中考数学必考考点专题33最值问题含解析

专题33 最值问题
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式
二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有
①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442
；
②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。

y ac b a
max =-442。

2.一次函数的增减性
一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法
根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质
在实数范围内，显然有a b k k 2
2
++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22
++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法
用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解
在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

专题知识回顾
专题典型题考法及解析
【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．
【答案】﹣4．
【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．
【答案】．
【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC ′===5，
∴MN 最大=．
【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；
（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋1
2QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 、c 的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD 为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，交BC 于点E ，令P (m ，m 2
－4m ＋3)，易知直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，则E (m ，－m ＋3)，PE ＝(－m ＋3)－(m 2
－4m ＋3)＝－m 2
＋3m ．再由S △PBC ＝S △PBE ＋S △CPE ，转化为1
2PE •OB ＝12
×3×(－m 2
＋3m )，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S △PBC 的最大值与点P 坐标；（4）解决本问按两步走：一
找（如答图3，设OQ ＝t ，则CQ ＝3－t ，AQ ＋1
2QC 1
(3)2
t -，取CQ 的中点G ，以点Q 为圆心，QG 的长为半径作⊙Q ，则当⊙Q 过点A 时，AQ ＋12QC ＝⊙Q 的直径最小）、二求（由 AQ ＝1
2QC ，解关于t 的方程即可）．
【解题过程】（1）∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，
∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．
∵该抛物线过点C(0，3)，
∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．
∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．
综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．
（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠MBA＝45°．
∵D(2，－1)，A(3，0)，
∴∠DBA＝45°．
∴∠DBM＝90°．
同理，∠DAM＝90°．
又∵AM⊥BC，
∴四边形ADBM为矩形．
又∵DA＝DB，
∴四边形ADBM为正方形．
（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．
∵S △PBC ＝S △PBE ＋S △CPE ＝12PE •BF ＋12PE •OF ＝12PE •OB ＝12
×3×(－m 2
＋3m ) ＝－32 (m －32
)2
＋278
，
∴当m ＝32时，S △PBC 有最大值为278，此时P 点的坐标为(32，－3
4)． （4）如答图3，设OQ ＝t ，则CQ ＝3－t ，AQ ＋12
QC
1
(3)2
t -， 取CQ 的中点G ，以点Q 为圆心，QG 的长为半径作⊙Q ，则当⊙Q 过点A 时，AQ ＋12
QC ＝⊙Q 的直径最小，
此时，√t 2+1=12
(3−t )，解得t ＝2√6
3
－1，
于是AQ ＋1
2QC 的最小值为3－t ＝3－(2√63－1)＝4－2√6
3
．
1.（2018河南）要使代数式√2−3t 有意义，则x 的（ ） A.最大值为2
3
B.最小值为23
C.最大值为3
2 D.最大值为3
2 【答案】A.
【解析】要使代数式√2−3t 有意义，必须使2-3x ≥0，即x ≤2
3，所以x 的最大值为2
3。

2.（2018四川绵阳）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

【答案】5
【解析】设a 、b 、c 三边上高分别为4、12、h
专题典型训练题
因为2412S a b ch ABC ∆===，所以a b =3 又因为c a b b <+=4，代入12b ch = 得124b bh <，所以h >3
又因为c a b b >-=2，代入12b ch = 得122b bh >，所以h <6
所以3<h<6，故整数h 的最大值为5。

3.（2018齐齐哈尔）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 2
2
2++--的最小值为_______。

【答案】-1
【解析】a ab b a b 2
2
2++--
=+-+-=+
-+--=+-+--≥-a b a b b
a b b b a b b 222222121234321
41234111
()()()() 当a b +
-=1
2
0，b -=10，即a b ==01，时， 上式等号成立。

故所求的最小值为－1。

4.（2018云南）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ．
【答案】2．
【解析】过A 作关于直线MN 的对称点A ′，连接A ′B ，由轴对称的性质可知A ′B 即为PA+PB 的最小值，由对称的性质可知
=
，再由圆周角定理可求出∠A ′ON 的度数，再由勾股定理即可求解．过A 作关
于直线MN 的对称点A ′，连接A ′B ，由轴对称的性质可知A ′B 即为PA+PB 的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴=，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，
并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【答案】看解析。

