2020-2021学年江苏泰州九年级下数学月考试卷 (1)详细答案与试题解析

2020-2021学年江苏泰州九年级下数学月考试卷
一、选择题
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2. 下列计算错误的是( )
A.(a3b)⋅(ab2)=a4b3
B.xy2−1
5xy2=4
5
xy2
C.a5÷a2=a3
D.(−mn3)2=m2n5
3. 如图，AB//CD，∠B=85∘，∠E=27∘，则∠D的度数为( )
A.45∘
B.48∘
C.50∘
D.58∘
4. 已知(k+3)x|k|−2+5<k−4是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是( )
A.x<1
B.x<−1
C.x<2
D.x<−2
5. 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45∘，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为( )
A.2√2−2
B.1
C.2√3−1
D.2−√2
二、填空题
分解因式：a2b−2ab+b=________．
一组数据3，5，7，8，m的平均数为5，则这组数据的中位数是________.
若点P(2−a, 2a+5)到两坐标轴的距离相等，则a的值为________．
的值等于0，则x=________．
若代数式x2−16
2x−8
已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108∘，则它的半径为________.
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3, 0)，对称轴为直线x=1，则方程
ax2+bx+c=0的根为________．
如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AÊ的度数为40∘，则∠B+∠D的度数是________．
小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学
校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行________分钟时，到学校还需步行350米．
如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2k(k>0)与x轴交于点P，与双曲线y=
3k
x
(x>0)交于点Q，若直线y=4kx−2与直线PQ交于点R（点R在点Q右侧），当RQ≤PQ时，k的取值范围是________.
三、解答题
(1)计算：(1
2
)−1+√27−2sin60∘+(2019−π)0；
(2)解不等式组{4x−3>1，
3(x+1)<x+9，
并把解集在数轴上表示出来．
解方程：
(1)2x2−x−15=0；
(2)5
2x+2−1=x
x+1
.
某中学决定开展课后服务活动，学校就“你最想开展哪种课后服务项目”问题进行了随
机问卷调查，调查分为四个类别：A．舞蹈；B．绘画与书法；C．球类；D．不想参加．现根据调查结果整理并绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图：
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次统计共抽查了________名学生；请补全条形统计图．
(2)该校共有600名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中想参加B类活动的人数．
周末，小明与小亮两个人打算骑共享单车骑行出游，两人打开手机APP进行选择，已
知附近共有3种品牌的5辆车，其中A品牌与B品牌各有2辆，C品牌有1辆，手机上无法
识别品牌，且有人选中车后其他人无法再选．
(1)若小明首先选择，则小明选中A品牌单车的概率为________；
(2)求小明和小亮选中同一品牌单车的概率．(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析
过程)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作
AF // BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=12，AB=16，求菱形ADCF的面积．
如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中
风筝线近似地看作直线）与水平线构成37∘角，线段AA1表示小红身高1.5米．当她从点
A跑动4米到达点B处时，风筝线与水平线构成60∘角，此时风筝到达点E处，风筝的水
平移动距离CF为8米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度
C1D．（参考数据：sin37∘≈0.6，cos37∘≈0.8，tan37∘≈0.75）
如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．
在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售800只A型和450只B 型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元．
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？
如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3, 0)，B(−1, 0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线AC的上方的抛物线上，有一点P(不与点M重合)，使△ACP的面积等于△ACM
的面积，请求出点P的坐标．
同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+若一次函数y=mx+n与反比例函数y=k
x
nx−k为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
(1)判断y=2x−1与y=3
是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不
x
存在，请说明理由；
(2)已知：整数m，n，t满足条件t<n<8m，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与
存在“共享函数”y=(m+t)x2+(10m−t)x−2020，求m的值；反比例函数y=2020
x
(3)若一次函数y=x+m和反比例函数y=m2+13
在自变量x的值满足的m≤x≤m+6
x
的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州九年级下数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【解答】
解：一个图形如果沿某条直线对折，对折后折痕两边的部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形.
