八年级数学 等腰三角形的判定 等边三角形的性质与判定 浙江版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1. 等腰三角形的判定
2. 等边三角形的性质与判定
二. 重点、难点：
重点：
1. 等腰三角形的判定方法及其运用。

2. 等边三角形的性质与判定。

难点：
1. 等腰三角形判定方法证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。

2. 等边三角形的轴对称变换与旋转变换。

三. 知识要点及学习目标
1. 理解等腰三角形的判定方法的证明过程。

判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

简单地说：在同一个三角形中，等角对等边。

如图，已知：ΔABC中，∠B =∠C。

那么：AB = AC. 即△ABC是等腰三角形。

说理如下：作△ABC的角平分线AD，则在△ABD与△ACD中，
∠B =∠C （已知）
∠BAD =∠CAD（角平分线的定义）
AD = AD（公共边）
所以：△ABD≌△ACD（AAＳ）
所以：AB＝AC（全等三角形的对应边相等）
所以：△ABC是等腰三角形。

2. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

应用判定方法应该有一个正确地表述，通常结合图形按下面的方式表述：如图，在△ABC中∵∠B =∠C ∴AB＝AC
（在一个三角形中，等角对等边）
一般解决判断一个三角形是等腰三角形的问题，通常转化为寻找一个三角形中两个角相等的问题来解决。

当然也可以通过直接寻找两边相等来解决。

3. 理解等边三角形的性质与判定。

首先明确等边三角形定义。

三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。

其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。

等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊）
1）等边三角形的内角都相等，且为60度
2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
【典型例题】
例1. 如下图，∠DAC是△ABC的外角，且∠DAC＝80°，∠C＝40°，试判断△ABC 是否是等腰三角形。

分析：要说明一个三角形是等腰三角形
关键是要能够说明其中有两个角相等。

根据三角形的外角与内角的关系，
已知∠DAC＝80°，∠C＝40°可以求出∠B＝40°
即∠C＝∠B。

解：△ABC是等腰三角形。

说理如下：因为∠DAC＝∠B＋∠C，
又∠DAC＝80°，∠C＝40°
所以：∠B＝∠DAC－∠C＝40°，所以∠C＝∠B
所以：AB＝AC（在一个三角形中，等角对等边）
即△ABC为等腰三角形。

注意：以后要说明一个三角形是等腰三角形，不必非要再去用三角形全等直接说明三角形的两边相等，只要能得出有两个角相等即可。

例2. 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，从B沿南偏西60°方向走18m到C处时，测得∠ACB=30°，这时，地质专家就知道了河流宽度。

你知道河流的宽度（AB）是多少了吗？请说明理由。

Ａ
分析：此题是一个实际应用问题。

虽然没有明确说明判断三角形是等腰三角形，但事实上此题就是要判断△ABC是等腰三角形，即要确定AB＝BC，我们可以借助“在一个三角形中，等角对等边”来判断。

只要能够通过计算得出∠A＝∠C即可。

解：河宽AB＝BC＝18ｍ。

说理如下：∵∠DBC＝∠A＋∠C，（三角形的外角等于不相邻的两个内角和）∴∠A＝∠DBC－∠C＝60°－30°＝30°
∴∠A＝∠C
∴AB＝BC＝18ｍ。

注意：例1与例2实际是同一题，但在解决例2这种实际问题时，我们要学会把实际问题转化成例1那样的纯数学问题来解决。

例3. 如图，BD是等腰△ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E。

判断ΔBDE 是不是等腰三角形，并说明理由。

分析：由BD是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质可知∠ABD ＝∠CBD；由DE∥BC，可得：∠BDE＝∠CBD，从而可以得出：∠BDE＝∠ABD，这样可以判断ΔBDE是等腰三角形。

解：ΔBDE是等腰三角形。

说理如下：
∵AB＝BC，BD⊥AC
∴∠ABD＝∠DBC（等腰三角形三线合一）
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBC（两直线平行内错角相等）
∴∠EDB＝∠ABD（等量代换）
∴ED＝EB（在一个三角形中，等角对等边）
即△BDE是等腰三角形。

例4. 如图，等边三角形ABC中，三条内角平分线AD、BE、CF相交于点O。

（1）△AOB，△BOC，△AOC有何关系？并说明理由
（2）求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数，将△ABC绕点O旋转，问要旋转多少度就能和原来的三角形重合（只要求说出一个旋转度数）？
分析：由于正三角形具有轴对称性，每个角的平分线所在的直线均是其对称轴，显然可以得出△AOB 与△AOC 关于AD 对称，△AOB 与△BOC 关于BE 对称，△AOC 与△BOC 关于CF 对称。

