2024届福建省福州市格致中学5月高三下学期数学试题三模试题

2024届福建省福州市格致中学5月高三下学期数学试题三模试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
2．(
)
2
5
23(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23
B ．17
C ．20
D ．63
3．设双曲线22:1916
x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则
AFB △的面积为（ ）
A ．
3215
B ．
6415
C ．5
D ．6
4．若关于x 的不等式1127
k x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9
B ．12
C ．15-
D ．18-
6．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）
A ．31log 5+
B ．6
C ．4
D ．5
8．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则
x y
z
+=（ ） A ．52
-
B ．2-
C ．2
D ．
72
9．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12
π
个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63
ππ
上
单调递增，在区间[,]32
ππ
上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74
B ．32
C ．2
D ．54
10．已知函数()sinx
12sinx
f x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重
合的变换方式有（ ）
①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;
④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③
B ．③④
C ．②③
D ．②④
1152，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A 25
B 45
C ．3
D ．4
12．设双曲线22
1x y a b
+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为
（ ）
A ．
2
25514
x y -= B ．2
2
5514
y x -
= C ．
2
25514
y x -= D ．2
2
5514
x y -
= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线cos y x x =在3
x π
=
处的切线的斜率为________.
14．设1F 、2F 分别为椭圆F ：22
143x y +=的左、右两个焦点，过1F 作斜率为1的直线，交Γ于A 、B 两点，则
22||||AF BF +=________
15．运行下面的算法伪代码，输出的结果为S =_____．
16．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为
原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．
18．（12分）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；
（2）若ABC 为锐角三角形，求
c
a
的取值范围. 19．（12分）已知函数()|1||42|f x x x =+--.
（1）求不等式1
()
(1)3
f x x -的解集； （2）若函数()f x 的最大值为m ，且2(0,0)a b m a b +=>>，求
21
a b
+的最小值. 20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，
AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）
．
（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ； （2）若直线AB 与直线MN 所成角为
4
π
，求二面角A PC B --的余弦值． 21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNC ；
（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．
22．（10分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：
研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为
12，45，3
5
，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为
45，12，2
3
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．
附：（1）相关系数1
2222
11n
i i
i n n
i i i i x y nx y
r x nx y ny ===-=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑
（2）
8
1
347i i
i x y
==∑，8
2
1
1308i i x ==∑，8
21
93i i y ==∑，178542.25≈．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解题分析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈
立方尺．
故选A ．
【题目点拨】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 2．B 【解题分析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【题目详解】
5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则
①()2
23x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：0055
5(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()2
23x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：1155
5(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③(
)
2
23x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：2255
51240C x x ⋅⋅⋅=；
综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【题目点拨】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 3．A 【解题分析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【题目详解】
由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴==，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为
(5,0)，双曲线的渐近线方程为：4
3y x =±
，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43
y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为4
3，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：
22
4(5)31
916
y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：175
3215x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为： 13232
(53)21515
⨯-⨯-=. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 4．A 【解题分析】
根据题意可将1127
k x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x
f x x
=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值．
【题目详解】
因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127
k x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
转化为
ln 3ln 3k x
x
≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以
ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3
x x k ≥． 令()ln x f x x =，则()2
1ln x
f x x
-'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以 当*x ∈N 时，()(){}
max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 3
3k
≥，解得9k ≥．
故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 5．A 【解题分析】
由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【题目详解】
设公差为d ，则1123,
8780,2a d a d +=-⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
解得17,2,a d =-⎧⎨
=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.
故选：A. 【题目点拨】
本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 6．C 【解题分析】
由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2
230q q --=，运算即可得解.
【题目详解】
解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2
230q q --=，
又0q >，解得3q =. 故选：C.
