《平方差公式》 (第2课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章 整式的乘除
1.5平方差公式（2） 教学设计
一、教学目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想；
2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
二、教学重点及难点
重点：利用平方差公式进行简便运算．
难点：利用几何知识探索平房差公式，培养数形结合的思想.
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【复习回顾】
1．回顾上节课平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2
2．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差．
3．应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
【问题情境】
在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：
1．2119?⨯= 2． 10397?⨯=
主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？
这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因．
设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.
【探究新知】
问题1：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形．
（1）请表示图中阴影部分的面积．
提示：a 2-b 2 （2）如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
提示：长是a +b ，宽是a -b ；面积是（a +b ）﹒（a -b ）
比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
（a +b ）﹒（a -b ）= a 2-b 2
设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景．
问题2：相邻两个自然数的乘积
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=
⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
探究： (1)中算式算出来的结果如下
⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400
808063998179 从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1． a b a
b
问题3.是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
再找几个例子：
⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯625
25256242624 发现：对于所有的自然数都有上述规律．
问题4：你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a ，与它相邻的两个自然数为a －1，a +1，则有(a +1)(a －1)=a 2－1． 这个结论的正确性，用平方差公式可以说明．
设计意图：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生经历数学的探究与发现过程．
三、典例精讲
例1． 用平方差公式进行计算：
（1）103×97；（2）118×122．
解：（1）∵103=100+3，97=100－3，
∴103×97
=（100+3）（100-3）
=1002-32
=9991．
（2）118=120－2，122=120+2．
118×122
=(120－2)(120+2)
=1202－4
=14400－4
=14396．
设计意图：结合课本例题，让学生熟悉平房差公式，能进行简便运算．
例2．计算：
（1）a 2(a +b )(a-b )+a 2b 2；（2）(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)．
分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定
解：(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2
=a 2(a 2－b 2)+a 2b 2
=a 4－a 2b 2+a 2b 2
=a 4．
(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)
=(2x )2－52－(4x 2－6x )
=4x 2－25－4x 2+6x
=6x -25．
设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．
例3.计算
(1)704×696
(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)
(3)x (x －1)－(x －31)(x +3
1)
解：(1)704×696=(700+4)(700－4)
=490000－16=489984
(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)
=(x 2－4y 2)+(x 2－1)
=x 2－4y 2+x 2－1
=2x 2－4y 2－1
(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)
=(x 2－x )－［x 2－(31)2］
=x 2－x －x 2+91=91－x
设计意图：平方差公式的综合运用，要能正确辨析平方差公式.
例4.（1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )D
A ．(－a －b )(a －b )
B ．(c 2－d 2)(d 2+c 2)
C ．(x 3－y 3)(x 3+y 3)
D ．(m －n )(－m +n )
（2）用平方差公式计算(x －1)(x +1)(x 2+1)结果正确的是( )A
A ．x 4－1
B ．x 4+1
C ．(x －1)4
D ．(x +1)4
（3）下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )D
A ．(－6b +a )(－6b －a )
B ．(－6b +a )(6b －a )
C ．(a +4b )(a －4b )
D ．(－6b －a )(6b －a )
例5．（1）(5x +3y )·( )=25x 2－9y 2 (5x －3y )
（2）(－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 2 (0.2x －0.4y )
（3）(－23x －11y )( )=－49x 2+121y 2 (23
x －11y )
（4）若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2，则A = ，B = ．A =4n ，B =7m
例6．公式的逆用
(1)(x +y )2－(x －y )2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便．
解：(1)(x +y )2－(x －y )2
=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］
=2x ·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
【随堂练习】
1．（1）对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（
）
．C A ．4 B ．3 C ．5 D ．2
（2）在))((b a y x b a y x ++--++的计算中，第一步正确的是（ ）．C
A ．22)()(a y b x --+
B ．))((2222b a y x --
C ．22)()(b y a x --+
D ．22)()(a y b x +--
（3）22916)4)(3(a b n b m a -=++-，则._______,==n m a n b m 3,4==
（4）____99.001.1=⨯．0.9999
2．计算：
（1）1999199719982
⨯-； （2）)5
4)(2516)(5
4(2++-x x x ； 解：（1）1；（2）6252564-x ； 3．计算
(1)(2x 2+3y )(3y －2x 2)．
(2)(p －5)(p －2)(p +2)(p +5)．
(3)(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3)．
解．(1)9y 2－4x 4 (2)p 4－29p 2+100 (3)x 2y －10
4．已知x 2－2x =2，将下式先化简，再求值
(x －1)2+(x +3)(x －3)+(x －3)(x －1)
解：原式=3(x 2－2x )－5=3×2－5=1
设计意图：通过练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．
5.解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)
解：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)
(2x )2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －1
4x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －1
6x =12 x =2
设计意图：平方差公式在解方程中的应用.
6．利用平方差公式计算：
(1)2013×1923
； (2)13.2×12.8． 分析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13
)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13．2×12．8写成(13＋0．2)×(13－0．2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989
； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96．
设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．
7.计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1．
分析：先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式．
解：原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)
=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
2)1
1990
(
1990+
⨯
=1981045
设计意图：平方差公式的灵活运用.
8.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
分析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
设计意图：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
六、课堂小结
1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1) =a2－1．
2．应用平方差公式的注意事项：
（1）注意平方差公式的适用范围
（2）字母a、b可以是数，也可以是整式
（3）注意计算过程中的符号和括号
设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．
七、板书设计。