A，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D，是轴对称图形，本选项符合题意．
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
积的乘方及其应用
同底数幂的除法
合并同类项
【解析】
选项A为单项式×单项式；选项B为合并同类项；选项C为同底数幂的除法；选项D为积的乘方，根据相应的法则进行计算即可．
【解答】
解：A，(a3b)⋅(ab2)=a3+1b2+1=a4b3，故A不符合题意；
B，xy2−1
5xy2=4
5
xy2，故B不符合题意；
C，a5÷a2=a5−2=a3，故C不符合题意；D，(−mn3)2=m2n6≠m2n5，故D符合题意. 故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
平行线的性质
三角形的外角性质
【解析】
此题暂无解析
解：如图，
∵AB//CD，
∴∠B=∠1=85∘.
∵∠1=∠D+∠E，
∴∠D=∠1−∠E=85∘−27∘=58∘.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
一元一次不等式的定义
解一元一次不等式
【解析】
根据一元一次不等式的定义得出|k|−2=1,k+3≠0求出k的值，然后代入不等式就x 的解集．
【解答】
解：因为(k+3)x|k|−2+5<k−4是关于x的一元一次不等式，
所以{|k|−2=1，
k+3≠0，
解得k=3，
所以不等式为6x+5<−1，
解得x<−1.
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360∘，列方程解答．
【解答】
解：设多边形的边数为n，
根据题意列方程，得(n−2)×180∘=360∘，
解得n=4．
故选B.
6.
【答案】
A
一次函数图象上点的坐标特点
坐标与图形变化-旋转
勾股定理
【解析】
由点P的运动确定P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
【解答】
解：由已知可得A(0, 4)，B(4, 0)，
∴三角形OAB是等腰直角三角形.
∵OC⊥AB，
∴C(2, 2).
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45∘，
∵P在线段OC上运动，所以P′的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P′的起点与终点，
∴P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，如图，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO=AN=4，AB=4√2，
∴NB=4√2−4，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形.
∴HB=4−2√2，
∴CP′=4−(4−2√2)−2=2√2−2.
故选A.
二、填空题
【答案】
b(a−1)2
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
因式分解-运用公式法
因式分解-提公因式法
【解析】
先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．
【解答】
解：a2b−2ab+b
=b(a2−2a+1)(提取公因式)
=b(a−1)2．(完全平方公式)
故答案为：b(a−1)2.
5
【考点】
算术平均数
中位数
【解析】
先根据平均数的定义求出m的值，然后根据中位数的定义求解即可．【解答】
解：由题意可知(3+5+7+8+m)÷5=5，
解得m=2，
∴这组数据从小到大排列为2，3，5，7，8，
则中位数是5．
故答案为：5．
【答案】
−1或−7
【考点】
点的坐标
【解析】
由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2⋅||=|2+5|，求出a的值即可．【解答】
解：因为点P到两坐标轴的距离相等，
所以|2−a|=|2a+5|，
即2−a=2a+5或2−a=−(2a+5)，
解得a=−1或−7.
故答案为：−1或−7.
【答案】
−4
【考点】
分式值为零的条件
【解析】
直接利用分式的值为零条件结合分式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：因为代数式x 2−16
2x−8
的值等于0，所以x2−16=0且2x−8≠0，解得x=−4．
故答案为：−4.
【答案】
2√10cm
【考点】
扇形面积的计算
【解析】
设扇形的半径为rcm，根据扇形的面积公式和已知条件得出108πr 2
360
=12π，求出r即可. 【解答】
解：设扇形的半径为rcm，
∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108∘，
∴108πr2
=12π，
360
解得r=2√10（负数舍去），
∴扇形的半径为2√10cm.
故答案为：2√10cm.