【题目点拨】
本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题. 7．D 【解题分析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【题目详解】
由题意313231031210log log log log ()a a a a a a ++
+=
53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 8．A 【解题分析】 由题意，可得2x z y +=，2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2
z y =-，代入即得解 【题目详解】
由x ，y ，z 成等差数列， 所以2
x z
y +=
，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，
所以2
20x x
z z
⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-，
因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，
所以2x z =-，此时2z
y =-， 所以15
222
x y z +=--=-． 故选：A 【题目点拨】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9．C 【解题分析】
由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12π个单位得到[]1212
g x sin x sin x πωπ
ωω=-=-（）（）（），函数()g x 在
区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，可得3
x π
=时，()g x 取得最大值，即
23
12
2
k π
ωπ
π
ωπ⨯-
=
+（），k Z ∈，0ω>，
当0k =时，解得2ω=，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减可得3x π=时，()g x 取
得最大值，求解可得实数ω的值. 10．D 【解题分析】
计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【题目详解】
()sin 12sin x
f x x
=
+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++=
==+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；
co sin 2212co s s s 12in 2x f x x
x x πππ⎛⎫
- ⎪
⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭
，co sin 2212co s s s 12in 2x f x x
x x πππ⎛⎫
+ ⎪
⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭
， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，函数关于2x π
=对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【题目点拨】
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 11．C 【解题分析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，
OA SO >，过SA 的轴截面如图：
90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离
的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 12．C 【解题分析】
求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a
-=-的渐近线方程为b y x a =-，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【题目详解】
解：抛物线2
4x y =的焦点为0,1
可得双曲线()22
10,0x y b a a b
+=><
即为22
1y x b a
-=-的渐近线方程为b y x a =- 2b
a
=-，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-
，45
b =. 即双曲线的方程为2
25514
y x -=.
故选：C
【题目点拨】
本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．12【解题分析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义令3x π=
，即可求出切线斜率.
【题目详解】 ()cos y f x x x ==，
()cos sin f x x x x '∴=-，
1cos sin 33332f ππππ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭
，
即曲线cos y x x =在3x π
=处的切线的斜率12k =-.
故答案为：12-【题目点拨】
本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.
14．327
【解题分析】
由椭圆的标准方程，求出焦点1F 的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得
22||||4AF BF AB a ++=，进而求出22||||AF BF +。

【题目详解】 由22143x y +=知，焦点1(1,0)F -，所以直线l ：1y x =+，代入22143
x y +=得 2234(1)12x x ++=，即27880x x +-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，
1287x x ∴+=- ，故1218242()4()277
AB a e x x =++=+⨯-= 由定义有，22||||4AF BF AB a ++=，
所以222432||||4277
AF BF +=⨯-
=。

【题目点拨】 本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算。

15．1011
【解题分析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S 的值,用裂项相消法求和即可.
【题目详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
11111223341011
S =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 11111111223341011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111
=- 1011
=. 故答案为:
1011 【题目点拨】
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
16．250x y +-=
【解题分析】
根据向量共线定理得A,B,C 三点共线，再根据点斜式得结果
【题目详解】
因为OC OA OB αβ=+,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线，
因此点C 的轨迹为直线AB:131(3)250.31
y x x y --=
-∴+-=+ 【题目点拨】
本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 24x y = (2)4
【解题分析】
（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AF BF -的值即可．
【题目详解】
（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p
=， ∴P （2，2p
），2244OP p =+， 点P 到准线的距离为22p d p =
+， ∴22
2||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22
222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得24p =，∴2p =， ∴抛物线C 的方程为：24x y =；
（2）抛物线2
4x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，
，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，
∴121244x x k x x +==-，
，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，22
1HB y k x +=， ∴1212
111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，
即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()
22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=， 则()
22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=
-=⨯=． 【题目点拨】 本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
18．（1）3B π
=（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.
（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得
c a 的表达式，进而求得c a 的取值范围. 【题目详解】
（1）由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，
即2sin cos sin()B B A C =+，
所以2sin cos sin B B B =， 即1cos 2B =
，又0B π<< 所以3B π=.
（2）由题设知，(
)1sin sin 120sin 2
2sin sin sin A A A c C a A A A
︒+-===，
即11tan 2
c a A =+， 又ABC 为锐角三角形，所以3090A ︒<<︒
，即tan >
A
所以10tan A <<
111222tan 2
A <⋅+<， 所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.
