2017年高考数学(理)一轮复习精品资料 专题43 空间向量及其运算(押题专练) 含解析

1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中,能构成基底的一组向量是(）
A．a，a＋b，a－b B．b,a＋b，a－b
C．c，a＋b,a－b D．a＋b，a－b，a＋2b
【答案】：C
【解析】：若c、a＋b、a－b共面,
则c＝λ（a＋b)＋m（a－b)＝（λ＋m)a＋（λ－m）b，
则a、b、c为共面向量，此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾,故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底。

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式:
①(错误!－错误!）－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；
③(AD，→－错误!)－2错误!；④（错误!＋错误!)＋错误!.
其中能够化简为向量错误!的是( ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】：A
3．若向量a＝(1，λ,2），b＝(2，－1，2）且a与b的夹角的余弦值为错误!，则λ等于( )
A．2 B．－2
C．－2或错误!D．2或－错误!
【答案】:C
【解析】：由已知得错误!＝错误!＝错误!，
∴85＋λ2＝3（6－λ），解得λ＝－2或λ＝错误!。

4．平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若错误!′＝x错误!＋2y错误!－3z错误!′，则x＋y＋z＝( ）
A．1 B.错误!
C。

错误!D。

错误!
【答案】：B
【解析】：错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝x错误!＋2y错误!－3z错误!,故x＝1，y＝错误!，z＝－错误!,∴x＋y＋z＝1＋错误!－错误!＝错误!。

5．已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB ＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为( ）A．30° B．45°
C．60° D．75°
【答案】：C
6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a,点M在错误!上且错误!＝错误!
B的中点,则｜错误!｜为( )
错误!，N为B1
A。

错误!a B。

错误!a
C。

错误!a D。

错误!a
【答案】：A
7．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD 的中点，若错误!＝λ(错误!＋错误!)，则λ＝__________。

【答案】：错误!
【解析】：如图所示，取AC的中点G,
连接EG、GF,
则错误!＝错误!＋错误!＝错误!(错误!＋错误!）
∴λ＝错误!。

8．已知O(0，0，0）,A(1，2，3)，B(2，1，2）,P(1,1，2)，点Q 在直线OP上运动,当错误!·错误!最小时，点Q的坐标是________.【答案】:错误!
【解析】：设错误!＝λ错误!＝(λ，λ，2λ），则错误!＝(1－λ,2－λ，3－2λ)，
错误!＝（2－λ，1－λ，2－2λ）.
∴错误!·错误!＝（1－λ）(2－λ）＋（2－λ)(1－λ)(3－2λ）(2－2λ）＝6λ2－16λ＋10＝6错误!2－错误!。

∴当λ＝错误!时，错误!·错误!取得最小值－错误!,此时错误!＝错误!。

∴点Q的坐标是错误!。

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：
①(错误!＋错误!＋错误!)2＝3（错误!）2；
②错误!·（错误!－错误!）＝0;
③错误!与错误!的夹角为60°;
④此正方体的体积为|错误!·错误!·错误!｜。

则正确命题的序号是__________（填写所有正确命题的序号)。

【答案】：①②
10．如图所示,在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点,试用a，b，c表示以下各向量：
(1）AP，→;(2）错误!；(3)错误!＋错误!.
11．已知a＝(x,4，1），b＝（－2,y，－1),c＝（3，－2，z），a∥b，b⊥c,求:
(1）a，b,c；
(2）（a＋c）与(b＋c）所成角的余弦值。

【解析】:（1）因为a∥b,所以错误!＝错误!＝错误!，
解得x＝2，y＝－4，
这时a＝（2,4，1),b＝(－2，－4，－1）。

又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2,于是c＝(3，－2，2)。

（2)由（1)得a＋c＝（5，2,3），b＋c＝(1，－6，1），
设（a＋c）与（b＋c)所成角为θ，因此
cosθ＝错误!＝－错误!.
12．如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(错误!，错误!，0），点D在平面yOz内,且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°。

(1）求错误!的坐标;
（2）设错误!和错误!的夹角为θ，求cosθ的值。

【解析】：
＝
错误!
＝错误!＝－错误!.
∴cosθ＝－错误!.。