【答案】
−1或3
【考点】
二次函数的性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据抛物线与x轴的交点与一元二次方程的关系即可求解．
【解答】
解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3, 0)，对称轴为直线x=1，
所以二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为(−1, 0)，
所以方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=3．
故答案为：−1或3.
【答案】
160∘
【考点】
圆内接四边形的性质
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠ABE，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】
解：连接AB，
∵AÊ的度数为40∘，
∴∠ABE=20∘.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180∘，
∴∠CBE+∠D=180∘−20∘=160∘.
故答案为：160∘.
【答案】
15
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
函数图象的判断
【解析】
当8≤t≤20时，设s=kt+b，将(8,960),（20，1800）代入求得s=70t+400,求出s=1800−350时t的值，从而得出答案．
【解答】
解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8,960) ,(20,1800)代入，得
{8k+b=960，20k+b=1800，
解得{k=70，b=400，
∴s=70t+400，
当s=1800−350=1450时，1450=70t+400,
解得t=15,
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米.
故答案为：15.
【答案】
20
【考点】
菱形的判定与性质
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13−x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
【解答】
解：∵AG // BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG.
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=1
2
AC，
∴平行四边形BGFD是菱形.
设GF=x，则AF=13−x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90∘，
∴AF2+CF2=AC2，即(13−x)2+62=(2x)2，
解得x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
故答案为：20．
【答案】
0＜x≤5
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
函数的综合性问题
【解析】
由直线y=kx+2k(k>0)求得点P的坐标，作QM⊥x轴于M，RN⊥x轴于N，根据平
行线分线段成比例定理得到PQ
RQ =PM
MN
，即可得到MN≤PM，联立方程求得交点Q，R的
横坐标，即可求得M、N的坐标，进一步求得PM、MN的长，即可得到2k+2
3
−1≤3，
解不等式即可求得k的取值范围．
【解答】
解：如图，作QM⊥x轴于M，RN⊥x轴于N，
∴QM//RN，
∴PQ
RQ =PM
MN
，
∵RQ≤PQ，
∴MN≤PM，
∵直线y=kx+2k(k>0)与x轴交于点P，∴P(−2,0)，
∴OP=2，
由kx+2k=3k
x
，得x1=−3，x2=1，
∴Q点的横坐标为1，
∴M(1,0)，OM=1，
∴PM=2+1=3，
由kx+2k=4kx−2得x=2k+2
3
，
∴R的横坐标为2k+2
3
，
∴N(2k+2
3,0)，ON=2k+2
3
，
∴MN=2k+2
3
−1，
∴2k+2
3
−1≤3,
解得k≤5.
故答案为：0<x≤5.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=2+3√3−2×√3
2
+1 =3+2√3.
(2){4x−3>1①，
3(x+1)<x+9②，
∵解不等式①得x>1；
解不等式②得x<3，
∴不等式组的解集为1<x<3，用数轴上表示为：
．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
实数的运算
解一元一次不等式组
在数轴上表示不等式的解集
【解析】
（1）根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂分别求出每一部分的值，再计算加减即可；
（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：(1)原式=2+3√3−2×√3
2
+1
=3+2√3.
(2){4x−3>1①，
3(x+1)<x+9②，
∵解不等式①得x>1；
解不等式②得x<3，
∴不等式组的解集为1<x<3，
用数轴上表示为：
．
【答案】
解：(1)原方程可化为(x−3)(2x+5)=0，则x−3=0或2x+5=0，
解得x1=3，x2=−5
2
.
(2)原方程可化为5
2(x+1)−1=x
x+1
，
方程两边同时乘2(x+1)，得5−2(x+1)=2x，解得x=3
4
.
检验：把x=3
4
代入最简公分母，得
2(x+1)=2(3
4+1)=7
2
≠0，
∴x=3
4
是原分式方程的解．【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解分式方程——可化为一元一次方程
【解析】
(1)利用因式分解法求解可得；
(2)解分式方程，先去分母，然后解方程，注意结果要检验. 【解答】
解：(1)原方程可化为(x−3)(2x+5)=0，
则x−3=0或2x+5=0，
解得x1=3，x2=−5
2
.