【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．
解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：
10(1－x)2＝8.1．
解方程得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为10%．
（2）第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)， 当1≤x ＜9时，y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352；
当9≤x ＜15时，y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2
－64x ＋400)＝－3x 2
＋60x ＋80，
综上，y 与x 的函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧－17.7x ＋352(1≤x ＜9，x 为整数)，
－3x 2
＋60x ＋80(9≤x ＜15，x 为整数)．
当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352，∴当x ＝1时，y 最大＝334.3(元)；
当9≤x ＜15时，y ＝－3x 2
＋60x ＋80＝－3(x －10)2
＋380，∴当x ＝10时，y 最大＝380(元)； ∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．
（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a 元，依题意得： 380－[(8.1－a －4.1)(120－15)－(3×152
－64×15＋400)]≤127.5， 解得：a ≤0.5，
则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为R x =+50030，
P x =-1702。

（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】看解析。

【解析】（1）根据题意得：
()()1702500301750--+=x x x 整理得x x 2
7011250-+=
解得x 125=，x 245=（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为
Px R x x x -=-+-=--+214050023519502
2
() 所以当x =35时，最大利润为1950元。

7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？ 【答案】看解析。

【解析】设招聘甲种工种的工人为x 人，则乙种工种的工人为()150-x 人， 由题意得： 1502-≥x x 所以050≤≤x 设所招聘的工人共需付月工资y 元，
则有： y x x x =+-=-+6001000150400150000()（050≤≤x ） 因为y 随x 的增大而减小
所以当x =50时，y min =130000（元）
8.（经典题）求x x x x 221
1
-+++的最大值与最小值。

【答案】最大值是3，最小值是。

【解析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

设x x x x y 2211
-+++=，整理得
即
因为x 是实数，所以
即()()141022+--≥y y 解得
1
3
3≤≤y 所以x x x x 2211
-+++的最大值是3，最小值是。

9.（经典题）求代数式x x 12-的最大值和最小值。

【答案】最大值为1/2，最小值为-1/2.
【解析】设y x x =-12
，-≤≤11x ，再令x =sin α，-
≤≤
π
απ
2
2
，则有
y x x =-=-==
111
2
222sin sin sin cos sin ααααα 所以得y 的最大值为1/2，最小值为-1/2.
10.（经典题）求函数y x x =--+-||||145的最大值。

【答案】0
【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

易知该函数有两个零点、
当x <-4时
y x x =--++-=()()1450 当-≤≤41x 时
当x ≤-4时，得 -≤=--≤10280y x
当x >1时，y x x =--+-=-()()14510 综上所述，当x ≤-4时，y 有最大值为
11. （2018山东济南）已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

【答案】 m 的最大值是
13
3
，m 的最小值是－1。

【解析】由题意得x y m
xy m x y m m m m +=-=-+=--=-+⎧⎨⎩533553
2
()() 所以x 、y 是关于t 的方程t m t m m 22
5530--+-+=()()的两实数根， 所以 ∆=----+≥[()]()5453022
m m m
即3101302
m m --≤ 解得-≤≤1133
m m 的最大值是
13
3
，m 的最小值是－1。

12.（2019年黑龙江省大庆市）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°．AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，若动点D 从B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止（不考虑D 与B ，A 重合的情况），运动速度为2cm /s ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接BE ，设动点D 运动的时间为x （s ），AE 的长为y （cm ）． （1）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值？最大值为多少？
【答案】见解析。

【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解
题的关键．
（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式.
动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．
（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
13.（2019年宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
【答案】见解析。

