专题1 2矩形的性质与判定 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题1.2 矩形的性质与判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•武汉期中）如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．测得AB 的
长为1.6km ，则M ，C 两点间的距离为（ ）
A ．0.5km
B ．0.6km
C ．0.8km
D ．1.2km
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【解析】由题意可知，△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，
∴MC =12AB =12
×1.6＝0.8（km ）． 故选：C ．
2．（2020春•东湖区校级期中）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别
交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE ＝2，PF ＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
【分析】由矩形的性质可证明S △PEB ＝S △PFD ，即可求解．
【解析】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．
则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，
∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，
∵MP ＝AE ＝2
∴S △DFP ＝S △PBE =12
×2×6＝6， ∴S 阴＝6+6＝12，
故选：B ． 3．（2020春•江阴市期中）已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，对角线AC 、BD 相交于点O ，
点P 是线段AD 上任意一点，且PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE +PF 等于（ ）
A ．60
13 B ．50
13 C ．18
5 D ．12
5
【分析】首先连接OP ．由矩形ABCD 的两边AB ＝5，BC ＝12，可求得OA ＝OD =
132，然后由S △AOD ＝S △AOP +S △DOP 求得答案．
【解析】连接PO ，
∵矩形ABCD 的两边AB ＝5，BC ＝12，
∴S 矩形ABCD ＝AB •BC ＝60，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，AC =√AB 2+BC 2=√122+52=13， ∴S △AOD =14S 矩形ABCD ＝15，OA ＝OD =12AC =13
2
， ∴S △AOD ＝S △AOP +S △DOP =12OA •PE +12OD •PF =12OA （PE +PF ）=12×132
×（PE +PF ）＝15， ∴PE +PF =
6013， 故选：A ．
4．（2020春•鹿城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AO＝5，CD＝6，则AD＝（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据矩形的性质得出∠ADC＝90°，AC＝2AO＝10，根据勾股定理求出AD即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AO＝5，
∴∠ADC＝90°，AC＝2AO＝10，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=√AC2−CD2=√102−62=8，
故选：D．
5．（2020春•西城区校级期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣2，﹣1）（﹣2，2）和（4，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）
A．（﹣2，2）B．（4，2）C．（4，4）D．（4，3）
【分析】先在平面直角坐标系中描出点（﹣2，﹣1）（﹣2，2）和（4，﹣1），然后根据矩形的性质画出矩形得到第四个点的位置，再写出第四个顶点的坐标．
【解析】如图，
∵A（﹣2，﹣1），B（﹣2，2），C（4，﹣1），
∴BD＝AC＝2+4＝6，
∴第四个顶点D的坐标为（6﹣2，2），即（4，2）．
故选：B．
6．（2020春•江汉区期中）下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对边平行
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；
故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
7．（2020春•栖霞区期中）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解析】A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在▱ABCD中，AC＝BD，
则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在▱ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．（2020春•香坊区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED＝5，EC＝3，则矩形的周长为（）
A．18 B．20 C．22 D．24
【分析】根据勾股定理求出DC＝4；证明BE＝AB＝4，即可求出矩形的周长．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，EC＝3，
∴DC2＝DE2﹣CE2＝25﹣9＝16，
∴DC＝4，AB＝4；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝4，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴矩形ABCD的周长＝2（4+7）＝22．
故选：C．
9．（2020春•无锡期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据矩形的性质得出∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，根据勾股定理得出DE2+DC2＝EC2，求出DE即可．【解析】设DE＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，
∵EF⊥AC，AO＝OC，
∴AE＝CE＝6﹣x，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，
即x2+42＝（6﹣x）2，
解得：x=53，
即DE=53，CE＝AE＝6−53=135，
∴△DEC的周长为DE+CE+DC=53+133+4＝10，
故选：A．
10．（2020春•赣榆区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC 的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．60°
【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABE＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC=1
2（
180°﹣∠BAC）=
1
2（
180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴BF ＝EF ，
∴∠BEF ＝∠CBE ＝22.5°，
∴∠EFC ＝∠BEF +∠CBE ＝22.5°+22.5°＝45°．
故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•西城区校级期中）如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 长上的一点，作DF ⊥AE 于点F ，且满
