初三数学几何地动点问题专题练习及问题详解

动点问题专题训练
1、如图，ABC
△中，10
AB AC
==厘米，8
BC=厘米，点D为AB的中点．
〔1〕如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①假如点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD
△与CQP
△是否全等，请说明理由；
②假如点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD
△与CQP
△全等？
〔2〕假如点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC
△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC
△的哪条边上相遇？
2、直线
3
6
4
y x
=-+与坐标轴分别交于A B
、两点，动点P Q
、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点
Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．〔1〕直接写出A B
、两点的坐标；
〔2〕设点Q的运动时间为t秒，OPQ
△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
〔3〕当
48
5
S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q
、、为顶点的平行四
边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P〔0，k〕
是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
〔1〕连结PA，假如PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
〔2〕当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为〔－3，4〕，
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
〔1〕求直线AC的解析式；
〔2〕连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S〔S≠0〕，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式〔要求写出
自变量t的取值X围〕；
〔3〕在〔2〕的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值．
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A A
Q
C
D
B
P
x
A
O Q
P
B
y
匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒〔t ＞0〕．
〔1〕当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是； 〔2〕在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与
t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值X 围〕
〔3〕在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成
为直角梯形？假如能，求t 的值．假如不能，请说明理由； 〔4〕当DE 经过点C 时，请直接．．
写出t 的值．
6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．〔1〕①当α=度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α=度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为； 〔2〕当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．α
7如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．
动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设
运动的时间为t 秒． 〔1〕求BC 的长．
〔2〕当MN AB ∥时，求t 的值．
〔3〕试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. 〔1〕求点E 到BC 的距离；
〔2〕点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.
①当点N 在线段AD 上时〔如图2〕，PMN △的形状是否发生改变？假如不变，求出PMN △的周长；假如改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时〔如图3〕，是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？假如存在，请求出所有满足要求的x 的值；假如不存在，请说明理由.
A C
B Q E
D
图16 O
E
C D A
l O C A
〔备用图〕
A
D
A D E
B F
C 图4〔备用〕 A
D
E B
F C 图5〔备用〕 A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M
图3 A D
E B
F C P N
M 〔第8题〕
9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为〔0，10〕，〔8，4〕，点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD
的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以一样速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x 〔长度单位〕关于运动时间t 〔秒〕的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标与点P 运动速度； (2)求正方形边长与顶点C 的坐标；
(3)在〔1〕中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；
(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，假如能，写出所有符合条件的t 的值；假如不能，请说明理由．
10数学课上，X 教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，如此AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此根底上，同学们作了进一步的研究： 〔1〕小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点〞改为“点E 是边BC 上〔除B ，C 外〕的任意一点〞，其它条件不变，那么结论“AE =EF 〞仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
〔2〕小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上〔除C 点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF 〞仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
11一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．
〔Ⅰ〕假如折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；
〔Ⅱ〕假如折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值X 围；
〔Ⅲ〕假如折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．
12问题解决
如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点
A D F C G E
B 图1 A D F
C G E B 图2 A
D F C G B 图3 y
B O A
y B O A
y B
O A
A D
F
M
C ，
D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当
12CE CD =时，求AM
BN
的值．
类比归纳
在图〔1〕中，假如13CE CD =，如此AM BN 的值等于；假如14CE CD =，如此AM BN 的值等于；假如1
CE CD n
=〔n 为整数〕，如此
AM
BN
的值等于．〔用含n 的式子表示〕 联系拓广 如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，如此AM
BN 的值等于．〔用含m n ，的式子表示〕
参考答案
1.解：〔1〕①∵1t =秒，
∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，
∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，
∴BPD CQP △≌△．〔4分〕 ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，
又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，如此45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4
33
BP t ==秒， ∴515
443
Q CQ v t =
==厘米/秒．
〔7分〕 〔2〕设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15
32104
x x =+⨯， 解得80
3
x =
秒． ∴点P 共运动了80
3803
⨯=厘米．
∵8022824=⨯+，
∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
∴经过
80
3
秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．〔12分〕 2.解〔1〕A 〔8，0〕B 〔0，6〕1分 〔2〕86OA OB ==， 10AB ∴=
点Q 由O 到A 的时间是8
81
=〔秒〕
∴点P 的速度是610
28
+=〔单位/秒〕1分 当P 在线段OB 上运动〔或03t ≤≤〕时，2OQ t OP t ==，
2S t =1分
当P 在线段BA 上运动〔或38t <≤〕时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,
方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图〔2〕 N A
B C D E
F M
如图，作PD OA ⊥于点D ，由
PD AP BO AB =，得4865
t
PD -=，1分 21324
255
S OQ PD t t ∴=⨯=-+1分
〔自变量取值X 围写对给1分，否如此不给分．〕
〔3〕82455P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，1分
1238241224122455555
5I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，3分
3.解：〔1〕⊙P 与x 轴相切.