(2)原方程可化为5
2x+1−1=x
x+1
，
方程两边同时乘2(x+1)，得5−2(x+1)=2x，解得x=3
4
.
检验：把x=3
4
代入最简公分母，得
2(x+1)=2(3
4+1)=7
2
≠0，
∴x=3
4
是原分式方程的解．
【答案】
50
(2)600×10
50
=120(人），
所以估计全校学生中想参加B类活动的人数为120人.
【考点】
条形统计图
扇形统计图
用样本估计总体
【解析】
用A类别的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其它类别的人数求出D类的人数，然后补全条形统计图；
用600乘以基本中B类人数所占的百分比；
【解答】
解：(1)这次统计共抽查的学生数是5÷10%=50（名），
D类人数为50−5−10−15=20（人），
补全条形统计图为：
故答案为：50.
=120(人），
(2)600×10
50
所以估计全校学生中想参加B类活动的人数为120人.
【答案】
2
5
(2)列表如下：
4种，
．
故小明和小亮选中同一品牌单车的概率为1
5
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
(1)直接用概率公式即可；
【解答】
解：(1)若小明首先选择，则等可能的结果数有5种，其中选中A品牌单车的结果数为2种，故小明选中A品牌单车的概率为2
.
5
.
故答案为：2
5
(2)列表如下：
由表可知，小明和小亮选则共有20种等可能的结果数，选中同一品牌单车有4种， 故小明和小亮选中同一品牌单车的概率为1
5．
【答案】
(1)证明：∵ E 是AD 的中点， ∴ AE =DE ，
∵ AF // BC ， ∴ ∠AFE =∠DBE ， 在△AEF 和△DEB 中，
∵ {∠AFE =∠DBE ，∠AEF =∠DEB ，AE =DE ，
∴ △AEF ≅△DEB(AAS)， ∴ AF =DB =CD ，
∴ 四边形ADCF 是平行四边形， ∵ ∠BAC =90∘，D 是BC 的中点， ∴ AD =CD =1
2BC ，
∴ 四边形ADCF 是菱形；
(2)解：设AF 到CD 的距离为ℎ，
∵ AF // BC ，AF =BD =CD ，∠BAC =90∘， ∴ S 菱形ADCF =CD ⋅ℎ=1
2BC ⋅ℎ =S △ABC =12AB ⋅AC =1
2
×12×16
=96．
【考点】 菱形的面积
全等三角形的性质与判定 菱形的判定与性质 菱形的判定
直角三角形斜边上的中线
【解析】
（1）先证明△AEF ≅△DEB(AAS)，得AF ＝DB ，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD ＝CD ，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF 是菱形；
（3）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF 的面积＝直角三角形ABC 的面积，即可解答． 【解答】
(1)证明：∵ E 是AD 的中点，
∴ AE =DE ， ∵ AF // BC ， ∴ ∠AFE =∠DBE ， 在△AEF 和△DEB 中，
∵ {∠AFE =∠DBE ，∠AEF =∠DEB ，AE =DE ，
∴ △AEF ≅△DEB(AAS)， ∴ AF =DB =CD ，
∴ 四边形ADCF 是平行四边形， ∵ ∠BAC =90∘，D 是BC 的中点， ∴ AD =CD =1
2BC ，
∴ 四边形ADCF 是菱形；
(2)解：设AF 到CD 的距离为ℎ，
∵ AF // BC ，AF =BD =CD ，∠BAC =90∘，
∴ S 菱形ADCF =CD ⋅ℎ=1
2BC ⋅ℎ
=S △ABC =12AB ⋅AC =1
2×12×16
=96．
【答案】
解：设AF =x ，则BF =AB +AF =4+x ， 在Rt △BEF 中，BE =BF
cos ∠EBF =4+x
cos 60∘=8+2x ， ∵ CF =8，∴ AC =AF +FC =8+x ，
在Rt △DAC 中，AD =AC
cos ∠DAC =8+x
cos 37∘≈10+1.25x ， 由题意知AD =BE ，
∴8+2x=10+1.25x，解得x=8
3
，
∴CD=AC tan∠CAD≈(8+8
3
)×0.75=8，则C1D=CD+C1C=8+1.5=9.5.