足DF ＝AB ．下面结论：①△DEF ≌△DEC ；②S △ABE ＝S △ADF ；③AF ＝AB ；④BE ＝AF ．其中正确的结论是 ①②④ ．
【分析】证明Rt △DEF ≌Rt △DEC 得出①正确；在证明△ABE ≌△DFA 得出S △ABE ＝S △ADF ；②正确；得出BE ＝AF ，④正确，③不正确；即可得出结论．
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠C ＝∠ABE ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝CD ，
∵DF ＝AB ，
∴DF ＝CD ，
∵DF ⊥AE ，
∴∠DFA ＝∠DFE ＝90°，
在Rt △DEF 和Rt △DEC 中，{DE =DE DF =DC
， ∴Rt △DEF ≌Rt △DEC （HL ），①正确；
∵AD ∥BC ，
∴∠AEB ＝∠DAF ，
在△ABE和△DFA中，{∠ABE=∠DFA ∠AEB=∠DAF AB=DF
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴S
△ABE ＝S
△ADF
；②正确；
∴BE＝AF，④正确，③不正确；
故答案为：①②④．
12．（2020春•栖霞区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝35°．
【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝20°，即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD=1
2（
180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
13．（2020春•宜兴市期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为3．
【分析】根据矩形的性质可得AC ＝BD ＝12，BO ＝DO ＝6，再根据三角形中位线定理可得PQ =12DO ＝3．
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC ＝BD ＝12，BO ＝DO =12
BD ， ∴OD =12BD ＝6， ∵点P 、Q 是AO ，AD 的中点，
∴PQ 是△AOD 的中位线，
∴PQ =12
DO ＝3． 故答案为：3．
14．（2020春•江汉区期中）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，
F ，若BE ＝3，AF ＝5，则线段AC 的长为 4√5 ．
【分析】连接AE ，由线段垂直平分线的性质得出OA ＝OC ，AE ＝CE ，证明△AOF ≌△COE 得出AF ＝CE ＝5，得出AE ＝CE ＝5，BC ＝BE +CE ＝8，由勾股定理求出AB ＝4，再由勾股定理求出AC 即可．
【解析】连接AE ，如图：
∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B ＝90°，AD ∥BC ，
∴∠OAF ＝∠OCE ，
在△AOF 和△COE 中，{∠AOF =∠COE
OA =OC ∠OAF =∠OCE
，
∴△AOF ≌△COE （ASA ），
∴AF ＝CE ＝5，
∴AE ＝CE ＝5，BC ＝BE +CE ＝3+5＝8，
∴AB =√AE 2−BE 2=√52−32=4，
∴AC=√AB2+BC2=√42+82=4√5；
故答案为：4√5．
15．（2020春•南岗区校级期中）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是3．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x 轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点H，证明△AFC≌△OEB，即可求得答案．
【解析】如图，
过点A作AD⊥x轴于点D，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，
则AF⊥CF，
延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS），
∴CF＝BE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
16．（2020春•鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为4√3−2．
【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由矩形的性质得出AB＝DE，由题意得CD2+CE2＝CA2+CB2，求出CE＝4√3，当C、D、E三点共线时，DE最小，得出AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4√3−2．
【解析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：
则AB＝DE，
由题意得：CD2+CE2＝CA2+CB2，
即22+CE2＝42+62，
解得：CE＝4√3，
当C、D、E三点共线时，DE最小，
∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4√3−2；
故答案为：4√3−2．
17．（2020春•明水县校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若
AC＝5，则四边形CODE的周长是10．
【分析】根据矩形的性质求出OC＝OD，根据平行四边形的判定得出四边形CODE是平行四边形，根据菱形的判定得出四边形CODE是菱形，再根据菱形的性质得出即可．
【解析】如图，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝5，
∴AO＝OC＝2.5，AC＝BD，DO＝BO，
∴OC＝OD，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE＝CE＝OC＝OD＝2.5，
∴四边形CODE的周长是2.5+2.5+2.5+2.5＝10，
故答案为：10．
18．（2020春•赣榆区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，
过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是60
13
．
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【解析】如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB=√AC2+BC2=√52+122=13，
∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠C ＝90°，
∴四边形CFDE 是矩形，
∴EF ＝CD ，
由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，
此时，S △ABC =12BC •AC =12
AB •CD ， 即12
×12×5=1
2×13•CD ， 解得：CD =6013， ∴EF =6013
． 故答案为：60
13．
三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•罗湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是AB 的中点，且OC ＝OD ．
（1）求证：平行四边形ABCD 是矩形； （2）若AD ＝3，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．
【分析】（1）证△AOD ≌△BOC （SSS ），得出∠A ＝∠B ＝90°，即可得出结论；
（2）证出∠AOD ＝∠BOC ＝60°，则∠ADO ＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA =√33
AD =√3，则AB ＝2OA ＝2√3，由矩形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，
∴∠A +∠B ＝180°，