∵直线y =－2x －8与x 轴交于A 〔4，0〕，
与y 轴交于B 〔0，－8〕， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =PA =8+k .
在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.
〔2〕设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当
圆心P 在线段OB 上时,作PE
⊥CD 于E .
∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32
，PD =3， ∴PE =
33
2
. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ， ∴
33
4
2,=45AO PE AB PB PB =即， ∴315
,2
PB =
∴315
82
PO BO PB =-=-， ∴315
(0,8)2
P -， ∴315
82
k =
-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,－315
2
－8)， ∴k =－
315
2
－8， ∴当k =3152－8或k =－315
2
－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.
4.
5.解：〔1〕1，8
5
；
〔2〕作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．
由△AQF ∽△ABC
，4BC =，
得45QF t =．∴45QF t =．
∴14(3)2
5
S t t =-⋅，
即2265
5
S t t =-+．
〔3〕能．
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP
AC AB
=
， 即33
5t t -=
． 解得9
8
t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．
此时∠APQ =90°． 由△AQP
∽△ABC ，得 AQ AP
AB AC
=
， 即353t t -=． 解得158
t =． 〔4〕5
2t =或45
14
t =
． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t =，222QC QG CG =+2234
[(5)][4(5)]55
t t =-+--．
由2
2
PC QC =，得2
2234
[(5)][4(5)]55
t t t =-+--，解得52t =．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．
22234
(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514
t =】
6.解〔1〕①30，1；②60，1.5；
分
〔2〕当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .
∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,
∴∠A =300.
∴AB =4,AC ∴AO =1
2
AC ……………………8分
在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .
又∵四边形EDBC 是平行四边形，
∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分
7.解：〔1〕如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，如此四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==．1分
在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．
2
cos 4542
42
BK AB =︒==2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC
∴43310BC BK KH HC =++=++=3分
〔2〕如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，如此四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==
∴1037GC =-=4分
由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥
∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠
∴MNC GDC △∽△ ∴CN CM
CD CG =5分 即10257
t t -= 解得，50
17
t =6分
〔3〕分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图③，即102t t =-
图4
P
图5
〔图①〕 A D C B K H 〔图②〕 A D C B G M N
∴10
3
t =
7分
②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得()11
102522
EC MC t t ==-=-
在Rt CEN △中，5cos EC t
c NC t -== 又在Rt DHC △中，3
cos 5
CH c CD =
= ∴53
5
t t -= 解得25
8
t =8分
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△ ∴NC EC
DC HC = 即553t t -= ∴258
t =8分
③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.11
22
FC NC t ==
解法一：〔方法同②中解法一〕
1
32cos 1025
t FC C MC t ===-
解得60
17
t =
解法二：
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MC
HC DC = 即1102235
t
t
-=
∴6017
t =
综上所述，当103t =
、258t =或60
17
t =时，MNC △为等腰三角形9分 8.解〔1〕如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．1分
∵E 为AB 的中点，
∴1
22
BE AB ==．
在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠．2分
∴1
12
BG BE EG ====，
即点E 到BC 3分
〔2〕①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．
∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==．4分
如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴12PH PM =
= ∴3
cos302
MH PM =︒=．
如此35
422
NH MN MH =-=-=．
在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．6分
②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，如此MR NR =．
类似①，3
2
MR =．
∴23MN MR ==．7分
∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．
此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．8分
当MP MN =时，
图3
A D E B
F
C
P
N M
图4
A D E
B
F C
P M
N 图5
A D E
B
F 〔P 〕 C
M
N G
G
R
G
A D
C B M N 〔图③〕 〔图④〕 A