19．（1）[1,4]（2）3
【解题分析】
（1）化简得到5,1,()33,12,5, 2.x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪-+>⎩
，分类解不等式得到答案.
（2）()f x 的最大值(2)3m f ==，23(0,0)a b a b +=>>，利用均值不等式计算得到答案.
【题目详解】
（1）5,1,()14233,12,5, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+--=--⎨⎪-+>⎩
因为1()(1)3f x x -，故1,15(1)3x x x <-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或12,133(1)3x x x -⎧⎪⎨--⎪⎩或2,15(1),3x x x >⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩
解得12x 或24x <，故不等式1()(1)3
f x x -的解集为[1,4]. （2）画出函数图像，根据图像可知()f x 的最大值(2)3m f ==. 因为23(0,0)a b a b +=>>，所以211211221(2)5(225)3333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当1a b ==时，等号成立，故
21a b +的最小值是3.
【题目点拨】
本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20．（1）见解析（2）21 7
【解题分析】
(1)根据中位线证明平面MNQ平面PAB，即可证明MH∥平面ABP；（2）以QM，QC，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.
【题目详解】
（1）证明：连接QM，
∵M，N，Q分别为BC，CD，AC的中点，
∴QM AB，
又∵QM⊄平面PAB，AB平面PAB，
∴QM平面PAB，
同理，QN∥平面PAB，
∵QM⊂平面MNQ，QN⊂平面MNQ，QM QN Q
=，
∴平面MNQ平面PAB，
∵MH ⊂平面MNQ ，
∴MH ∥平面ABP ．
（2）连接PQ ，在ABC 和ACD 中，由余弦定理可得，
2222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABC AC AD CD AD CD ADC
⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩， 由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得23AC =， 于是222BC AB AC =+，
∴AB AC ⊥，QM AC ⊥，
∵QM AB ，直线AB 与直线MN 所成角为4
π， ∴4
QMN π
∠=，又1QM QN ==，
∴2
MQN π∠=，即QM QN ⊥， ∴QM ⊥平面APC ，
∴平面ABC ⊥平面APC ，
∵Q 为AC 中点，PQ AC ⊥，
∴PQ ⊥平面ABC ， 如图所示，分别以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,3,0)B -，(0,3,0)C ，(0,0,1)P ，(2,3,1)PB =--，(0,3,1)PC =-．
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，
∴00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即23030
x z z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． 令1y =，则3x =3z =PBC 的一个法向量为(3,1,3)n =．
又平面APC 的一个法向量为(1,0,0)m =， ∴21cos ,||||7
m n m n m n ⋅<>==⋅， ∴二面角A PC B --的余弦值为
217． 【题目点拨】 此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.
21．（1）见解析；（2）
16
. 【解题分析】
（1）利用中位线的性质得出//PA MN ，然后利用线面平行的判定定理可证明出//PA 平面MNC ；
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AD =，利用空间向量法可求得直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.
【题目详解】
（1）因为M 、N 分别为AD 、PD 的中点，所以//PA MN ．
又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC ；
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设2AD =，
则()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,4P ，()1,0,0M ，()0,0,2N ，
()2,2,4PB =-，()0,2,2NC =-，()1,0,2MN =-．
设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =，
则00
n MN n NC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1z =，则2x =，1y =，所以()2,1,1n =． 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，所以1sin cos ,6n PB n PB n PB α⋅=<>=
=⋅． 因此，直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为
16. 【题目点拨】 本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）
65 【解题分析】
（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；
（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【题目详解】 解：（1）由题意可知2361021131518118
x +++++++==， 112 2.5
6 3.5 3.5 4.538
y +++++++==， 由公式0.98r =
=≈， 0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535
A P =⨯=， 由题意，235X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
, ， ()26355
E X ∴=⨯=.
【题目点拨】
本题考查相关系数r的求解，考查二项分布的期望，是中档题.。