【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB＝90°，
∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，
∴△QBM∽△ABC；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ＝MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形；
（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
解得，MN＝5﹣x，
则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线t=tt2+tt+t过点A（－1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．
【思路分析】（1）先求出点B 的坐标，然后把A 、B 、C 三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得出a ，b ，c 的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；（2）利用轴对称原理作出点C 的对称点，求出四边形CDEA 的周长的最小值；（3）方法1：设CP 与x 轴交于点E ，先根据面积关系得出BE ：AE=3:5或5:3，求出点E 的坐标，进而求出直线CE 的解析式，解直线CE 与抛物线的解析式联立所得的方程组求出点P 的坐标；方法2：设P （x ，－x 2
+2x+3），用含x 的式子表示四边形CBPA 的面积，然后求出CB 的解析式，再用含x 的式子表示出△CBP 的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x 的值，得出P 的坐标．
【解题过程】（1）∵点C （0，3），OB=OC ，∴点B （3，0）．
把A （－1，0），C （0，3），B （3，0）代入t =tt 2+tt +t ，得
{t－t +t =0，9t +3t +t =0，t =3，
解得{t =－1，t =2，t =3.
∴抛物线的解析式为y=－x 2
+2x+3． ∵y=－x 2
+2x+3=－（x －1）2
+4， ∴抛物线的对称轴为x=1．
（2）如图，作点C 关于x=1的对称点C ′（2，3），则CD=C ′D ． 取A ′（－1，1），又∵DE=1，可证A ′D=AE ． 在Rt △AOC 中，AC=√tt 2+tt 2=√12+32=√10． 四边形ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE =√10+1+CD+AE ．
要求四边形ACDE 的周长的最小值，就是求CD+AE 的最小值． ∵CD+AE=C ′D+A ′D ，
∴当A ′D ，C ′三点共线时，C ′D+A ′D 有最小值为√13， ∴四边形ACDE 的周长的最小值=√10+1+√13．
（3）方法1：由题意知点P 在x 轴下方，连接CP ，设PC 与x 轴交于点E ， ∵直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分， 又∵S △CBE ：S △CAE =S △PBE ：S △PAE =BE ：AE ， ∴BE ：AE=3:5或5:3， ∴点E 1（3
2，0），E 2（1
2，0）．
设直线CE 的解析式为y=kx+b ，（3
2，0）和（0，3）代入，得
{3
2
t +t =0，
t =3，
解得{t =－2，t =3.
∴直线CE 的解析式为y=－2x+3．
同理可得，当E 2（1
2，0）时，直线CE 的解析式为y=－6x+3．
由直线CE 的解析式和抛物线的解析式联立解得P 1（4，－5），P 2（8，－45）.
方法2：由题意得S △CBP =38S 四边形CBPA 或S △CBP =58
S 四边形CBPA ． 令P （x ，－x 2
+2x+3），
S 四边形CBPA =S △CAB +S △PAB =6+1
2×4·（x 2
－2x －3）=2x 2
－4x ． 直线CB 的解析式为y=－x+3，
作PH ∥y 轴交直线CB 于点H ，则H （x ，－x+3），
S △CBP=12OB ·PH=1
2×3·（－x+3+x 2
－2x －3）=3
2x 2
－9
2x ． 当S △CBP =3
8S 四边形CBPA 时，32
x 2
－92x=38
（2x 2
－4x ）， 解得x 1=0（舍），x 2=4， ∴P 1（4，－5）．
当S △CBP =5
8S 四边形CBPA 时，3
2x 2
－92x=5
8（2x 2
－4x ）， 解得x 3=0（舍），x 4=8， ∴P 2（8，－45）．
15.（2019广西省贵港）已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转得到△A B C ''，记旋转角为α，当90180α︒<<︒时，作A D AC '⊥，垂足为D ，A D '与B C '交于点E ．
（1）如图1，当15CA D ∠'=︒时，作A EC ∠'的平分线EF 交BC 于点F ． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA EC EF '+=；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A D '上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB 求线段PA PF +的最小值．（结果保留根号）.
【思路分析】（1）①解直角三角形求出A CD ∠'即可解决问题．
②连接A F '，设EF 交CA '于点O ．在EF 时截取EM EC =，连接CM ．首先证明CFA ∆'是等边三角形，再证明FCM ∆≅△()A CE SAS '，即可解决问题．
（2）如图2中，连接A F '，PB '，AB '，作B M AC '⊥交AC 的延长线于M ．证明△A EF '≅△A EB ''，推
出EF EB ='，推出B '，F 关于A E '对称，推出PF PB ='，推出PA PF PA PB AB +=+''，求出AB '即可解决问题．