由对称的图形全等，可得出∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 三个角相等，它们的和为360°，可以得出它们均为120°。

解：（1）△AOB ，△BOC ，△AOC 互相全等
∵AD 、BE 、CF 是等边三角形的三条角平分线
∴AD 、BE 、CF 所在直线是等边△ABC 的对称轴
∴△AOB 与△AOC 关于直线AD 成轴对称
∴△AOB ≌△AOC
同理 △AOB ≌△COB
∴△AOB ≌△AOC ≌△COB
思考：能否由全等判定得到这三个角全等？
（2）∵△AOB ≌△AOC ≌△COB
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC （全等三角形的对应角相等）
OA=OB=OC （根据什么？）
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC= 3
1
360°=120°
∴△ABC 绕点O 旋转120°，就能和原来的三角形重合
课后反思：
区别等腰三角形的性质和判定。

性质和判定刚好相反，就象前边学过的平行线的性质和判定一样刚好相反。

性质是已知等腰，得出相应的角、线段相等等；而判定是未知等腰，是借助于相应的角相等等条件，得出腰相等。

正确认识等边三角形与等腰三角形的关系是学好等边三角形的关键。

等边三角形的性质是等腰三角形性质的特殊化表现，等边三角形的判定必须以等腰三角形为基础。

等边三角形绕着它的中心点旋转120°后能够与原来等边三角形重合，这一特性使它在实际生产中有着广泛的应用。

如果一个图形绕着一点旋转一定的角度（小于360°）后能够与它本身重合，那么可以把这个图形叫作旋转对称图形。

例如电风扇的叶片，飞机的螺旋桨等，这样的图形就是旋转对称图形。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 关于等腰三角形的底角和顶角的描述正确的是 （ ）
A. 顶角必须小于90度
B. 顶角必须大于底角
C. 底角必须小于90度
D. 顶角必须小于两底角的和
2. 有下列说法：
①有两个内角是40°和100°的三角形是等腰三角形；
②一个外角的平分线平行一边的三角形是等腰三角形；
③有两个顶点不同的外角相等的三角形是等腰三角形；
④有两个内角不等的三角形一定不是等腰三角形。

其中，正确的说法有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3. 下列各组条件中能判定等腰三角形全等的一组条件是（）
A. 顶角相等
B. 底角相等
C. 腰相等
D. 底边和顶角相等
4. 已知△ABC的三边a、b、c满足（a – b ）2 +| b – c | = 0，则△ABC的形状是（）
A. 不等边三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
二. 填空题
5. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB=72°，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中等腰三角形共有个。

6. 等腰三角形的周长为22 cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为18 cm，则等腰三角形的底边长为。

三. 解答题
7. 已知：如图a，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，则图中有几个等腰三角形?选出其中一个进行说理。

8. 如图b，AB=AC，BF 平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和BE 交于点D，且EF∥BC，则图中有几个等腰三角形?
9. 如图c，若将第7题中的AB=AC去掉，其他条件不变，情况会如何?若△ABC的周长为17，BC＝7，你能求出△AEF的周长吗？
（a）（b）（c）
10. 如图，△ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且AD＝BE＝CF，试说明△DEF是等边三角形。

【试题答案】
一. 1. C 2. C 3. D 4. B
二. 5. 8 6. 10cm
三.
7. 解：图中有5个等腰三角形。

分别是△ABC、△AEF、△DBC、△EDB、△FDC。

下面以△AEF为例加以说明：
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵EF∥BC
∴∠ABC＝∠AEF，∠ACB＝∠AFE
∴∠AEF＝∠AFE
∴AE＝AF。

即△AEF是等腰三角形。

8. 解：图中有6个等腰三角形。

它们分别是：△ABC、△AEF、△DBC、△EDF、△FEC、△EFB。

9. 解：图中只有两个等腰三角形，它们是△EDB、△FDC。

ED＝EB，FD＝FC
△AEF的周长为：
AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC
＝（AB＋BC＋AC）－BC＝17－7＝10
10. 解：因为△ABC是正三角形，
所以AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C
又因为AD＝BE＝CF
所以AB－AD＝BC－BE＝AC－CF，即BD＝CE＝AF
所以△ADF≌△BED≌△CFE
所以DF＝DE＝EF即△DEF为正三角形。