∴ 风筝原来的高度C1D为9.5米.
【考点】
解直角三角形的应用-其他问题
【解析】
设AF＝x，则BF＝AB+AF＝4+x，在Rt△BEF中，BE=BF
cos∠EBF =4+x
cos60
=8+2x，
CF＝8，AC＝AF+FC＝8+x，在Rt△DAC中，AD=AC
cos∠DAC =8+x
cos37
=10+1.25x可
建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出CD的长，继而得出答案．【解答】
解：设AF=x，则BF=AB+AF=4+x，
在Rt△BEF中，BE=BF
cos∠EBF =4+x
cos60∘
=8+2x，
∵CF=8，∴AC=AF+FC=8+x，
在Rt△DAC中，AD=AC
cos∠DAC =8+x
cos37∘
≈10+1.25x，
由题意知AD=BE，
∴8+2x=10+1.25x，解得x=8
3
，
∴CD=AC tan∠CAD≈(8+8
3
)×0.75=8，
则C1D=CD+C1C=8+1.5=9.5.
∴ 风筝原来的高度C1D为9.5米.
【答案】
(1)证明：连接OE，如图，
则∠BOE=2∠BDE，又∠A=2∠BDE，
∴∠BOE=∠A.
∵∠C=∠ABD，∴△ABD∽△OCE，
∴∠ADB=∠OEC，
又∵AB是直径，
∴∠OEC=∠ADB=90∘，
∴CE是⊙O的切线.
(2)解：如图，连接BE，
设∠BDE=α，
∴∠ADF=90∘−α，∠A=2α，∠DBA=90∘−2α，
在△ADF中，∠DFA=180∘−2α−(90∘−α)=90∘−α，
∴∠ADF=∠DFA，∴AD=AF，
在Rt△ADB中，AB=10，BF=2，
∴AD=AF=8，
∵∠ADF=∠AFD，∠ADF=∠FBE，∠AFD=∠BFE，∴∠BFE=∠FBE，
∴BE=EF，
由(1)知，∠A=2∠BDE=∠BOE，
∵∠BED=∠A，
∴∠BEF=∠BOE，
∵∠FBE=∠OBE，∴△BEF∽△BOE，
∴EF
OB =BF
BE
，
∴EF
5=2
EF
，∴EF=√10．
【考点】
圆周角定理
切线的判定与性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE＝90∘，即可得到结论；（2）先判断出∠ADF＝∠DFA，得出AD＝AF，最后用勾股定理求出AD，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
(1)证明：连接OE，如图，
则∠BOE=2∠BDE，又∠A=2∠BDE，
∴∠BOE=∠A.
∵∠C=∠ABD，∴△ABD∽△OCE，
∴∠ADB=∠OEC，
又∵AB是直径，
∴∠OEC=∠ADB=90∘，
∴CE是⊙O的切线.