【解题过程】（1）①解：旋转角为105︒． 理由：如图1中，
A D AC '⊥， 90A DC ∴∠'=︒， 15CA D ∠'=︒， 75ACD ∴∠'=︒， 105ACA ∴∠'=︒，
∴旋转角为105︒．
②证明：连接A F '，设EF 交CA '于点O ．在EF 时截取EM EC =，连接CM ． 451560CED ACE CA E ∠=∠'+∠'=︒+︒=︒， 120CEA ∴∠'=︒，
FE 平分CEA ∠'，
60CEF FEA ∴∠=∠'=︒， 180457560FCO ∠=︒-︒-︒=︒，
FCO A EO ∴∠=∠'，FOC AOE ∠=∠'， FOC ∴∆∽△AOE '
， ∴OF OC
A O OE =
'， ∴
OF A O
OC OE
'=
， COE FOA ∠=∠'，
COE FOA ∴∆∆'∽，
60FAO OEC ∴∠'=∠=︒，
∴△A OF '是等边三角形，
CF CA A F ∴='='，
EM EC =，60CEM ∠=︒， CEM ∴∆是等边三角形， 60ECM ∠=︒，CM CE =， 60FCA MCE ∠'=∠=︒， FCM ACE ∴∠=∠'， FCM ∴∆≅△()A CE SAS '，
FM A E ∴='，
CE A E EM FM EF ∴+'=+=．
（2）解：如图2中，连接A F '，PB '，AB '，作B M AC '⊥交AC 的延长线于M ．
由②可知，75EA F EA B ∠'='''=︒，A E A E '='，A F A B '=''，
∴△A EF '≅△A EB ''，
EF EB ∴='，
B ∴'，F 关于A E '对称， PF PB ∴='，
PA PF PA PB AB ∴+=+''，
在Rt △CB M '中，2CB BC '==，30MCB ∠'=︒， 1
12
B M CB ∴'='=，CM =
AB ∴'
PA PF ∴+
16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线y ＝1
2x 2
+bx +c 与直线y ＝1
2x +3分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与
x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知A （0，3），C （﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MC |的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）①将A （0，3），C （﹣3，0）代入y ＝1
2x 2
+bx +c ，即可求解； （2）分当点B 、C 、M 三点不共线时、当点B 、C 、M 三点共线时，两种情况分别求解即可； （3）分当tt tt =tt tt =13时、当tt tt =tt
tt =3时两种情况，分别求解即可． 【解题过程】（1）①将A （0，3），C （﹣3，0）代入y ＝1
2x 2
+bx +c 得：
{t =392
−3t +t =0，解得：{
t =52t =3， ∴抛物线的解析式是y ＝1
2x 2
+5
2x +3；
（2）将直线y ＝1
2
x +3表达式与二次函数表达式联立并解得：x ＝0或﹣4， ∵A （0，3），∴B （﹣4，1） ①当点B 、C 、M 三点不共线时， |MB ﹣MC |＜BC
②当点B 、C 、M 三点共线时， |MB ﹣MC |＝BC
∴当点、C 、M 三点共线时，|MB ﹣MC |取最大值，即为BC 的长，
过点B 作x 轴于点E ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BC ＝√tt 2+tt 2＝√2，
∴|MB ﹣MC |取最大值为√2；
（3）存在点P 使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． 设点P 坐标为（x ，1
2x 2
+5
2x +3）（x ＞0）
在Rt △BEC 中，∵BE ＝CE ＝1，∴∠BCE ＝45°， 在Rt △ACO 中，∵AO ＝CO ＝3，∴∠ACO ＝45°， ∴∠ACB ＝180°﹣450
﹣450
＝900
，AC ＝3
，
过点P 作PQ ⊥PA 于点P ，则∠APQ ＝90°， 过点P 作PQ ⊥y 轴于点G ，∵∠PQA ＝∠APQ ＝90° ∠PAG ＝∠QAP ，∴△PGA ∽△QPA ∵∠PGA ＝∠ACB ＝90° ∴①当tt tt =tt tt =1
3时， △PAG ∽△BAC ， ∴t
1
2
t 2+5
2t +3−3=1
3，
解得x 1＝1，x 2＝0，（舍去） ∴点P 的纵坐标为1
2×12
+5
2×1+3＝6， ∴点P 为（1，6）； ②当tt tt =tt
tt =3时， △PAG ∽△ABC ， ∴t
1
2t 2+52
t +3−3=3，
解得x 1＝﹣13
3（舍去），x 2＝0（舍去）， ∴此时无符合条件的点P 综上所述，存在点P （1，6）．
17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(1,0)-，且4OA OC OB ==，抛物线
2(0)y ax bx c a =++≠图象经过A ，B ，C 三点．
（1）求A ，C 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．
【思路分析】（1）44OA OC OB ===，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：2(1)(4)(34)y a x x a x x =+-=--，即可求解；
（3）2sin 4342
PD HP PFD x x x =∠=
--++，即可求解． 【解题过程】（1）44OA OC OB ===， 故点A 、C 的坐标分别为(4,0)、(0,4)-；
（2）抛物线的表达式为：2(1)(4)(34)y a x x a x x =+-=--， 即44a -=-，解得：1a =，
故抛物线的表达式为：2
34y x x =--；
（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx =-， 将点A 坐标代入上式并解得：1k =， 故直线CA 的表达式为：4y x =-，
