＝0(a<0)的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋2a ＝－4c
a ＝3
，∴b ＝－4a －2，c ＝3a ，
又方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的实根．
∴ Δ＝b 2－4a(c ＋6a)＝0，∴4(2a ＋1)2
－4a ×9a ＝0. ∴(5a ＋1)(1－a)＝0，∴a ＝－1
5或a ＝1(舍)．
∴a ＝－15，b ＝－65，c ＝－3
5，
∴f(x)＝－15x 2－65x －3
5
.
(2)由(1)知f(x)＝ax 2
－2(2a ＋1)x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －2a ＋1a 2－(2a ＋1)2a ＋3a
＝a ⎝⎛⎭⎫x －2a ＋1a 2＋－a 2
－4a －1
a
∵a<0，
∴f(x)的最大值为－a 2－4a －1
a ，
∵f(x)的最大值为正数． ∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a <0－a 2－4a －1a >0
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0
a 2＋4a ＋1>0 解得a<－2－3或－2＋3<a<0.
∴所求实数a 的取值范围是()－∞，－2－3∪(－2＋3，0)．
第三节 函数的值域与最值
一、选择题
1．函数y ＝x 2
－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 ( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y|－1≤y ≤3} D ．{y|0≤y ≤3} 2．函数y ＝log 2x ＋log x (2x)的值域是 ( )
A ．(－∞，－1]
B ．[3，＋∞)
C ．[－1,3]
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
3．设f(x)＝⎩⎨⎧
x 2， ||x ≥1
x ， ||x <1
，g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是
[)0，＋∞，则g(x)的值域是( )
A.(]－∞，－1∪[)1，＋∞
B.(]－∞，－1∪[)0，＋∞ C ．[0，＋∞) D.[)1，＋∞ 4．设函数
f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1，x>0
1，x<0，则
2
)
()()(b a f b a b a ---+(a ≠b)的值是
( )
A ．a
B ．b
C ．a ，b 中较小的数
D ．a ，b 中较大的数
5．(2008年重庆卷)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m
M 的值为( )
A.14
B.12
C.22
D.32
二、填空题
6．函数y ＝a x
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________.
7．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2对任意的非负实数x 成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22010＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32010＋…
＋f ⎝
⎛⎭
⎪⎫20092010＝________. 8．(2009年福州模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b}＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≥b
b ，a ＜b
，函数f(x)＝max{|x ＋1|，
|x －2|}(x ∈R)的最小值是________.
三、解答题
9．若函数y ＝f(x)＝12
x 2
－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间
[2,2b]，求b 的值．
10．某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x －12x 2
(万元)(0
≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台) (1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
参考答案
1．A 2.D
3．解析：要f(μ)的值域是[)0，＋∞，则μ可取(－∞，－1]∪[)0，＋∞.又g(x)是二次函
数，定义域连续，故g(x)不可能同时取(－∞，－1]和[)0，＋∞.结合选项只能选C. 答案：C
4．解析：按a>b ，a<b 两种情形分类讨论．答案：D 5．C 6.2 7.2009
8．解析：由||x ＋1≥||x －2⇒()x ＋12≥()x －22
⇒x ≥12，
故f ()x ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
||x ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ≥1
2||x －2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x<12，其图象如下，
则f min ()x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝3
2
.答案：32
9．解析：∵y ＝f(x)＝12(x 2－4x ＋8)＝12(x －2)2
＋2，
∴其图象的对称轴是x ＝2.
因此y ＝f(x)在[2,2b]上是递增函数，且2b>2，即b>1.
又函数y ＝f(x)＝12x 2
－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，所以有f(2b)＝2b ，
即12
(2b)2
－2×2b ＋4＝2b ，
∴b 2
－3b ＋2＝0，∴b ＝1(舍去)，b ＝2.
10.解析：(1)利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由 题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以 ))
50)(25.05.0(21
5()
5)(25.05.0()52
1
55(22≤≤+-->+-⨯-⨯=
x x x x x x y ))
50(5.021
75.4()
5(25.0122≤≤-->-=
x x x x x . (2)在0≤x ≤5时，y ＝－12x 2
＋4.75x －0.5，
当x ＝－b
2a ＝4.75(百台)时，y max ＝10.78125(万元)；
当x>5(百台)时，y ＜12－0.25×5＝10.75(万元)， 所以当生产475台时，利润最大． (3)要使企业不亏本，即要求
)50(05.075.42
12≤≤≥-+-x x x 或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x>5
12－0.25x ≥0，
解得5≥x ≥4.75－21.5625≈0.1(百台)或5＜x ＜48(百台)时，即企业年产量在10台 到4800台之间时，企业不亏本．。