(2)解：如图，连接BE，
设∠BDE=α，
∴∠ADF=90∘−α，∠A=2α，∠DBA=90∘−2α，
在△ADF中，∠DFA=180∘−2α−(90∘−α)=90∘−α，
∴∠ADF=∠DFA，∴AD=AF，
在Rt△ADB中，AB=10，BF=2，
∴AD=AF=8，
∵∠ADF=∠AFD，∠ADF=∠FBE，∠AFD=∠BFE，
∴∠BFE=∠FBE，
∴ BE =EF ，
由(1)知，∠A =2∠BDE =∠BOE ，
∵ ∠BED =∠A ，
∴ ∠BEF =∠BOE ，
∵ ∠FBE =∠OBE ，∴ △BEF ∽△BOE ，
∴ EF OB =BF BE ，
∴ EF 5=2EF ，∴ EF =√10．
【答案】
解：(1)设每只A 型口罩销售利润为a 元，每只B 型口罩销售利润为b 元，
根据题意得{800a +450b =210,400a +600b =180,
解得{a =0.15,b =0.2.
答：每只A 型口罩销售利润为0.15元，每只B 型口罩销售利润为0.2元.
(2)①根据题意得，y =0.15x +0.2(2000−x)，即y =−0.05x +400；
②根据题意得，2000−x ≤3x ，解得x ≥500，
∵ y =−0.05x +400，k =−0.05<0；
∴ y 随x 的增大而减小，
∵ x 为正整数，
∴ 当x =500时，y 取最大值，则2000−x =1500，
即药店购进A 型口罩500只、B 型口罩1500只，才能使销售总利润最大.
【考点】
二元一次方程组的应用——销售问题
一次函数的应用
【解析】
（1）设每只A 型口罩销售利润为a 元，每只B 型口罩销售利润为b 元，根据“销售800只A 型和450只B 型的利润为210元，销售400只A 型和600只B 型的利润为180元”列方程组解答即可；
（2）①根据题意即可得出y 关于x 的函数关系式；②根据题意列不等式得出x 的取值范围，再结合①的结论解答即可；
（3）设B 型口罩降价的幅度是x ，根据题意列方程解答即可．
【解答】
解：(1)设每只A 型口罩销售利润为a 元，每只B 型口罩销售利润为b 元，
根据题意得{800a +450b =210,400a +600b =180,
解得{a =0.15,b =0.2.
答：每只A 型口罩销售利润为0.15元，每只B 型口罩销售利润为0.2元.
(2)①根据题意得，y =0.15x +0.2(2000−x)，即y =−0.05x +400；
②根据题意得，2000−x ≤3x ，解得x ≥500，
∵ y =−0.05x +400，k =−0.05<0；
∴ y 随x 的增大而减小，
∵ x 为正整数，
∴ 当x =500时，y 取最大值，则2000−x =1500，
即药店购进A 型口罩500只、B 型口罩1500只，才能使销售总利润最大.
【答案】
解：(1)将A(3, 0)，B(−1, 0)代入y =ax 2+bx +3中，
得{9a +3b +3=0，a −b +3=0，
解得{a =−1，b =2，
故抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3.
(2)对于y =−x 2+2x +3，令x =0，则y =3，则点 C (0,3)， 设直线AC 的表达式为y =kx +t ，则
{0=3k +t ，t =3，解得 {k =−1，t =3，
故直线AC 的表达式为y =−x +3，
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x =1，
当x =1时， y =−1+2+3=4，则点M (1,4)，
过点M 作直线AC 的平行线交抛物线于点P ，则点P 为所求点，
∵ PM//AC ，则设直线PM 的表达式为y =−x +n ，
将点M 的坐标代入上式并解得n =5.
故直线MP 的表达式为y =−x +5，
联立{y =−x 2+2x +3，y =−x +5
得 −x 2+2x +3=−x +5， 解得x =1（舍去）或2，
当x =2时， y =3.
则点P (2,3).
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
(1)设抛物线的表达式为y =a (x −x 1) (x −x 2)=a(x −3) (x +1)=a (x 2−2x −3)=ax 2−2ax −3a ，即−3a =3，解得a =−1，即可求解.
(2)过点M 作直线AC 的平行线交抛物线于点P ，则点P 为所求点，进而求解.
【解答】
解：(1)将A(3, 0)，B(−1, 0)代入y =ax 2+bx +3中，
得{9a +3b +3=0，a −b +3=0，
解得{a =−1，b =2，
故抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3.