∵点O 是AB 的中点，
在△AOD和△BOC中，{OA=OB AD=BC OD=OC
，
∴△AOD≌△BOC（SSS），
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：△AOD≌△BOC，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝30°，
∴OA=√3
3
AD=√3，
∴AB＝2OA＝2√3，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝2√3×3＝6√3．
20．（2020春•吴江区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝3．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝5，根据勾股定理得到AF＝CE＝5，于是得到结论；
（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝3，FH＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，
∴CF＝AE＝8﹣3＝5，
∴AF＝CE=√32+42=5，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝5，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，如图所示：
则四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF＝3，FH＝AD＝4，
∴EH＝5﹣3＝2，
∴EF=√EH2+FH2=√22+42=2√5．
21．（2020春•建湖县期中）已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO=1
2
AC，在Rt△EBD中，EO=1
2
BD，
得到AC＝BD，即可得出结论．
【解答】证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=1
2 BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，
∴EO=1
2 AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
22．（2020春•汉寿县期中）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．
【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE 是平行四边形即可．
【解答】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，{∠BFG=∠DHE ∠GBF=∠EDH FG=HE
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
23．（2020春•香坊区校级期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，点D、点O分别为BC、AC的中点，AE ∥BC．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；
（2）如图2，若点F是CE上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形ABDF面积相等的三角形和四边形．
【分析】（1）首先得到四边形ADCE 是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可；
（2）根据四边形ADCE 是矩形，得到AD ∥CE ，于是得到S △ADC ＝S △ADF ＝S △AED ，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D 、点O 别是BC 、AC 的中点，
∴OD ∥AB ，BD ＝CD ，
∴DE ∥AB ，
又∵AE ∥BD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴AE ＝BD ，
∴AE ＝CD ，
∵AE ∥BC ，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴四边形ADCE 是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE 是矩形，
∴AD ∥CE ，
∴S △ADC ＝S △ADF ＝S △AED ，
∴四边形ABDF 面积＝S △ABC ＝S 四边形ABDE ＝S 矩形ADCE ．
24．（2020春•武汉期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是
AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN ．
（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：
①当AM 的值为 3 时，四边形AMDN 是矩形；
②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．
【分析】（1）由菱形的性质可得∠DNE＝∠AME，再由点E是AD边的中点，可得AE＝DE，从而可证明△NDE≌△MAE（AAS），则NE＝ME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∴在△NDE和△MAE中，△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵点E是AD边的中点，
∴AE=1
2
AD＝3，
∴AM＝AE＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，∴EM＝AE，
∵NE＝EM=1
2 MN，
∴MN＝AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：3；
②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AB＝AD＝6，AM＝6，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
故答案为：6．
25．（2020春•庆云县期中）矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60度，AC＝10．（1）求矩形较短边的长．
（2）矩形较长边的长；
（3）矩形的面积．
如果把本题改为：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60度，AB＝4，你能求出这个矩形的面积吗？试写出解答过程．
【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
（2）在直角△ABC中，根据勾股定理来求BC的长度；
（3）由矩形的面积公式进行解答；
如果把本题改为：根据矩形性质得出AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，推出AO＝OB，得出等边三角形AOB，求出∠ABO，即可得出答案．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB
又∵∠AOB＝60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB＝OA=1
2
AC＝5，即矩形较短边的长为5；
（2）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，则BC=√AC2−AB2=√102−52=5√3，即矩形较长边的长是5√3；
（3）矩形的面积＝AB•BC＝5×5√3=25√3；
如果把本题改为：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60度，AB＝4，能求出这个矩形的面积．
解答过程为：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴AD＝AB•tan60°＝4√3，
∴这个矩形的面积为4×4√3=16√3．
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