高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档

二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x

h) h
t

d dx

a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t

f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx

F ( x)

F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)
d
t
在 (0, ) 内为单调递增函数 .
只要证
F(x) 0
x
x
证:
F(x)
x
f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t
的面积 .
y y sin x
解:
A

π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
πx
0
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减 速停车, 设汽车以等加速度 a 5 m/s2 刹车, 问从开始刹 车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为 t 0, 则此时刻汽车速度
2
0fBiblioteka ( x) dx
b
,
则
f (x) x2 bx 2a
a

1
0
f
( x) d
x

x3 3

bx2 2

2ax

1 0

1 3

b 2

2a
b

2
0 f
( x) dx

x3 3
bx2 2
2ax
2
0
8 2b 4a 3
a 1, b 4
f (x) x2 4 x 2
1 3
y
y x2
O
i 1x
n
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 s(t) 与速度函数 v(t)
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔[T1 , T2 ]内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t

s(T2
)

s(T1)
这里s(t) 是 v(t)的原函数 .
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼茨公式
2. 变限积分求导公式
作业
P243 3 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
1.
设
f
(x)

x2

2
x0
f
( x) d
x

1
20
f
( x) d
x,
求
f
(x).
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
h0
h
h0
说明:
1) 定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 其他变限积分求导:
d dx
b
x
f
(t) d
t


f
(x)
d dx
( x)
a
f
(t) d t

f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d
(x)

1
h
xh
a
f
(t) d t

x
a
f
(t) d t

xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
f (x)C[a, b]
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)

x
0
f
(t)
d
t

2
x

f (x)0 (x t) f (t) d t

x
0 f
(t) d t
2

f
(x) (x ) f ( ) x

x
0
f
(t
)
d
t
2
(0


0 x)
F(x)在（0， )内为单调增函数 .
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理3. 设 F(x) 是连续函数 f (x) 在 [a,b] 上的一个原
第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx

lim
0
i 1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
33
33
x2
2. 设 tan t dt ,
x
sin
t3 dt,
试证:
当
x

0
0
0
时, = o( ) .
证：
lim x0
洛
lim
x0
tan x
3
sin x 2
2x 1
2x
x 0时 tan x ~ x

lim
x0
x 2x
3
x 2
1
2x
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
例. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi

i n
y
(i 0,1,,n)
y x2
取 i

i n
,
xi

1 n
(i 1,2,,n)
v0
36( km/h )

361000 3600
(m/s)
10( m/s )
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
v(t) v0 a t 10 5t
当汽车停住时, v(t) 0, 即10 5t 0, 得 t 2(s)
故在这段时间内汽车所走的距离为
s

2
0 v(t) d t
b
a
f
( x) dx

F (b)
F (a)
记作
F
(x)
b a
或
F(x)
b a
例4. 计算
3 1
1
dx x
2
.
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π 3 4 12
例5. 计算正弦曲线 y sin x 在 [0, π] 上与x 轴所围成
则
f
(i )xi
i2xi

i2 n3
O
i 1x
n
n

i1
f
(i )xi

1 n3
n
i2
i1

1 n3
1 n(n 6
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n

1 0
x2
dx

lim
0
n

i 1
i 2 xi
lim 1 (1 1)(2 1) n 6 n n
sin x ~ x
lim
x0
2x2
1 2
x
0
所以 = o( ) .
谢谢！
18

02(10 5t)dt
10t

5 2
t
2

2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理