(2)对于y =−x 2+2x +3，令x =0，则y =3，则点 C (0,3)， 设直线AC 的表达式为y =kx +t ，则
{0=3k +t ，t =3，解得 {k =−1，t =3，
故直线AC 的表达式为y =−x +3，
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x =1，
当x =1时， y =−1+2+3=4，则点M (1,4)，
过点M 作直线AC 的平行线交抛物线于点P ，则点P 为所求点，
∵ PM//AC ，则设直线PM 的表达式为y =−x +n ，
将点M 的坐标代入上式并解得n =5.
故直线MP 的表达式为y =−x +5，
联立{y =−x 2+2x +3，y =−x +5
得 −x 2+2x +3=−x +5， 解得x =1（舍去）或2，
当x =2时， y =3.
则点P (2,3).
【答案】
解：(1)联立y =2x −1与y =3x 并整理得： 2x 2−x −3=0，
解得：x =32或−1， 故共享点为：(32,2)或(−1,−3).
(2)由题意得：
{1+n =m +t ，2m +2=10m −t ，
解得：{m =n+39，t =8n+69.
∵ t <n <8m ，
∴{
8n+6
9
<n，n<
8n+24
9
，
解得：6<n<24.
∴ 9<n+3<27，
故1<m<3，
m是整数，故m=2.
(3)由y=x+m和反比例函数y=m2+13
x
得：“共享函数”解析式为y=x2+mx−(m2+13)，
函数的对称轴为：x=−1
2
m.
①当m+6≤−1
2
m时，即m≤−4，
函数在x=m+6处取得最小值，
即(m+6)2+m(m+6)−m2−13=3，
解得：m=−9−√61或−9+√61（舍去）；
②当m<−1
2
m<m+6时，即−4<m<0，
函数在x=−1
2
m处取得最小值，
即(−1
2m)
2
−1
2
m2−m2−13=3，无解；
③当m≥0时，函数在x=m处取得最小值，
即m2+m2−m2−13=3，
解得：m=±4（舍去−4）.
综上所述，m=−9−√61或4，
故“共享函数”的解析式为y=x2+(−9−√61)x−(155+18√61)或y=x2+4x−29. 【考点】
反比例函数与一次函数的综合
二次函数综合题
二次函数的最值
解一元一次不等式组
二元一次方程组的解
【解析】
(1)联立y=2x−1与y=3
x
并整理得：2x2−x−3=0，即可求解；
【解答】
解：(1)联立y=2x−1与y=3
x
并整理得：
2x2−x−3=0，
解得：x=3
2
或−1，
故共享点为：(32,2)或(−1,−3).
(2)由题意得：
{1+n =m +t ，2m +2=10m −t ，
解得：{m =n+39，t =8n+69.
∵ t <n <8m ，
∴ {8n +69<n ，n <8n +249
， 解得：6<n <24.
∴ 9<n +3<27，
故1<m <3，
m 是整数，故m =2.
(3)由y =x +m 和反比例函数y =m 2+13x 得：
“共享函数”解析式为y =x 2+mx −(m 2+13)， 函数的对称轴为：x =−12m .
①当m +6≤−12m 时，即m ≤−4， 函数在x =m +6处取得最小值，
即(m +6)2+m (m +6)−m 2−13=3， 解得：m =−9−√61或−9+√61（舍去）； ②当m <−12m <m +6时，即−4<m <0， 函数在x =−12m 处取得最小值， 即(−12m)2−12m 2−m 2−13=3，无解； ③当m ≥0时，函数在x =m 处取得最小值， 即m 2+m 2−m 2−13=3，
解得：m =±4（舍去−4）.
综上所述，m =−9−√61或4，
故“共享函数”的解析式为y =x 2+(−9−√61)x −(155+18√61)或y =x 2+4x −29.。