过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，
4OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，
//PH y 轴，45PHD OCA ∴∠=∠=︒，
设点2(,34)P x x x --，则点(,4)H x x -，
22sin 434)PD HP PFD x x x =∠=
--++=+，
0<，PD ∴有最大值，当2x =时，其最大值为 此时点(2,6)P -．
18.（2019内蒙古赤峰）如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2
+bx +c 经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上找一点E ，使EC +ED 的值最小，求EC +ED 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，
3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，即可求解；
（3）分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解．
【解题过程】（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，
3），
将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{−9+3t +t =0t =3，解得：{t =2
t =3，
故函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，
令y ＝0，则x ＝﹣1或3，故点A （﹣1，0）；
（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，
函数顶点坐标为（1，4），点C ′（0，﹣3），
将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD 的表达式为：y ＝7x ﹣3，
当y ＝0时，x =37，故点E （37，x ）；
（3）①当点P 在x 轴上方时，如下图2，
∵OB ＝OC ＝3，则∠OCB ＝45°＝∠APB ，
过点B 作BH ⊥AH ，设PH ＝AH ＝m ，
则PB＝PA=√2m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
（负值已舍去），
16＝m2+（√2m﹣m）2，解得：m=√2+√66
2
则PB=√2m＝1+√33，
则y P=√(1+√33)2+22=√10−√3；
②当点P在x轴下方时，
则y P＝﹣（√10−√3）；
故点P的坐标为（1，√10−√3）或（1，√3−√10）．
19.（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；
（2）可以求出点Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x＝﹣2，根据函数的增减性，可以求出当y1≤y2时P点横坐标x1的取值范围；
（3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点
∴解得：a＝，b＝，c＝；
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+．
（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（﹣2，y2）
P（x1，y1在该抛物线上，y1≤y2，根据抛物线的增减性得：
∴x1≤﹣2或x1≥4
答：P点横坐标x1的取值范围：x1≤﹣2或x1≥4．
（3）∵C（0，），B，（3，0），D（1，0）
∴OC＝，OB＝3，OD，＝1
∵F是BC的中点，∴F（，）
当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CE、CD交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（，），F″（0，0）即点O，
F′F″＝F′O＝＝3，
即：△FMN的周长最小值为3，
20.（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）S△ACQ＝×DQ×BC，即可求解；
（3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点A（1，4）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，
点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），
S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；
（3）设点P（1，m），点M（x，y），
①当EC是菱形一条边时，
当点M在x轴下方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，
则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，
则1+3＝x，m﹣3＝y，
而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，
解得：y＝m﹣3＝，
故点M（4，）；
当点M在x轴上方时，
同理可得：点M（﹣2，3+）；
②当EC是菱形一对角线时，
则EC中点即为PM中点，
则x+1＝3，y+m＝3，
而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，
解得：m＝1，
故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，
故点M（2，2）；
综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．。