D C B M N
H E 〔图⑤〕 A D C B H N M
F 图1
A
D E B F C
G
图2
A D E
B
F C
P
N
M
G H
如图4
，这时MC MN MP ===
此时，615x EP GM ===-=
当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．
如此120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．
因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan 301MC PM =︒=．
此时，6114x EP GM ===--=．
综上所述，当2x =或4
或(5时，PMN △为等腰三角形．10分 9解：〔1〕Q 〔1，0〕1分
点P 运动速度每秒钟1个单位长度．2分
〔2〕 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，如此BF ＝8，4O F BE ==． ∴1046AF =-=．
在Rt △AFB
中，10AB = 3分
过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH
CG ==+==+=．
∴所求C 点的坐标为〔14，12〕． 4分
〔3〕 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 如此△APM ∽△ABF ． ∴
AP AM MP AB AF BF ==． 1068
t AM MP
∴==
． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55
PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S 〔平方单位〕 ∴21
3473
(10)(1)52
5
1010S t t t t =⨯-+=+
-〔0≤t ≤10〕 5分 说明:未注明自变量的取值X 围不扣分． ∵310
a =-<0 ∴当4747
1036
2()10
t =-
=
⨯-
时， △OPQ 的面积最大．6分 此时P 的坐标为〔9415，53
10
〕 ．7分 〔4〕当53
t =或295
13
t =时， OP 与PQ 相等．9分
10.解：〔1〕正确．〔1分〕
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．〔2分〕
BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF 是外角平分线，
45DCF ∴∠=°，
135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．
AME BCF ∴△≌△〔ASA 〕．〔5分〕 AE EF ∴=．〔6分〕 〔2〕正确．〔7分〕
证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ．〔8分〕 BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．
四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．
DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△〔ASA 〕．〔10分〕 AE EF ∴=．〔11分〕
11.解〔Ⅰ〕如图①，折叠后点B 与点A 重合， 如此ACD BCD △≌△. 设点C 的坐标为()()00m m >，. 如此4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.
在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()2
2242m m -=+，解得32
m =
. ∴点C 的坐标为302⎛⎫
⎪⎝⎭
，.4分
〔Ⅱ〕如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 如此B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 如此4B C BC OB OC y '==-=-，
在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.
()2
224y y x ∴-=+，
A
D
F
G
B
M A D
F
C G
E B
N
即21
28
y x =-+6分
由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，
∴解析式21
28
y x =-+()02x ≤≤为所求.
∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，
y ∴的取值X 围为3
22
y ≤≤.7分
〔Ⅲ〕如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 如此OCB CB D ''''∠=∠.
又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，
，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC
OA OB
''=，得2OC OB ''=.9分 在Rt B OC ''△中，
设()00OB x x ''=>，如此02OC x =.
由〔Ⅱ〕的结论，得2001
228
x x =-+，
解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C
的坐标为()
016.10分
12解：方法一：如图〔1-1〕，连接BM EM BE ，，．
由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．1分
∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵1
12
CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，如此NE x =，2NC x =-．
在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．
∴()2
2
2
21x x =-+．解得54x =，即5
4
BN =．3分
在Rt ABM △和在Rt DEM △中，
222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，
∴2222AM AB DM DE +=+．
5分 设AM y =，如此2DM y =-，∴()2
222221y y +=-+．
解得14y =，即1
4
AM =．6分
∴1
5
AM BN =．7分 方法二：同方法一，5
4
BN =．3分
如图〔1－2〕，过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．
∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．
∴NG CD BC ==．
同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴5
4
AG BN ==．
∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．
90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中
90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩
，，
°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．５分 ∵1
14
AM AG MG AM =--=5，=．46分
∴1
5
AM BN =．7分 类比归纳
25〔或410〕；917； ()2
211
n n -+10分 联系拓广
222221
1
n m n n m -++12分
N
图〔1-1〕 A B C E F M N 图〔1-2〕
A B C D
E F
M G。